Sujet : Analyse, Fonctions de deux variables réelles, Dérivées de fonctions composées

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

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• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Dérivées de fonctions composées

Exercice 1[ 01749 ][correction]
Soitf:R2→Rde classeC1
On poseg:R→Rdéfinie parg(t) =f(2t1 +t2).
Exprimerg0(t)en fonction des dérivées partielles def.

Exercice 2[ 01755 ][correction]
Soitf:R2→Rune fonction de classeC1etg:R2→Rdéfinie par

g(u v) =f(u2+v2 uv)

a) Justifier quegest de classeC1.
b) Exprimerg∂u∂et∂g∂ven fonction des dérivées partielles de la fonctionfnotées
∂∂fet∂∂fy.
x

Exercice 3[ 01750 ][correction]
Soitf:R2→Rune fonction de classeC1etg:R2→Rdéfinie par

g(ρ θ) =f(ρcosθ ρsinθ)

a) Justifier quegest de classeC1.
b) Exprimer les dérivées partielles degen fonction de celles def.
c) Exprimer les dérivées partielles defen fonction de celles deg.

Exercice 4[ 01752 ][correction]
Soitf:R2→Rde classeC1telle que

Montrer que

∀t∈R∀(x y)∈R2 f(x+t y+t) =f(x y)

∂∂fx(x y) +y∂f∂(x y) = 0

Exercice 5[ 01753 ][correction]
Soitf:R2→Rde classeC1telle que

Montrer que

∀t∈R∀(x y)∈R2 f(tx ty) =f(x y)

x∂∂fx(x y) +yf∂y∂(x y) = 0

Enoncés

Exercice 6[ 00045 ][correction]
Soitf:R2→Rune fonction de classeC1homogène de degrén∈Nc’est-à-dire
vérifiant
∀t∈R,∀(x y)∈R2,f(tx ty) =tnf(x y)

a) Montrer que
∂f∂nf
∂x+yy∂f
x=
b) On supposen>1. Montrer que les dérivées partielles defsont elles aussi
homogènes, préciser leur degré.

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Par composition la fonctiongest de classeC1et

g0(t) = 2D1f(2t1 +t2) + 2tD2f(2t1 +t2)

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
a)(u v)7→(u2+v2 uv)estC1deR2versR2car à composantes polynomiales.
Par compositiongest de classeC1.
b)
∂∂ug(u v) = 2x∂f∂u(u2+v2 uv) +yf∂v∂(u2+v2 uv)
et

∂∂vg(u v) = 2v∂f∂x(u2+v2 uv) +y∂f∂u(u2+v2 uv)

Exercice 3 :[énoncé]
a)(ρ θ)7→(ρcosθ ρsinθ)est de classeC1doncgl’est aussi par composition.
b) Par dérivation de fonctions composées
∂∂gρ(ρ θ) = cosθ∂∂fx(ρcosθ ρsinθ) + sinθf∂∂y(ρcosθ ρsinθ)et
∂∂θg(ρ θ) =−ρsinθf∂x∂(ρcosθ ρsinθ) +ρcosθy∂f∂(ρcosθ ρsinθ)
c) En résolvant le système formé par les deux équations précédentes.
∂∂xf(x y) =rcosθg∂r∂−sinθ∂g∂θet∂y∂f=rsinθg∂r∂+ cosθg∂θ∂avec
(x y) = (rcosθ rsinθ).

Exercice 4 :[énoncé]
On dérive la relation par rapport àtavant d’évaluer ent= 0.

Exercice 5 :[énoncé]
On dérive la relation par rapport àtavant d’évaluer ent= 1.

Exercice 6 :[énoncé]
a) En dérivant la relationf(tx ty) =tnf(x y)en la variablet

f
x∂∂fx(tx ty) +∂y∂y(tx ty) =ntn−1f(x y)

En évaluant ent= 1, on obtient

x∂∂fx(x y) +∂fy∂y(x y) =nf(x y)

b) En dérivant la relationf(tx ty) =tnf(x y)en la variablex

∂
t∂fx(tx ty) =tn∂x∂f(x y)

donc, pourt6= 0,
∂∂fx(tx ty) =tn−1∂xf∂(x y)
Cette identité se prolonge aussi ent= 0grâce à la continuité de∂x∂f.
On peut conclure que∂f∂xest de homogène de degrén−1.
Idem pour∂f
∂y.

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