Sujet : Analyse, Fonctions de deux variables réelles, Généralités sur les fonctions de deux variables

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Généralités

sur

les

fonctions

Exercice 1[ 01733 ][correction]
Déterminer tous les couples(α β)∈

de

deux

variables

Enoncés

(R+?)2pour lesquels il existeM∈Rtel que

∀ >x y0 xαyβ6M(x+y)

Exercice 2[ 01734 ][correction]
SoitAune partie non vide deR2etxun point deR2. On note
d(x A) = in∈fAkx−ak.
a
Montrer qued:R2→Rest lipschitzienne.

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Soit(α β)solution. Considérons

sur(R+?)2.
On a

f(x y) =xxα+yβy

xα+β
f(x x 2) =x

fbornée impliqueα+β= 1.
Inversement, supposonsα+β= 1.
Siy>xalors
 y) =xxαy+1−yα6x+yyxα
06f(yx
Six>yalors idem.

61

Exercice 2 :[énoncé]
Pour touta∈A,d(x A)6kx−ak6kx−yk+ky−akdonc
d(x A)− kx−yk6d(y A).
Ainsi|d(x A)−d(y A)|6kx−yket doncx7→d(x A)est lipschitzienne.

Corrections

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