Sujet : Analyse, Fonctions de deux variables réelles, Analyse vectorielle

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Analyse vectorielle Exercice 6 [ 01778 ] [correction] [Fonctions harmoniques] 2Une fonction de classeC est dite harmonique si, et seulement si, son laplacienExercice 1 [ 01773 ] [correction] 2 2∂ f ∂ f2 Δf = + est nul.On appelle laplacien d’un champ scalaire F de classeC le champ scalaire défini 2 2∂x ∂y ∂f ∂f ∂f ∂f3par a) Montrer que si f est harmonique et de classeC alors , et x +y le ∂x ∂y ∂x ∂y−−→ sont aussi.ΔF = div gradF 2On suppose que f :R\{(0, 0)} est radiale i.e. qu’il existe une fonction +? 2 2 2a) Montrer ϕ :R →R de classeC telle que f(x,y) =ϕ(x +y ). 2 2 0∂ F ∂ F b) Montrer que f est harmonique si, et seulement si,ϕ est solution d’une équation ΔF = + 2 2∂x ∂y différentielle qu’on précisera. c) En résolvant cette équation, déterminer f.∂F ∂F ∂F ∂Fb) Exprimer (M) et (M) en fonction de (M) et (M) ∂ρ ∂θ ∂x ∂y 2 2∂ F ∂F ∂ Fc) ΔF en fonction de , et .2 2∂ρ ∂ρ ∂θ Exercice 7 CCP MP [ 03799 ] [correction] On pose ~ ~Exercice 2 [ 01774 ] [correction] ~γ (t) =a(1−t)i +btj avec 06t6 11−−→ 1Soit F un champ scalaire de classeC de l’espace. Exprimer gradF (M) en ~ ~~γ (t) =a cos(s)i +b sin(s)j avec 06s6π/22∂F ∂F ∂Ffonction (M), (M), (M) et des vecteurs du repère cylindrique associé au ∂ρ ∂ϕ ∂z et le champ de vecteurspoint M. ~ ~ ~V =yi + 2xj a) Représenter les courbes paramétrées par~γ et~γ .1 2 Exercice 3 [ 01775 ] [correction] ~b) Le champ de vecteurs V dérive-t-il d’un potentiel U(x,y)?
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Analyse vectorielle

Enoncés

Exercice 1[ 01773 ][correction]
On appelle laplacien d’un champ scalaireFde classeC2le champ scalaire défini
par
ΔF=divg−r−a→dF

a) Montrer
2F ∂2F
ΔF=∂x∂2+∂y2
b) Exprimer∂F∂ρ(M)etθ∂F∂(M)en fonction dexF∂∂(M)et∂F∂y(M)
c) ExprimerΔFen fonction de∂∂2ρF2,∂F∂ρet∂∂2θF2.

Exercice 2[ 01774 ][correction]
−−
SoitFun champ scalaire de classeC1de l’espace. Exprimer gra→dF(M)en
fonctionρF∂∂(M),∂∂Fϕ(M),∂Fz∂(M)et des vecteurs du repère cylindrique associé au
pointM.

Exercice 3[ 01775 ][correction]
−−→
SoitF~le champ de vecteurs du plan défini parF~(M) =OMOM.
~
a) Calculer divF(M)
~
b) Le champ de vecteursF ?dérive-t-il d’un potentiel

Exercice 4[ 01776 ][correction]
SoitF~le champ de vecteurs de l’espace défini parF~(M) =OO−−MM→3.
a) Ce champ de vecteur dérive-t-il d’un potentiel ?
~ ~
b) Calculer divF(M)et RotF(M).

