Sujet : Analyse, Fonctions de deux variables réelles, Limite

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a)f(x y) =x2x2+yy2
c)f(x y) =x2x+yy2

Exercice 2[ 01736 ][correction]
Etudier les limites en(00)des fonctions suivantes :

+y2
+|y|

2
c)f(x y) =|xx|

a)f(x y) =xy3b)f(x y) =xx2+−2yy2

F
Déterminer(xy)li→m(00)(x y).

F(x y) =f(x2x+2y+2)y−2f(0)

Exercice 4[ 01737 ][correction]
Soitf:R→Rune fonction de classeC1etF:R2 {(00)} →Rdéfinie par

Exercice 3[ 00068 ][correction]
Etudier les limites en(00)des fonctions suivantes :

a)f(x y) =psxin2xy2
+y
c)f(x y) =xy=eylnx

s(xy)
b)f(x y) = 1−xcoy2
d)f(x y) =shxx+shyy

Enoncés

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Limite

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

b)f(x y) =x2+xy+y2
2xy22+y2
d)f(x y) =x2x+y2

Exercice 1[ 01735 ][correction]
Etudier les limites en(00)des fonctions suivantes :

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)f(01n) = 0→0etf(1n1n) = 12→12. Pas de limite en(00).
b)f(1n0)→1etf(1n−1n)→12. Pas de limite en(00).
c)|f(x y)|=|x|2|x+y|y2612|x|(−x−−−−−−→0ou
xy)→(00)
f(x y) =rcos2θsinθ−(x−−y)−→−(−0−0→)0.
2xyr2cos2θsin2θ−−−−−−−→0
.
d)|f(x y)|6|xy|x+y2621|xy| →0ouf(x y) =(xy)→(00)

Exercice 2 :[énoncé]
a)f(01n)→0etf(1n1n3)→1. Pas de limite en(00)
b)f(0−1n) = 2n→+∞etf(01n) =−2n→ −∞. Pas de limite en(00).
c)06f(x y)612|xy| →0ouf(rcosθ rsinθ) =O(r2).

Exercice 3 :[énoncé]
osθ−−−−0
a)|f(x y)|6√|xx2y+|y2=r|sinθc|(xy)→−(−0−0→)
−−−
b)f(x y) =x1−cxo2sy(2xy)orlti→m10−tc2ost=12doncf(x y)→−−−−0.
(xy)→(00)
c)f(1n0)→1etf(1n1lnn)→1e. Pas de limite en(00).
d) Quandx→0,f(x−x+x3)∼ −x1. La fonctionfn’a pas de limite en(00).

Exercice 4 :[énoncé]
Par le théorème des accroissements finis, il existecxy∈0 x2+y2
F(x y) =f0(c).
Quand(x y)→(00)alorscxy→0puisF(x y)→f0(0).

tel que

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