Sujet : Analyse, Fonctions elliptiques

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Intégration sur un intervalle quelconque (hors-programme Sup). Equation différentielle. Fonction de deux variables réelles. Courbes en coordonnées polaires. Etude métrique.

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Fonctions elliptiques

Les parties II, III et IV sont indépendantes entre elles mais exploitent toutes les trois les fonctions présentées
dans la partie I.

Partie I Constructions des fonctions elliptiques

 . 0,1désigne un réel de l’intervalle

∫1
1. Justifier l’existence de l’intégrale :−11−21−22.
On définit une fonction:−1,1→ℝen posant()=∫01−21−22.
Cette fonctionest appelée fonction elliptique de 1èreespèce et de module.
2 Etablir que pour tout∈−π,2π2,(sin())=∫01−2sτin2(τ)
3. On introduit désormais la fonction réelle:ℝ→ℝdéfinie par la relation()=∫0

3.a
3.b


3.c

3.d
4.

4.a
4.b
4.c

5.

6.

6.a
6.b
6.c
6.d

6.e

7.

1−


.
2sin2()

Etudier la parité de la fonction.
Justifier queest de classe∞et donner l’expression de′() .
En déduire queest strictement croissante.
Etablir : lim()= +∞.
→+∞
Conclure queréalise une bijection deℝversℝ.
On note:ℝ→ℝl’application réciproque de la fonction.
est appelée fonction d’amplitude.
Préciser le sens de variation et la parité de
Justifier queest de classe∞et exprimer′.
Observer que′′vérifie :′′+2sincos=0 .
Montrer que la quantité(+π)−() est constante quel que soit∈ℝ.
en fonction de
Exprimer cette constante qu’on noteraπpuis d=∫1222.
2 e01−1−
Pour tout∈, on note=() et on définit les fonctions,etpar :
()=sin() ,()=cos() et()=1−2sin2() .
Ces trois fonctions sont appelées fonctions de Jacobi.
Etudier la parité de ces 3 fonctions et préciser leur régularité.
Montrer qu’elles sont périodiques et donner leur période en fonction de.
Calculer() ,() et() .
Exprimer les dérivées′,′et′en fonction de,et.
Justifier queest solution surdu prob′′+(1+,′2)0()−2123= .0
lème différentiel :
(0)=0=
Préciser les fonctions,etlorsque= que la valeur de0 ainsi.

1.

2.

2.a

2.b

2.c

3.

4.

Partie II Formule d’addition sur les fonctions deJacobi

Soit l’applicationφ:ℝ2→ℝ2suivant (,)֏1(2+1),(2−).
e :
Montrer queφest bijective et exprimer son application réciproqueφ−1.
2
Pour toute appl pplication composéeφ.
ication:(ℝ,)→ℝ֏(,) , on notel’a
Démontrer queest de classe1si et seulement sil’est également.
Exprimer dans ce cas les dérivées partielles premières denotées :∂∂et∂∂en fonction de celles de

∂ ∂
notées :et .
∂∂
En déduire une description de l’ensembleformé des fonctions:ℝ2→ℝde classe1telle que
∂∂
.
=
∂∂
∂  )= ∂(,)
Soit:(ℝ,2→)ℝ֏(,) de classe1vérifiant :∀(,)∈ℝ2,(,)=(,) et∂( ,∂.
Montrer qu’il existeα:ℝ→ℝde classe1telle que :∀(,)∈ℝ2,(,)=α(+) .

Démontrer :
    
∀(,)∈ℝ2,(+)=()(1)−2()2+()(2())()( .)
On établit de même, mais on ne le demande pas ici, les formules :
∀(,)∈ℝ2,(+)=()1()−2(2())(2())()()te

2
2 ) ( ) (( ) ( ) ( )
∀( , )∈ℝ ), (=  −22 2 .( )
   + 1− ()()   

Partie III Rectification de la lemniscate de Bernoulli

On munit le plan2de sa structure euclidienne orientée usuelle et on note=(;, repère canonique.) son
   
Pourθ∈ℝ, on note(θ)=cosθ⋅+sinθ⋅et(θ)= −sinθ⋅+cosθ⋅.
On appelle lemniscate de Bernoulli, la courbed’équation polaireρ=2 cos 2θc’est à dire la courbe

de point courant(θ) déterminé par(θ)=ρ(θ)⋅θavecρ(θ)=2 cos 2θ.
1.a Préciser le domaine de définition et la périodicité de l’applicationθ֏ρ(θ) .
Justifier queest symétrique par rapport au point.
1.b Justifier que (est symétrique par rapport à l’axe)
1.c Dresser le tableau de variation deθ֏ρ(θ) sur l’intervalle 0,π4.

1.d Donner l’allure de la courbe cm.en prenant une unité égale à 4
 
On prendra soin de préciser les tangentes aux points de paramètresθ∈4,0π.
1.e On oriente la courbedans le sens desθcroissants.
Préciser, sur la figure qui précède le sens de parcours desθcroissants sur les deux boucles figurées.
On s’intéresse ici à la portion de la courb
ecorrespondant àθ−∈4π,4π.

2.

2.a.

2.b

2.c

3.

On désigne parl’abscisse curviligne d’origine long de la portion de(0) leétudiée.

On note(θ premier vecteur du repère de Frénêt au point) le(θ) .
Exprimer.

θ
éri֏θdérivable telle que : , (θ) (,(θ)
Déterminer une fonction num queθ α( )∀θ∈ℝα= ) 2π

Exprimer la valeur du rayon de courbure(θ) en tout point(θ) de.

.

En observant(θ)=∫0θ2α2puis en s’appuyant sur un changement de variable adéquate,
1−2sinα
exprimer(θ l’aide de la fonction) àpour un paramètre∈ préciser.0,1 à

Partie IV Période d un pendule simple

On se donneω>0 etα∈0,π2.

1. (Cas des petites oscillations)
On considère le problème diff′′+ω20
érentiel :(0)α⋅,=(0) 0 (1)

 = =
1.a Montrer que ce problème possède une solution unique que l’on exprimera.
1.b Déterminer la période0de cette solution.
2. (Etude générale)
me différentiel suivant :2sin 0
On considère désormais le problè(′′0+)=αω,′(0=)=0 (2)
On admet que celui-ci possède une solution unique définie surℝ.
Pour tout∈0,1 et0∈ℝ, on considère la fonctiondéfinie par :()= −2 arcsin(⋅(ω(−0))) .
2.a Déterminer l’ensemble de définition deet justifier quey est indéfiniment dérivable.
2.b Observer queest solution surℝde l’équation différentielle+′′ω2sin=0 .
2.c Montrer qu’il existeet0à déterminer tels quesoit solution du problème (2).
2.d Observer queest périodique et préciser sa période1en fonction deωet.
2.e Montrer que1est une fonction croissante deα.
3. Montrer que le rapport1ne dépend que deα(et non deω).
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