Sujet : Analyse, Fonctions usuelles, Fonctions trigonométriques inverses

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Fonctions trigonométriques inverses Exercice 8 [ 01856 ] [correction] Résoudre les équations suivantes d’inconnue x réelle : Exercice 1 [ 01849 ] [correction] 4 5 a) arcsinx = arcsin +arcsin b) arcsintanx =xSimplifier les expressions suivantes : 5 13 √ 7π c) arccosx = arcsin2x d) arctanx+arctanx 3 = a) cos(2arccosx) b) cos(2arcsinx) c) sin(2arccosx) 12 2x tanxd) cos(2arctanx) e) sin(2arctanx) f) tan(2arcsinx) e) arcsin = arctanx f) arcsin =x 21+x 2 Exercice 2 [ 01850 ] [correction] Exercice 9 [ 01857 ] [correction] 3Simplifier la fonction x7→ arccos(4x −3x) sur son intervalle de définition. On appelle argument principal d’un complexe z non nul, l’unique θ∈ ]−π,π] tel iθque z =|z|e . y− √Montrer que si z∈C\R alors θ = 2arctan avec x = Re(z) et 2 2x+ x +y Exercice 3 [ 01851 ] [correction] y = Im(z).x√Simplifier arcsin . 21+x Exercice 10 [ 01858 ] [correction] Simplifier arctana+arctanb pour a,b> 0.Exercice 4 [ 01852 ] [correction] Montrer que la courbe représentative de la fonction arccos est symétrique par rapport au point de coordonnées (0,π/2). Exercice 11 [ 01859 ] [correction] Soit p∈N. Calculer arctan(p+1)−arctan(p). nP 1Etudier la limite de la suite (S ) de terme général : S = arctan .n n 2p +p+1Exercice 5 [ 01853 ] [correction] p=0arccos(1−x) √Déterminer lim à l’aide d’un changement de variable judicieux.
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Fonctions trigonométriques inverses

Exercice 1[ 01849 ][correction]
Simplifier les expressions suivantes :

a)cos(2 arccosx)b)cos(2 arcsinx)c)sin(2 arccosx)
d)cos(2 arctanx)e)sin(2 arctanx)f)tan(2 arcsinx)

Exercice 2[ 01850 ][correction]
Simplifier la fonctionx7→arccos(4x3−3x)sur son intervalle de définition.

Exercice 3[ 01851 ][correction]
Simplifierarcsin√1x+x2.

Exercice 4[ 01852 ][correction]
Montrer que la courbe représentative de la fonctionarccosest symétrique par
rapport au point de coordonnées(0 π2).

Exercice 5[ 01853 ][correction]
Déterminerlimarcco√s(1−x)à l’aide d’un changement de variable judicieux.
x→0+x

Exercice 6[ 01854 ][correction]
Etudier les fonctions suivantes afin de les représenter :

Enoncés

a)f:x7→arcsin(sinx) + arccos(cosx)b)f:x7→arcsin(sinxoc(s2sa21+occr)x)
c)f:x7→arccosr2s1+coxd)f:x7→arctanr11−socsoc+xx

Exercice 7[ 01855 ][correction]
Simplifier :
a)arctan21+ arctan51+ arctan81.
b)arctan 2 + arctan 3 + arctan(2 +√3).
16
c)arcsin54+ arcsin351+ arcsin65.

Exercice 8[ 01856 ][correction]
Résoudre les équations suivantes d’inconnuexréelle :
csin4rcsin153b)arcsin tanx=x
ac))raccsoracsinxx5=csar2=ianrx+ ad)arctanx+ arctanx√=3217π
)ar 2xrctanxf)niatrasc2nx=x
=
e1+csinx2a

Exercice 9[ 01857 ][correction]
On appelle argument principal d’un complexeznon nul, l’uniqueθ∈]−π π]tel
quez=|z|eiθ.
Montrer que siz∈CR−alorsθ arctan= 2+√xy2+y2avecx=Re(z)et
x
y=Im(z).

Exercice 10[ 01858 ][correction]
Simplifierarctana+ arctanbpoura b>0.

