Sujet : Analyse, Fonctions de deux variables réelles, Fonctions de classe C2

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Fonctions de classe C2

Exercice 1[ 01756 ][correction]
Calculer les dérivées partielles d’ordre 2 des fonctions suivantes :
a)f(x y) =x2(x+y)b)f(x y) = cos(xy)

Exercice 2[ 01757 ][correction]
Soitf:R2→Rla fonction définie par
f(x y) =x2xy+3y2si(x y)6= (00)etf(00) = 0
a) Montrer quefest de classeC1surR2.
b) Montrer quex∂∂2y∂f(00)ety∂∂2∂xf(00) ?existent et diffèrent. Qu’en déduire

Exercice 3[ 01758 ][correction]
On définit une fonctionf:R2→Rpar
xy(x2−y2)
f(x y) =(0x2+y2

a) Montrer quefest de classeC1.
b) La fonctionfest-elle de classeC2?

si(x y)6= (00)
sinon

Exercice 4[ 01759 ][correction]
Soitfetϕ:R→Rdeux applications de classeC2etF:R2→Rdéfinie par

F(x y) =f(x+ϕ(y))

a) Justifier queFest de classeC2
.
b) Vérifier l’égalité :
∂2F ∂F−∂∂2F∂Fy∂= 0
∂x2 ∂x∂y x

Exercice 5[ 01760 ][correction]
Soitf:R2→Rune fonction de classeC2etg:R2→Rdéfinie par
g(u v) =f(uv u2+v2)

a) Justifier quegest de classeC2.
b) Exprimer les dérivées partielles d’ordre 2 degen fonction des dérivées
partielles def.

Enoncés

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)f∂∂x(x y) = 3x2+ 2xy,f∂y∂(x y) =x2,∂∂2x2f(x y) = 6x+ 2y,∂x∂2fy∂(x y) = 2x,
∂∂2fy2(x y) = 0.
b)∂∂fx(x y) =−ysin(xy),y∂f∂(x y) =−xsin(xy),∂∂2x2f(x y) =−y2cos(xy),
∂∂x2yf∂(x y) =−sinxy−xycos(xy)et∂∂2y2f(x y) =−x2cos(xy).

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
a) Par compositionfest de classeC1surR2 {(00)}.
∂f2x2y3
∂x(x y) =x2y3−2etf∂y∂(x y) =x32x+yy22−(x22+yyx24)2.
+y2(x2+y2)
De plus1t(f(t0)−f(00)) = 0ett1(f(0 t)−f(00)) = 0, donc∂f(00)et
∂x
∂f
∂∂fy(00)existent et on a∂x(00) =y∂f∂(00) = 0.
De plusf∂x∂(x y)6|y|x2y+2y2+ 2|y|x2x+yy22(−x−y−)−→−(−0−0→)0
et∂fx
∂y( y)63|y|x|2x+y|y2+ 2|y|x|2x+y|y2x2y+2y2−(x−−y)−→−(−0−0→)0.
Par suitefestC1surR2.
b)t1∂fx∂(0 t)−∂∂fx(00)= 1→1ett1∂y∂f(t0)−∂f∂y(00)= 0→0.
Donc∂∂x2f∂y(00)et∂∂y2fx∂(00)existent et on ax∂∂2y∂f(00) = 0ety∂∂2∂xf(00) = 1.
On en déduit quefn’est pasC2.

Exercice 3 :[énoncé]
a)
∂∂fx(00) =tli→m0t(1f(t0)−f(00)) = 0
et de mme∂f∂y(00) = 0.
Par opérations,fest de classeC1surR2 {(00)}et pour(x y)6= (00),

∂∂fx(x y) =y(x4(x−2y+4y+24)2x2y2),∂y∂f(x y) =x(x4(x−2y+4y+2)42x2y2)

En passant en coordonnées polaires, on vérifie aisément

∂∂fx(x y)−(x−−y)−→−(−0−0→)0 =x∂f∂(00)

Il en est de mme pour∂fy∂. On en déduit quefest de classeC1surR2.
b)
∂∂y2f∂x(00) = lti→m0t1∂∂fx(0 t)−x∂f∂(00)=−1etx∂∂2y∂f(00) = 1
On en déduit quefn’est pas de classeC2car la conclusion du théorème de
Schwarz n’est pas vérifié.

2

Exercice 4 :[énoncé]
a) Par compositionFestC2
.
b)F∂x∂(x y) =f0(x+ϕ(y)),∂F∂y(x y) =ϕ0(y)f0(x+ϕ(y)),∂∂2xF2(x y) =f00(x+ϕ(y))
etx∂∂2y∂F(x y) =ϕ0(y)f00(x+ϕ(y)). Par suite l’égalité proposée est vérifiée.

Exercice 5 :[énoncé]
a)gestC2par composition.
b)u∂g∂(u v) =v∂f∂x(uv u2+v2) + 2uy∂f∂(uv u2+v2),
∂g
∂v(u v) =uxf∂∂(uv u2+v2) + 2vy∂f∂(uv u2+v2),
∂2g(u v) =
∂u2
v2∂∂2x2f(uv u2+v2) + 4uv∂2f(uv u2+v2) + 4u2∂∂2fy2(uv u2+v2) + 2f∂y∂(uv u2+v2),
∂x∂y
∂2gv∂(u v) =
∂u
uv∂∂2x2f(uv u2+v2) + 2(u2+v2)∂x∂2fy∂(uv u2+v2) + 4uv∂∂2y2f(uv u2+v2) +x∂f∂(),
∂∂2gv2(u v) =u2∂∂2fx2(uv u2+v2) + 4uv∂∂x2∂yf(  ) + 4v2∂∂2y2f(  ) + 2f∂y∂(  )

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