Sujet : Analyse, Fonctions numériques, Uniforme continuité

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Uniforme continuité Exercice 1 [ 01818 ] [correction] √ +Montrer que x7→ x est uniformément continue surR . Exercice 2 [ 01819 ] [correction] +?Montrer que x7→ lnx n’est pas uniformément continue surR .

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Uniforme continuité

Exercice 1[ 01818 ][correction]
Montrer quex7→ √xest uniformément continue surR+.

Exercice 2[ 01819 ][correction]
Montrer quex7→lnxn’est pas uniformément continue surR+?.

Exercice 3[ 01820 ][correction]
Montrer quex7→xlnxest uniformément continue sur]01].

Enoncés

Exercice 4Mines-Ponts MP[ 02821 ][correction]
Soitf:R+→Runiformément continue. Montrer qu’il existe des réels positifsa
etbtels que|f(x)|6ax+bpour toutx>0.

Exercice 5X MP[ 03034 ][correction]
Soitf: [01[→Runiformément continue. Montrer quefest bornée.

Exercice 6X MP[ 03035 ][correction]
Soitf:R+→Rcontinue et tendant vers 0 à l’infini.
Montrer quefest uniformément continue.

Exercice 7[ 03153 ][correction]
Soitf:R+?→Rune fonction uniformément continue vérifiant

∀x >0 f(nx)

Montrer quefconverge vers 0 en+∞.

−−−→0
n→∞

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Poury>x>0,(√y− √x)2=y+x−2√xy6y−xdonc√y− √x6√y−x.
Par suite,∀x y>0√y− √x6p|y−x|.
Pour toutε >0, considéronsη=ε2>0.
Pour toutx y>0, si|y−x|6ηalors√y− √x6p|y−x|6√η=ε.

Exercice 2 :[énoncé]
Par l’absurde supposons quex7→lnxsoit uniformément continue surR+?.
Pourε= 1, il existeη >0tel que∀ >x y0,|y−x|6η⇒ |lny−lnx|6ε.
Poury=x+η,|lny−lnx|= lnxx+ηx−→−0−+→+∞. Absurde.

Exercice 3 :[énoncé]
f: [01]→Rdéfinie parf(x) =(xl0sninxonisx6= 0est continue sur le segment
[01], donc uniformément continue sur[01]et donc a fortiori sur]01].

Exercice 4 :[énoncé]
Pourε= 1>0l’uniforme continuité assure l’existence d’unα >0tel que
∀x y∈R,|x−y|6α⇒ |f(x)−f(y)|61. Posonsn=E(xα). On a
|f(α)−f(0)|61,|f(2α)−f(α)|61,. . . ,|f(nα)−f((n−1)α)|61et
|f(x)−f(nα)|61donc en sommant|f(x)−f(0)|6n+ 1puis
|f(x)|6E(xα) + 1 +|f(0)|6ax+baveca= 1αetb= 1 +|f(0)|.

Exercice 5 :[énoncé]
Pourε= 1, il existeα >0tel que∀x y∈[01[|y−x|6α⇒ |f(y)−f(x)|61.
Par suite, pour toutx∈[1−α1[, on a|f(x)−f(1−α)|61puis
|f(x)|61 +|f(1−α)|.
De plus, la fonctionfest continue donc bornée sur le segment[01−α]par un
certainM.
On a alorsfbornée sur[01[parmax{M1 +|f(1−α)|}.

Exercice 6 :[énoncé]
Soitε >0.

Puisqueftend vers 0 en+∞, il existeA∈R+tel que pour toutx∈[A+∞[,
|f(x)|6ε2.
Puisque la fonctionfest continue, elle est continue sur le segment[0 A+ 1]et
donc uniformément continue sur ce segment en vertu du théorème de Heine.
Par suite il existeα >0tel que
∀(x y)∈[0 A+ 1]2|y−x|6α⇒ |f(y)−f(x)|6ε.
Posonsα0= min{α1}>0.
Soientx y∈R+tels que|x−y|6α0.
Quitte à échanger, supposons quexest le plus petit dexety.
Six∈[0 A]alorsx y∈[0 A+ 1]et|y−x|6αdonc|f(y)−f(x)|6ε.
Six∈[A+∞[alorsx y∈[A+∞[donc|f(y)−f(x)|6|f(y)|+|f(x)|6ε.

Exercice 7 :[énoncé]
Soitε >0. Puisquefest uniformément continue, il existeα >0vérifiant

∀ >x y0|y−x|6α⇒ |f(y)−f(x)|6ε

Considérons alors la suite(f(nα)). Puisque celle-ci converge vers 0, il existe
N∈Nvérifiant
∀n>N|f(nα)|6ε

PosonsA=N α. Pourx>A, il existen>Nvérifiant

et donc

|nα−x|6α

|f(x)|6|f(x)−f(nα)|+|f(nα)|62ε

On peut alors conclure quefconverge vers 0 en+∞.

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