Sujet : Analyse, Fonctions usuelles, Fonctions trigonométriques

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Fonctions trigonométriques Exercice 8 [ 01846 ] [correction] Soit x = 0 [2π]. a) MontrerExercice 1 [ 01839 ] [correction] (n+1)x nx2+ x sin sinEtablir que pour tout x∈R , on a sinx6x et pour tout x∈R, cosx> 1− . 2 22 sinx+sin2x+···+sinnx = xsin 2 en procédant par récurrence sur n∈N. Exercice 2 [ 01840 ] [correction] b) En exploitant les nombres complexes. Développer : a) cos3a b) tan(a+b+c) Exercice 9 [ 01847 ] [correction] Résoudre les équations suivantes d’inconnues x∈R. Exercice 3 [ 01841 ] [correction] 4 4 π π π a) cos(2x−π/3) = sin(x+3π/4) b) cos x+sin x = 1Calculer cos en observant 2× = . 8 8 4 c) sinx+sin3x = 0 d) sinx+sin2x+sin3x = 0 √ √ √ e) 3cosx− 3sinx = 6 f) 2sinx.cosx+ 3cos2x = 0 Exercice 4 [ 01842 ] [correction] Simplifier cosp−cosq Exercice 10 [ 01848 ] [correction] sinp+sinq Résoudre l’équation tanxtan2x = 1En déduire la valeur de π tan 24 Exercice 11 Mines-Ponts MP [ 02645 ] [correction] 4PExercice 5 [ 01843 ] [correction] 2 kπCalculer cos .9 Linéariser : k=1 2 2 2 2a) cos x b) cosxsin x c) cos xsin x d) cosacosb e) cosacosbcosc Exercice 6 [ 01844 ] [correction] Ecrire sous la forme Acos(x−ϕ) les expressions suivantes : √ a) cosx+sinx b) cosx− 3sinx Exercice 7 [ 01845 ] [correction] Pour a,b∈R tels que b = 0 [2π], calculer simultanément n nX X cos(a+kb) et sin(a+kb) k=0 k=0 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD 66 [http://mp.cpgedupuydelome.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

• Publié par: analyse-mpsi
• Nombre de lectures: 51
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Fonctions trigonométriques

Enoncés

Exercice 1[ 01839 ][correction]
Etablir que pour toutx∈R+, on asinx6xet pour toutx∈R,cosx>1−x22.

Exercice 2[ 01840 ][correction]
Développer :

a)cos 3ab)tan(a+b+c)

Exercice 3[ 01841 ][correction]
Calculercosπ8en observant2×8π=4π.

Exercice 4[ 01842 ][correction]
Simplifier

En déduire la valeur de

Exercice 5[ 01843 ][correction]
Linéariser :

cosp−cosq
sinp+ sinq

π
tan
24

a)cos2xb)cosxsin2x
d)cosacosbe)cosacosbcosc

c)cos2xsin2x

Exercice 6[ 01844 ][correction]
Ecrire sous la formeAcos(x−ϕ)les expressions suivantes :
a)cosx+ sinxb)cosx−√3 sinx

Exercice 7[ 01845 ][correction]
Poura b∈Rtels queb6 [2= 0π], calculer simultanément

n n
Xcos(a+kb)etXsin(a+kb)
k=0k=0

Exercice 8[ 01846 ][correction]
Soitx6= 0 [2π].
a) Montrer

sinx+ sin 2x+∙ ∙ ∙+ sinnx= sin(n1+2)xsinn2x
sinx2

en procédant par récurrence surn∈N.
b) En exploitant les nombres complexes.

Exercice 9[ 01847 ][correction]
Résoudre les équations suivantes d’inconnuesx∈R.

a)cos(2x−π3) = sin(x+ 3π4)b)cos4x+ sin4x= 1
c)sinx+ sin 3x= 0d)sinx+ sin 2x+ sin 3x= 0
e)3 cosx√−3 sinx=√6f)2 sinxcosx+√3 cos 2x= 0

Exercice 10[ 01848 ][correction]
Résoudre l’équation
tanxtan 2x= 1

Exercice 11Mines-Ponts MP
4
CalculerPcos2k9π.
k=1

[ 02645 ][correction]

1

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Posonsf(x) =x−sinxdéfinie surR+.
fest dérivable,f0>0etf(0) = 0doncfest positive.
Posonsg(x) = cosx−1 +x22définie surR.
gest deux fois dérivable,g00>0,g0(0) =g(0) = 0permet de dresser les tableaux
de variation et de signe deg0puis deg. On conclutgpositive.

