Sujet : Analyse, Fonctions numériques, Comparaison de fonctions numériques

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 lnx lnxx x x argshxComparaison de fonctions numériques a) lim b) lim c) lim x→+∞ x→+∞ x→+∞lnx lnx lnx Exercice 1 [ 01821 ] [correction] Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand x→ +∞ Exercice 8 [ 00704 ] [correction] √ 3 p p p p Déterminer les limites suivantes :x +2 2 2 2 2√a) b) x +1+ x −1 c) x +1− x −1 3 2 2x +3 x+sinx lnx+x lnx a) lim b) lim c) lim 2 2+ +x→0 xlnx x→0 ln(x+x ) x→1x −1 Exercice 2 [ 00306 ] [correction] Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand x→ +∞ Exercice 9 [ 01824 ] [correction] Soit f :R→R une fonction décroissante telle quep pln(x+1) a) −1 b) ln(x+1)− ln(x−1) c) xln(x+1)−(x+1)lnx 1lnx ∼f(x)+f(x+1) +∞x a) Etudier la limite de f en +∞.Exercice 3 [ 01823 ] [correction] b) Donner un équivalent de f en +∞.
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Comparaison de fonctions numériques

Exercice 1[ 01821 ][correction]
Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quandx→+∞
)√3√xx23+3+2b)px2+ 1 +px2−1c)px2+ 1−px2−1
a

Exercice 2[ 00306 ][correction]
Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quandx→+∞

a)nl(lx+nx1)−1b)pln(x+ 1)−pln(x−1)

c)xln(x+ 1)−(x+ 1) lnx

Exercice 3[ 01823 ][correction]
Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quandx→0
a)p1 +x2−p1−x2b)tanx−sinxc)ex+x−1

Exercice 4[ 00313 ][correction]
Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quandx→0

a)ln(1 + sinx)b)ln(ln(1 +x))

c)(ln(1 +x))2−(ln(1−x))2

Exercice 5[ 00305 ][correction]
Déterminer un équivalent deln(cosx)quandx→(π2)−

Exercice 6[ 01822 ][correction]
Déterminer les limites suivantes :

lxe−x2
)x→+∞x−+nlxxb)xl→i+m∞xxln+xco−sxx
aim

Exercice 7[ 00705 ][correction]
Déterminer les limites suivantes :

i√xex−x2
m
c)xl→+∞ex+e−x

Enoncés

a)l→im+∞xllnnxx
x

lnx
x
b)limlnxx
x→+∞

Exercice 8[ 00704 ][correction]
Déterminer les limites suivantes :

a)xl→im0+xxinln+sxxb)lim0+lnx+x2
x→ln(x+x2)

Exercice 9[ 01824 ][correction]
Soitf:R→Rune fonction décroissante telle que

f(x) +f(x+ 1)+∼∞x1

a) Etudier la limite defen+∞.
b) Donner un équivalent defen+∞.

Exercice 10[ 03381 ][correction]
Déterminer
xli→m1−ln(x) ln(1−x)

argshx
c)xl→i+m∞lnx

lim lnx
c)x→1x2−1

1

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ln(1 +x)2−ln(1−x)2= (ln(1 +x) + ln(1−x)) (ln(1 +x)−ln(1−x))

or

et

donc

Or

b) Quandx→+∞,
lnxx−11+
pln(x+ 1)−pln(x− )1) =
pln(x+ 1) +pln(x−1

2 2
lnxx−11+= ln1 +x2−1x−1x
∼ ∼
pln(x+ 1) +pln(x−1) = 2√lnx+o√lnx∼2√lnx

et

donc
pln(x+ 1)−pln(x−1)∼x√ln1x
h) Quandx→+∞,
xln(x+ 1)−(x+ 1) lnx=xln 11 +x−lnx= 1 +o(1)−lnx∼ −lnx

a) Quandx→+∞,
√x3+ 2xx3223=x56

√3x2+ 3
b) Quandx→+∞,
px2+ 1 +px2−1 =x+o(x) +x+o(x) = 2x+o(x)∼2x

Exercice 1 :[énoncé]

Corrections

donc

Exercice 2 :[énoncé]
a) Quandx→+∞,

ln 1
ln(lxnx1+1(l1n)+xx)∼xln1x
−=

(x2+ 1)−(x2−1) 2
px2+ 1−px2−1√x2+ 1 +√x−1x+o(x) +x+o(x)∼1x
= =
2

c) Quandx→+∞,

ln(ln(1 +x))∼ln(x)

donc

b) Quandx→0,

ln(1 +x)∼x→06= 1

c) Quandx→0,

ln(1 +x) + ln(1−x) = ln(1−x2)∼ −x2

ln(1 +x)−ln(1−x) =x+o(x)−(−x+o(x)) = 2x+o(x)

(ln(1 +x))2−(ln(1−x))2∼ −2x3

Corrections

Exercice 3 :[énoncé]
a) Quandx→0,

2

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tanx−sinx= tanx(1−cosx tan) = 2xsin22x∼x23

ex+x−1 =x+x+o(x) = 2x+o(x)∼2x

b) Quandx→0,

2
p1 +x2−p1−x2=√1 +x22x√1−x2∼22x2=x2
+

donc

ln(1 + sinx)∼x

ex1∼x

c) Quandx→0,

Exercice 4 :[énoncé]
a) Quandx→0,

carsinx→0, or

sinx∼x

ln(1 + sinx)∼sinx

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Exercice 5 :[énoncé]
Quandx→2π−, posonsx=π2−havech→0+
cosx= cosπ2−h= sinh

Or

donc

puis

Exercice 6 :[énoncé]
a) Quandx→+∞,

b) Quandx→+∞,

c) Quandx→+∞,

Exercice 7 :[énoncé]
a) Quandx→+∞,

sinh∼h→06= 1

ln sinh∼lnh

ln cosx∼lnπ2−x


xex+x2x2
∼=
x−lnx x x→+∞
xlnx−x xlnx= l→+∞
∼nx
x+ cosx x
√xe+x−−xx2√∼xe−x2→0
exe

xlnx2
l =e(lnx)2−ln lnx=e(lnx)2+o(lnx)→+∞
nx

b) Quandx→+∞,
lnxxlnxx=elnxxlnx−lnxxln lnx=e(lnxx)2+o(lnxx)2→1

c) Quandx→+∞,
argshxln(x+√x
=lnx2 = ln(2+ 1)xln+xo(x))∼ll+2nnlnx∼1→1
lnx x

Corrections

Exercice 8 :[énoncé]
a) Quandx→0+,

b) Quandx→0+,

et puisque

on a

xxin+slnxx=x+xxl+nox(x)∼nl2x→0

lnx+x2= lnx+o(lnx)

x+x2∼x→06= 1

ln(x+x2)∼lnx

donc
lnx+x2
ln(x+x2)∼nllnxx= 1→1
c) Quandx→1, on peut écrirex= 1 +havech→0,
lnxnl(2h+1+hh2)∼hh=12→12
x2=2
−1

Exercice 9 :[énoncé]
a)fest décroissante donc possède une limite`en+∞.
Quandx→+∞,f(x)→`etf(x+ 1)→`donc

or

donc`= 0.
b) Quandx→+∞, on a

donc

puis

f(x) +f(x+ 1)→2`

f(x) +f(x+ 1)∼x1→0

f(x+ 1) +f(x)62f(x)6f(x) +f(x−1)

Exercice 10 :[énoncé]
Posonsx= 1−h.
Quandx→1−, on ah→0+et

2f(x)∼1x

f(x)∼21x

ln(x) ln(1−x) = ln(1−h) lnh∼ −hlnh→0

3

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