Sujet : Analyse, Fonction définie par une intégrale, Etude générale

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Etude générale Exercice 1 [ 00544 ] [correction] Soient f :I×R→R et u,v :I→R continues. Montrer la continuité de la fonction Z v(x) x7→ f(x,t)dt u(x) Exercice 2 [ 03756 ] [correction] ∞Soit f :R→R de classeC vérifiant f(0)=0.

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Etude générale

Exercice 1[ 00544 ][correction]
Soientf:I×R→Retu v:I→Rcontinues.
Montrer la continuité de la fonction
v(x)
Zf(x t)dt
u(x)

x7→

Exercice 2[ 03756 ][correction]
Soitf:R→Rde classeC∞vérifiantf(0) = 0.
Montrer que la fonction
g:x7→f(x)
x
se prolonge en une fonction de classeC∞surRet exprimer ses dérivées
successives en 0 en fonction de celles def.

Exercice 3[ 00294 ][correction]
Soientf:I→Rune fonction de classeC∞eta∈Rtels que

f(a) =f0(a) =∙ ∙ ∙=f(α−1)(a) = 0

a) Montrer qu’on a pour toutx∈I
f(x) =Zx(x−t)α−1
a(α−1)!f(α)(t)dt

b) En déduire qu’on peut écriref(x) = (x−a)αg(x)avecgde classeC∞surR.

Enoncés

Exercice 4[ 00540 ][correction]
Soitfune application continue deR×[a b]dansR.
Expliquer pourquoifest uniformément continue surS×[a b]pour tout segment
SdeR.
En déduire queF:x7→Rabf(x t)dtest continue surR.
Pourx∈R, on poseg(x) =R01extdt. A l’aide de la question précédente, étudier la
continuité deg. Retrouver le résultat en calculantg(x).

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Réalisons le changement de variablet=u(x) +θ(v(x)−u(x))
Zu(xv)(x)f(x t)dt= (v(x)−u(x))Z01(x u
f(x) +θ(v(x)−u(x))dθ

Corrections

or(x θ)7→f(x u(x) +θ(v(x)−u(x))est continue surI×[01]donc par
intégration sur un segment la fonctionx7→R10f(x u(x) +θ(v(x)−u(x))dθest
aussi continue puis enfin la fonction étudiée.

Exercice 2 :[énoncé]
Pour toutx∈R, on peut écrire
f(x) =Z0xf0(t) dtt=xuxZ01f0(xu) du
=

On a donc
∀x∈Z10f) du
R? g(x) =0(xu
Par application des théorèmes relatifs aux fonctions définies par une intégrale sur
un segment, la fonction donnée par le second membre est de classeC∞surRavec
dxdnZ10f0(xu) du=Z1unf(n+1)(xu) du
0
On en déduit que la fonctiongse prolonge en une fonctionC∞surRavec
0) =Z1f(n+1)(0) du=f(nn++1))1(0
∀n∈N g(n)(un
0

Exercice 3 :[énoncé]
a) On applique la formule de Taylor reste-intégrale àfena.
b) On réalise le changement de variablet=a+θ(x−a)et l’on obtient
= (x−a)αZ1((1α−−θ1)α)!−1f(α)(a+θ(x−a))dθ
f(x)
0

Posons

h(x θ1=()(α−−θ1)α)!−1f(α)(a+θ(x−a))

Pour toutk∈N,

1
∂∂kxkh(x θ()(=1α−−θ1)α)!−(x−a)kf(α+k)(a+θ(x−a))

est définie et continue surI×[01].
Par intégration sur un segment, on peut affirmer que la fonction
g:x7→R1(10(−θα−)1α)!−1f(α)(a+θ(x−a))dθest de classeC∞.

Exercice 4 :[énoncé]
S×[a b]est compact et toute fonction continue sur un compact y est
uniformément continue.
Etudions la continuité deFenα∈Ret considéronsS= [α−1 α+ 1].
∀ε >0∃η >0∀(x t)(x0 t0)∈S×[a b]k(x t)−(x0 t0)k∞6η⇒
|f(x t)−f(x0 t0)|6ε
Donc pour|x−α|6η, on a|F(x)−F(α)|6Rbaεdt=ε(b−a). AinsiFest
continue enα.
(x t)7→extest continue par opérations doncgl’est aussi par intégration sur un
segment.
Pourx6= 0,g(x) =exx−1etg(0) = 1. Sans difficultésgest continue surR.

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