Sujet : Analyse, Fonctions numériques, Continuité des fonctions numériques

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Continuité des fonctions numériques Exercice 1 [ 01793 ] [correction] p Etudier la continuité surR de l’application f :x7→E(x)+ x−E(x). Exercice 2 [ 01794 ] [correction] 2Etudier la continuité de x7→E(x)+(x−E(x)) .

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Continuité des fonctions numériques

Exercice 1[ 01793 ][correction]
Etudier la continuité surRde l’applicationf:x7→E(x) +px−E(x).

Exercice 2[ 01794 ][correction]
Etudier la continuité dex7→E(x) + (x−E(x))2.

Exercice 3[ 01795 ][correction]
Soitf:R→Rdéfinie par

f(x) =

(

1six∈Q
0sinon

Montrer quefest totalement discontinue.

Exercice 4[ 01796 ][correction]
Soitf:R+?→Rune fonction telle quex7→f(x)est croissante etx7→f(xx)est
décroissante.
Montrer quefest continue.

Exercice 5[ 01797 ][correction]
Soientf:I→Retg:I→Rdeux fonctions continues.
Montrer quesup(f g)est une fonction continue surI.

Exercice 6[ 00240 ][correction]
Etudier la continuité de la fonction

définie surR+.

f:x7→

xn
sup!
n∈Nn

Enoncés

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Par opérationfest continue sur chaqueIk= ]k k+ 1[aveck∈Z.
Il reste à étudier la continuité ena∈Z.
Quandx→a+:f(x) =E(x) +px−E(x)→a=f(a)carE(x)→a.
Quandx→a−:f(x) =E(x) +px−E(x)→a−1 + 1 =a=f(a)car
E(x)→a−1.
Par continuité à droite et à gauche,fest continue ena.
Finalementfest continue surR.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
Soita∈R.
Sia ∈Zalors, au voisinage dea,f(x) =E(a) + (x−E(a))2doncfest continue
ena.
Sia∈Zalors :
Quandx→a+,f(x)→a=f(a).
Quandx→a−,f(x)→a−1 + (a−(a−1))2=a=f(a).
Doncfest continue ena. Finalementfest continue surR.

Exercice 3 :[énoncé]
Soita∈R.
Il existe une suite(un)de nombre rationnels et une suite(vn)de nombres
irrationnels telles queun vn→a.
On af(un) = 1→1etf(vn) = 0→0doncfn’a pas de limite enaet est donc
discontinue ena.

Exercice 4 :[énoncé]
Soita∈R+?.
tlimxtent, sont finies et
Puisquefest croissantexli→ma−f(x)ex→a+f( )exis
6lim
xli→ma−f(x)6f(a)x→a+f(x).
Puisquex7→f(xx)est décroissantelimf(xx)etlimf(x) finies etexi t nt
x→a x→a+xsten , so

limf(x)6f(aa)6limf(x).
x→a+xx→a−x
ations sur les limiteslimf(x)=ximf(x)=1li
Par opérx→a+x a1xli→ma+f( )etxl→a− xx a→ma−f(x)
donc1axli→m+f(x)6a1f(a)6a1xl→ima−f(x)puisxl→ima+f(x)6f(a)6xli→ma−f(x)car
a
a >0.

Par suitelim
x→a+f(x) =f(a) =xli→ma−f(x)et doncfest continue.

Exercice 5 :[énoncé]
sup(f g)(x) = max(f(x) g(x)) =21|f(x)−g(x)|+21(f(x) +g(x))est continue
par opérations.

Exercice 6 :[énoncé]
La suite(un)avecun=nx!nconverge vers 0 doncsupxnn!existe dansR.
n∈N

un+1x
=
unn+ 1

Pourn>E(x)on an+ 1>xdoncun+16un.
Pourn < E(x)on an+ 16xdoncun+1>un.
Par suite
xnxE(x)
f(x) = snu∈pNn! =E(x)!
fest clairement continue en touta∈R+Net continue à droite en touta∈N.
Reste à étudier la continuité à gauche ena∈N?.

Quandx→a:
f(x) =xEE((xx))(=!axa−−11)!→(aaa−−11)aa!f(a)
= =
!a

Finalementfest continue.

2

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