Sujet : Analyse, Fonctions de deux variables réelles, Extremum de fonctions de deux variables

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Extremum

de

fonctions

de

deux

variables

Exercice 1[ 01762 ][correction]
Déterminer les extrema locaux des fonctionsf:R2→Rsuivantes :
a)f(x y) =x2+xy+y2−3x−6y
b)f(x y) =x2+ 2y2−2xy−2y+ 5
c)f(x y) =x3+y3
d)f(x y) = (x−y)2+ (x+y)3
e)f(x y) =x3+y3−3xy.

Enoncés

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) Point critique(03),f(03) =−9. Posonsu=xetv=y−3.

f(x y)−f(03) =u2+uv+v2=12(u2+v2)1+(2u+v)2>0

fadmet un minimum en(03).
b) Point critique(11),f(11) = 4. Posonsu=x−1etv=y−1

f(x y)−f(11) =u2+ 2v2−2uv= (u−v)

fadmet un minimum en(11).
c) Point critique(00).
Pour toutn∈N?,
f(1n0)>0etf(−1n0)<0

Pas d’extremum.
d) Point critique(00).

2+v2>0

2
f(1n0) =n12+n13∼n12>0etf(−1n−1n+ 1n2)∼ −n3<0
Pas d’extremum.
e) Points critiques(00)et(11).
Etude en(00):

f(1n0)>0etf(1n1n)∼ −3n2<0

Corrections

Pas d’extremum en(00).
Etude en(11):
Posonsu=x−1etv=y−1.
f(x y)−f(11) =u3+3u2+v3+3v2−3uv=u3+32u2+v32+3v2+3(2u−v)2

Comme

on a localement

3
u3+2u2∼032u2>0 etv3+23v20∼23v

f(x y)−f(11)>0

fadmet un minimum relatif en(11).
Ce minimum ne peut tre absolu carf(−n0)→ −∞.

2>0

2

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