Exercice 2 :[énoncé]
a)cos 3a= cos(2a+a)puis

cos 3a= 4 cos3a−3 cosa

b)tan(a+b+c) = tan((a+b) +c)puis

tan(a+b+c1a)t=−tnaan+atanatnbb+−tnatanbc−tantacna−nnattacbnattanca

Exercice 3 :[énoncé]
On saitcos 2a cos= 22a−1donc

puis

et enfin

2 cos2π−1 =√2
8 2

cos2=√2 + 2
π
8 4
πp√2 + 2
cos =
8 2

Exercice 4 :[énoncé]
Par factorisation
p−qp−q
cosp−cosq=−sin2=−tan
sinp+ sinqcosp2−q2
Pourp=4πetq=6πon obtient
π√23−√22√3√−2
tan 4 = =
2√22+21√2 + 1

Exercice 5 :[énoncé]
a)cos2x=1cos 2x+1
b)cosxsin22x=14cosx2.−14cos 3x.
c)cos2xsin2 1
x=1 4sin22x=18(1−cos 4x)
=
d)cosacosb2(cos(a+b) + cos(a−b))
e)cosacosbcosc=
41(cos(a+b+c) + cos(a+b−c) + cos(a−b+c) + cos(a−b−c)).

Exercice 6 :[énoncé]
a)cosx+ sinx=√2 cos(x−π4).
b)cosx√−3 sinx cos(= 2x+π3).

Exercice 7 :[énoncé]
En passant aux nombres complexes

n n n
Xcos(a+kb) +iXsin(a+kb) =Xei(a+kb)
k=0k=0k=0

Par sommation géométrique puis factorisation de l’exponentielle équilibrée

Par suite

et

nXei(a+kb)=eiaei(ein+b1)−b1−1 = ei(a+nb2)sin(n)21+b
k=0sinb2

n1bb
X(n2)++n2 )
k=0cos(a+kbsinis=)n2bcos(a

n(n
Xsin(a+kb) = sin)1+2bn(a+n2b)
k=0sinb2si

2

Exercice 8 :[énoncé]
a) L’hérédité de la récurrence s’obtient via :
sin (n+1)2xsinn2x+ sin(n+ 1)xs2nix= sin (n2)1+xsinn2x+ 2 cos (n+)12xsinx2
= sin (n+ 1)xsin (n+ 2)x
2 2

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

en exploitant

p−q p+q

si−s cos
npinq 2= 2 sin 2
avec
p= (n)22+xetq=n2x
b) Par les nombres complexes
x
sinx+ sin 2x+∙ ∙ ∙+ sinnx=Im(k=Xn1eikx) =Imeix1−−eie(xin+1)

donc

n+ 1)xsinn2x
sinx+ sin 2x+∙ ∙ ∙+ sinnxImei(n1+2)xinsinsxn22x= sin ( 2 sin2x

Exercice 9 :[énoncé]
a) L’équation étudiée équivaut à

cos(2x−π3) = cos(x+π4)

On obtient pour solutions
x217=π[2π]etx=3π623π

b) L’équation étudiée équivaut à

soit encore

cos4x+ sin4x= (cos2x+ sin2x)2

On obtient pour solutions

c) L’équation étudiée équivaut à

On obtient pour solutions

2 cos2xsin2x= 0

x= 0 [π2]

2 sin 2xcosx= 0

x [= 0π2]

Corrections

d) L’équation étudiée équivaut à

On obtient pour solutions

2 sin(2x)cosx+ 1= 0
2

x [= 0π2] x2=3π[2π]etx=−23π

e) L’équation étudiée équivaut à
3
2√3√cosx−ni1s2x=√6
2
soit encore
cosx+π= cπ
6 os 4
On obtient pour solutions

x=1π[2π]etx=−51π2 [2π]
2

f) L’équation étudiée équivaut à
22nis12x+√32soc2x= 0

soit encore

On obtient pour solutions

sin2x+3π= 0

x3=π[π]etx=−6π[π]

[2π]

Exercice 10 :[énoncé]
Pourx6=2π[π]etx6=4ππ2,
tanxtan 2x= 1⇔sinxsin 2x−cosxcos 2x= 0⇔cos 3x= 0⇔x=6π

π3.

Exercice 11 :[énoncé]
En linéarisant et en faisant quelques transformations angulaires de simplification
4
Pcos 42 9.
kπ7
=
k=1

3

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD