Sujet : Analyse, Fonctions usuelles, Fonctions hyperboliques inverses

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Fonctions hyperboliques

Exercice 1[ 01867 ][correction]
Simplifier les expressions suivantes :

Exercice 2
Simplifier :

a) ch(argshx)
d) sh(argchx)

[ 01868 ][correction]

inverses

b) th(argshx)
e) th(argchx)

a) argch(2x2−1)

c) sh(2argshx)
f) ch(argthx)

b) argsh(2xp1 +x2)

Exercice 3[ 01870 ][correction]
Résoudre l’équation
argshx+argchx= 1

Exercice 4[ 01871 ][correction]
SoitG:−2ππ2→Rdéfinie parG(t) =argsh(tant).
Montrer queGest dérivable et que pour toutt∈−2π2π,G0(t) =chG(t

).

Enoncés

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) cha=p1 +sh2adonc ch(argshx) =√1 +x2.
b) th(argshx) =√1x+x2.
c) sh(2argshx) = 2sh(argshx)ch(argchx) = 2x√1 +x2.
d) sh(argchx) =√x2−1.
e) th(argchx) =√x2x−1.
f) th2a= 1−ch12adonc ch(argthx) =√11−x2.

Exercice 2 :[énoncé]
a) Pourx>1, posonsα=argchx
On a

argch(2x2−1) = argch(2ch2α−1) =argch(ch2α) = 2α= 2argchx

Par parité , pourx∈]−∞−1]∪[1+∞[,

argch(2x2−1) = 2argch|x|

b) Posonsα=argshx.
On a2x√1 +x2= 2shαchα=sh2αdonc
argsh(2xp1 +x2) = 2α= 2argshx

Corrections

Exercice 3 :[énoncé]
La fonctionf:x7→argshx+argchxest continue et strictement croissante sur
[1+∞[.
f(1) =argsh(1)etl+im∞f= +∞. Puisque sh1>1, argsh(1)61.
L’équation possède donc une unique solutiona. Déterminons-la.
sh(1) =sh(argsha+argcha) =a2+p1 +a2pa2−1 =a2+pa4−1

donc

puis

et enfin

pa4−1 =sh(1)−a2

2ch21
a=
2sh1

ch1
a=√2sh1

Exercice 4 :[énoncé]
Gest dérivable par composition etG0(t)
chG(t) =q1 +sh2G(t) =p1 + tan2t.

=p1 + tan2t. Or

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