Sujet : Analyse, Fonctions usuelles, Fonctions hyperboliques

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Fonctions hyperboliques Exercice 1 [ 01861 ] [correction] 2+ xEtablir que pour tout x∈R , on a shx>x et pour tout x∈R, chx> 1+ .2 Exercice 2 [ 01862 ] [correction] yπ π πSoit y∈ − , . On pose x = ln tan + .

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Fonctions hyperboliques

Exercice 1[ 01861 ][correction]
Etablir que pour toutx∈R+, on a shx>xet pour toutx∈R, chx>1 +x22.

Exercice 2[ 01862 ][correction]
SMoiotntyre∈rq−ue2πth2πx2.=Otnapnoy2,tesxhx=sin=lntaynety2ch+x4π=.co1sy.

Exercice 3[ 01863 ][correction]
Pourn∈Neta b∈R, calculer

n n
Xch(a+kb) etXsh(a+kb)
k=0k=0

Exercice 4[ 01864 ][correction]
n
Pourn∈Netx∈R, simplifierPn(x) =Qch2xken calculantPn(x)sh2xn.
k=1

Exercice 5[ 01865 ][correction]
Pourn∈Netx∈R+?, observer th((n+ 1)x)−th(nx) =shx
ch(nx)ch((n+1)x).
n
CalculerSn(x) =Ph(kx)ch1((k+1)x).
c
k=0

Exercice 6[ 01866 ][correction]
Soientaetαdeux réels.
Résoudre le système d’inconnuesxety
c+chy
(hshxx+shy=2=2aahhcsαα

Exercice 7
Etablir :

[ 01869 ][correction]
∀x∈R|arctan(shx)|= arccos

1
chx

Enoncés

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Posonsf(x) =shx−xdéfinie surR+.fest dérivable,f0>0etf(0) = 0doncf
est positive.
Posonsg(x) =chx−1−x22définie surR.gest deux fois dérivable,g00>0,
g0(0) =g(0) = 0de variation et de signe depermet de dresser les tableaux g0puis
deg. On conclutgpositive.

Exercice 2 :[énoncé]
thx2=eexx+−11=tantan((2yy2++4ππ4))+−11=issn((22y++4π4π))+−oscocs((2y2y+π4=)sin(π4+y2)−sin(π4−y2)
iny+π4)sin(π4+y2)+sin(π4−2y) =
scionsy22ynioscsππ4= tan2y.
4
ty
thx=antan22((y22++ππ4))+−11= sin2y2+π4−cos22y+π4=−cosy+2π= siny.
4
n(2y+π4)+tan−1(2y+π4)=s
chx=2ni2sat2i(n(2yy2++4ππ4)+)csocso2((y2y2++4ππ4=))sin(y1+2π)=cos1y.

Exercice 3 :[énoncé]
Posons

On a

n n
C=Xch(a+kb) etS=Xsh(a+kb)
k=0k=0

n(e(an1+−1e1(−)nee+ba1)bsisibb6==00
C+S=Xea+kb=
k=0

et

n+kb)=((na+1−11e)−−e(e−n−a+b1)bisisb6= 0
C−S=e−(a
k=X0eb= 0
On en déduitCetS.

Exercice 4 :[énoncé]
Six= 0alorsPn(x) = 1, sinonPn(x)sh2xn=  =21nsh(x)donc
Pn(x) =2nshsh((xx2)n).

Exercice 5 :[énoncé]
th((n+ 1)x)−th(nx) =ch(nx)hshc(x(n+1)x)se vérifier par calculs.
n
Sn(x) =kP=0ch(kx)ch1((k+1)x)=th(s(hn(+x))1x).

2

Exercice 6 :[énoncé]
Sia <1alorsS=∅.
Sia= 1alorsS={(α α)}.
Sia >1en faisant apparaître un système somme produit :alors
S=n(ln(a−pa2−1) +αln(a+pa2−1) +α)(ln(a+pa2−1) +αln(a−pa2−1) +

Exercice 7 :[énoncé]
Soitf:R+→Rdéfinie parf(x) = arctan(shx)−arccosch1x.
La fonctionfest continue surR+et dérivable sur]0+∞[.
Pourx >0,

=−=
f0(x) = 1 +hcsxh2x−chhs2xxchx1hschxxh1x0
pch2x−1chxs

Doncfest constante sur]0+∞[puis surR+par continuité.
Puisquef(0) = 0, on peut conclure que
∀x∈R+|arctan(shx)|= arccosch1x

Par parité, le résultat se prolonge aussi àx∈R−.

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