Sujet : Analyse, Fonctions numériques, Limites d'une fonction numérique

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Limites d’une fonction numérique Exercice 1 [ 01784 ] [correction] Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent : √ √ √ 1 +x− 1−x x− x x a) lim b) lim c) lim x x→0 x x→+∞ lnx +x x→0+ 1−x1/x d) lim lnx.

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Limites d’une fonction numérique

Exercice 1[ 01784 ][correction]
Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent :
a)lxi→m0√1 +xx−√1−xb)xl→imx− √xc)lim
dlim l+∞lnx+xx→0+1xx−x
)x→1+nxln(lnx)e)xli→m0(1 +x)1xf)xli→m1arccosx

Exercice 2[ 01785 ][correction]
Déterminer les limites suivantes, lorsque celles-ci existent :
a)xli→m0xsin1xb)lim∞xx2s+oce1xc)xl→i+m∞ex−sinx
x→+
)xl→+∞xctanxe)lxi→m0xE1xf)xl→im+∞xEx1
dimx+ ar

Exercice 3[ 01786 ][correction]
Déterminer les limites suivantes :

a)limE(1x)b)li→m0xE(1x)
x→0+x

c)xli→m0x2E(1x)

Exercice 4[ 01787 ][correction]
¯
Soienta < b∈Retf: ]a b[→Rune fonction croissante.
Montrer que l’applicationx7→li+mfest croissante.
x

Enoncés

Exercice 5[ 01788 ][correction]
Soitf:R→Rune fonctionTpériodique (avecT >0) telle quel+imfexiste dans

R.
Montrer quefest constante.

Exercice 6[ 01789 ][correction]
a) Soitg:R→Rune fonction périodique convergeant en+∞. Montrer quegest
constante.
b) Soientf g:R→Rtelles quefconverge en+∞,gpériodique etf+g
croissante.
Montrer quegest constante.

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x2E(1x)6x21−x1→0
x1−16E1x60

puis à nouveauxE(1x)→1.
c) Quandx→0+,

et quandx0−
→,

via

16xE(1x61−x

1x−16E(1x)61x

x2
x2E(1x)6x→0
06Ex16x1

donne

1−x6xE(1x)61

puisxE(1x)→1.
Quandx→0−,

1
E(1x)>−1→+∞
x

1x−16E(1x)61x

Exercice 3 :[énoncé]
a) Quandx→0+,

donne

b) Quandx→0+,

avecX= lnx→0donclnxln(lnx)→0
e) Quandx→0,
(1 +x)1x=ex1ln(1+x)eX
=

avecX=ln(1x+x)→1donc(1 +x)1x→
e.
f) Quandx→1,

2)
ar1cc−osxx= 1−ycosy= 2 sin2(y= sin(y2) siny(y22)
y

avecy= arccosx→0doncsiny2→0etsinyy22→1puisar1cc−oxsx→0.

Exercice 1 :[énoncé]
a) Quandx→0,
√1 +x−√1−x1 +x−(1−x) 2
x=√1 +x+√1−x=√1 +x+√1−x→1
x


lxnx+√xx= 1ln−1√x→1
xx+ 1

c) Quandx→0+,
xx=exlnx=eX
avecX=xlnx→0doncxx→1.
d) Quandx→1+,
lnxln(lnx) =XlnX

b) Quandx→+∞,

x
xx2+cose1x6x2+ 1→0

1
xsin6|x| →0
x

b) Quandx→+∞,

Exercice 2 :[énoncé]
a) Quandx→0,

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via

c) Quandx→+∞,

ex−sinxlnx>ex−1→+∞

Corrections

d) Quandx→+∞,

0→0.

|E(1x)−1x|61

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1x−16E(1x)61x

donc

e) Quandx→0,

Corrections

|xE(1x)−1|6|x| →0
f) Quandx→+∞,1x→0doncE(1x) = 0puisxE(1x) =

x+ arctanx−16arctanx62πx→0
xx

puis

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Exercice 4 :[énoncé]
L’applicationx7→lxi+mfest bien définie carfest croissante ce qui assure
l’existence deli+mf.
x
Soientx y∈]a b[tels quex < y.
Pourt∈]x y[, on af(t)6f(y). Quandt→x+, on obtientlimf
x+6f(y)or
lim
f(y)6y+fdonclix+mf6lyi+mf.

Exercice 5 :[énoncé]
Posons`= limf.
+∞
Pour toutx∈Ret toutn∈Z, on af(x) =f(x+nT).
Quandn→+∞,x+nT→+∞et doncf(x+nT)→`.
Orf(x+nT) =f(x)→f(x)donc par unicité de la limite`=f(x).
Finalementfest constante.

Corrections

Exercice 6 :[énoncé]
NotonsTune période strictement positive deg.
a) Notons`la limite degen+∞.
−−→`donc r u :g(x) =`. Ainsi
∀x∈R g(x) =g(x+nT)n−→−+∞ de la limitepa nicité
gest constante.
b) Notons`la limite defen+∞.
→`0∈R∪ {+∞}.
Puisquef+gest croissantef+g−+−∞
Si`0= +∞alorsg−−+−−∞→+∞. La démarche du a., montre l’impossibilité de ceci.
x→
Si`0∈Ralors la démarche du a., permet de conclure.

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