Exercice 5[ 01777 ][correction]
~
Soit~ωun vecteur de l’espace et ni
F~(M) =~ω∧O−−M→.F parle champ de vecteurs de l’espace défi
~ ~
a) Calculer divF(M)et RotF(M).
~
b) Le champ de vecteurF ?dérive-t-il d’un potentiel

1

Exercice 6[ 01778 ][correction]
[Fonctions harmoniques]
Une fonction de classeC2dite harmonique si, et seulement si, son laplacienest
Δf=∂∂2x2f+∂∂2y2fest nul.
a) Montrer que sifest harmonique et de classeC3alorsx∂f∂,y∂f∂etx∂∂fx+y∂∂fyle
sont aussi.
On suppose quef:R2 {(00)}est radiale i.e. qu’il existe une fonction
ϕ:R+?→Rde classeC2telle quef(x y) =ϕ(x2+y2).
b) Montrer quefest harmonique si, et seulement si,ϕ0est solution d’une équation
différentielle qu’on précisera.
c) En résolvant cette équation, déterminerf.

Exercice 7CCP MP[ 03799 ][correction]
On pose
~γ1(t) =a(1−t)~i+jbt~avec06t61
γ~2(t) =acos(s)~i+bsin(s)j~avec06s6π2
et le champ de vecteurs
~ ~ ~
V=yi+ 2xj

a) Représenter les courbes paramétrées parγ~1etγ~2.
~
b) Le champ de vecteursVdérive-t-il d’un potentielU(x y)?
~
c) Calculer la circulation deVselon~γ1et~γ2. Conclure.

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Corrections

CorrectionsExercice 2 :[énoncé]
Introduisons les représentations cartésiennes et cylindriques deF.
Exercice 1 :[énoncé]F(M) =f˜(ρ ϕ z) =f(ρcosϕ ρsinϕ z)
a) Puisque
~ F
g−r−a→dF=i∂∂F+∂∂~jOn en tire
x y
˜
on a
ΔF=−−a→dF=∂∂2xF2+∂∂2Fy2’on ré∂∂éρf(ρ ϕ z) = cos∂ϕ∂fx(ρcosϕ ρsinϕ z) + sinyϕ∂f∂(ρcosϕ ρsinϕ z)
divgr
˜ :qu crit
b) Introduisonsfetfles représentations cartésiennes et polaires deF.ρF∂∂(M) = cos∂ϕ∂Fx(M) + sinϕ∂F∂y(M)
On a
˜
F(M) =f(ρ θ) =f(ρcosθ ρsinθ)De mme :
donc∂F
˜∂ϕ∂F(M) =−ρsin∂ϕx(M) +ρcos∂F∂yϕ(M)
∂∂fρ(ρ θ) = cos∂θ∂fx(ρcosθ ρsinθ) + sinθ∂f∂y(ρcosθ ρsinθ)Sachant~uρ= cosi~ϕ+ sinj~ϕetu~ϕ=−sin~iϕ+ cosϕ~j, on obtient :
ce qu’on réécrit
∂∂Fρ(M) = cosx∂θF∂(M) + sin∂yθF∂(M)F∂ρ∂(M)~uρ+ρ1F∂∂ϕ(M)u~ϕ+z∂F∂(M)~k=F∂∂x(M)~i+∂F∂y(M)~j+F∂z∂(M)~k
De mme Ainsi
∂F(M) =−ρsinx∂F∂θ(M) +ρcos∂Fθ∂y(M)g−r−a→dF=u~ρ∂F∂ρ+ρ1ϕ~F∂∂uϕ+kz~F∂∂
∂θ
c) Aussi
∂∂2ρF2(M) = cos2∂θ∂2xF2(M) + sin2θ∂∂2Fy2(M) + 2 cosθsinx∂∂θ2y∂F(M)FE~(xeMr)ci=ce√3x2:x+[yé2ni~o+ncé√]x2y+y2j~.
et a) divF~(M) =√x21+y2− √x2x2+y2 3+√x2+1y2− √x2y2+y2 3=1
OM.
b)Fdérive du potentielV(M) =2+y2=OM.
∂∂2θF2(M) =ρ2sin2∂∂θ2xF2(M)+ρ2cos2∂θ∂2Fy2(M)−2ρ2cosθsinx∂∂θ2∂yF(M)−ρcosθx∂F∂(M)−ρ~sinF∂θ∂y(M)px

On observe alors
ρ2∂∂2ρF2(M) +ρ∂F∂ρ(M) +∂∂2θF(M) =ρ2∂∂2xF2(M) +∂∂2Fy2(M)

et donc

ΔF=∂∂2ρF2+ 1ρρ∂F∂+ρ12∂∂2θF2

2

Exercice 4 :[énoncé]
~ ~
F(M) =√x2+yx2+z2 3i~+√x2+yy2+z2 3~j+√x2+yz2+z2 3k
~1 1
a)Fdérive du potentielV(M) =− √x2+y2+z2=−OM.
b) divF~(M) =O1M3−3OMx52+O1M3−3MOy52+O1M3−3OMz25=−O2M3.
−→~ ~
RotF=o~carFdérive d’un potentiel.

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Exercice 5 :[énoncé]
~ ~
~ω=ωxi~+ωM)y~j+ωzk→.F(M) = (ωyz−ωzy)~i+ (ωzx−ωxz)j~+ (ωxy−ωyx)k~.
a) divF~( = 0. R−otF(M) = 2ωxi~+ 2ωy~j+ 2ωz~k= 2~ω.
~
~
b) Lorsque~ω6=~o, le champFne dérive pas d’un potentiel.
~
Lorsque~ ~l champFest nul est donc d’un dérive de n’importe quel
ω=o, e
potentiel constant.

Exercice 6 :[énoncé]
a)Δ∂f∂x=∂x∂(Δf) = 0car∂x∂22x∂∂f=∂x∂∂x∂22fet∂y∂22∂x∂f=∂∂∂x∂y22f.
Ainsi∂f∂xest harmonique et il en est de mme de∂yf∂.
Δxf∂∂x+yy∂f∂=x∂∂3x3f+∂∂2x2f+y∂32fy∂+x∂y∂23x∂f+y∂∂3y3f+∂∂2y2f=
∂x
xΔ∂f∂x+yΔ∂f∂y+ Δf= 0.
b)x∂f∂= 2xϕ0(x2+y2),∂∂2xf2= 2ϕ0(x2+y2) + 2x2ϕ00(x2+y2),
∂∂2y2f= 2ϕ0(x2+y2) + 2y2ϕ00(x2+y2).
Δf= 0⇔ ∀(x y)∈R2 {(00)}(x2+y2)ϕ00(x2+y2) +ϕ0(x2+y2) = 0
d’oùΔ(f) = 0⇔ ∀r∈R+? rϕ00(r) +ϕ0(r) = 0.
ϕ0est solution surR+?de l’équation différentiellexy0+y= 0.
c) Les solutions de l’équationxy0+y= 0sont les fonctionsy(x) =Cx.
On en déduitϕ(x) =Clnx+DavecC D∈R.
Les fonction harmoniques radiales sont lesf(x y) =C0ln(x2+y2) +Davec
C0 D∈R.

Exercice 7 :[énoncé]
a)γ~2paramètre le quart d’une ellipse partant du sommetA(a0)jusqu’au
sommetB(0 b).
~γ1paramètre le segment[A B]deAversB.
~
b) Le champ de vecteursVdérive du potentielUsi, et seulement si,

∂∂Ux(x y) =yet∂yU∂(x y) = 2x

Un tel potentiel est alors de classeC2et l’égalité de Schwarz

∂2U ∂2U
=
∂x∂y ∂y∂x

n’étant pas vérifiée, on peut conclure à l’inexistence deU.

Corrections

~
c) La circulation deVle long de~γ1est
Z01−abt+ 2ab(1−t) dt=a2b

et celle le long deγ~2est
Zπ2−absin2(s) + 2abcos2(s) ds=ab4π
0

~
Par la différence des deux valeurs obtenues, on retrouve queV
potentiel.

3

ne dérive pas d’un

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