Exercice 11[ 01859 ][correction]
Soitp∈N. Calculerarctan(p+ 1)−arctan(p).
n
Etudier la limite de la suite(Sn)de terme général :Sn=Parctanp2+1p+1.
p=0

Exercice 12[ 01860 ][correction]
a) Calculer

Z101 +dtt2

b) Etablir, pour toutn∈N
(−1
Z10kX=n0(−1)kt2kdt4=π+Z01+1)ntt22n+2dt

c) Justifier

d) En déduire

06Z10t12n++t22dt6Z10t2n+2dt1
=
2n+ 3

nX(−1)kπ
−−−→
k=02k+ 1n→∞4

1

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Exercice 13Mines-Ponts MP[ 02814 ][correction]
Soientx1     x13des réels. Montrer qu’il existeietjdans{1    13}tels que
i6=jet061x+ix−ixxjj62√−3. Indice : Utiliser la fonction tan.

Enoncés

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)cos(2 arccosx) = 2 cos2(arccosx)−1 = 2x2−1.
b)cos(2 arcsinx) = 1−2 sin2arcsinx= 1−2x2.
c)sin(2 arccosx) = 2x√1−x2
2
d)cos(2 arctanx cos) = 22arctanx−1 =21+−1 =1−x
x21+x2.
e)sin(2 arctanx) = 2 sin(arctanx) cos(arctanx) =2x
1+x2.
f)tan(2 arcsinx) =21−attan(n2niiasrccsra(x)=2x1√12−2x2
nx)−x.

Exercice 2 :[énoncé]
f:x7→arccos(4x3−3x)est définie sur[−11].
Pourx∈[−11], posonsθ= arccosx, on a alors
f(x) = arccos(4 cos3θ−3 cosθ 3) = arccos(cosθ).
Siθ∈[0 π3]i.e.x∈[121]alorsf(x) = 3θ arccos= 3x.
Siθ∈[π32π3]i.e.x∈[−1212]alorsf(x) = 2π−3θ= 2π−3 arccosx.
Siθ∈[2π3 π]i.e.x∈[−1−12]alorsf(x) = 3θ−2π= 3 arccosx−2π.

Corrections

Exercice 3 :[énoncé]
La fonctionx7→√1x+x2est dérivable et à valeurs dans]−11[donc
x7→arcsinx
√1+x2est dérivable etarcsin√1x+x20(=√1+1x2)32q1−11+x2x2=1+1x2
doncarcsin√1x+x2= arctanx+C.
En évaluant enx= 0, on obtientC= 0.

Exercice 4 :[énoncé]
Calculonsarccos(x) + arccos(−x).
On acos(arccos(x) + arccos(−x)) =−x2−(1−x2) =−1et
arccos(x) + arccos(−x)∈[02π]doncarccos(x) + arccos(−x) =πce qui permet de
justifier la symétrie avancée.

Exercice 5 :[énoncé]
Quandx→0+:arcco√s(x1−x)=√1−ycos(y)avecy= arccos(1−x)→0+.
Or1−cos(y)∼y22doncarcco√s(x1−x)=√1−ycos(y)√→2.

3

Exercice 6 :[énoncé]
a)fest2πpériodique.
Sur[−π20]:arcsin(sinx) =xetarccos(cosx) =−xdoncf(x) = 0.
Sur[0 π2]:arcsin(sinx) =xetarccos(cos(x)) =xdoncf(x) = 2x.
Sur[π2 π]:arcsin(sinx) =π−xetarccos(cosx) =xdoncf(x) =π.
Sur[−π−π2]:arcsin(sinx) =−x−πetarccos(cos(x)) =−xdonc
f(x) =−2x−π.
b)fest2πpériodique.
Sur[0 π2],f(x) =x+x= 2x. Sur[π2 π],f(x) =π−x+π−x= 2π−2x.
Sur[−π20],f(x) =x−x= 0. Sur[−π−π2],f(x) =−x−π+π+x= 0.
c)f(x) = arccosq21arccos|cos(x2)|.fest2πpériodique, paire, sur[0 π]
+cosx=
f(x) =x2.
d)f(x) = arctanq11−sscoco+xx= arctan|tanx2|.fest2πpériodique, paire. Sur
[0 π[ f(x) =x2. On retrouve la fonction ci-dessus.

Exercice 7 :[énoncé]
a) Posonsθ= arctan21+ arctan1+ arctan18.
On a06θ <3 arctan√31=π25ettanθ= 1doncθ=π4.
b) Posonsθ1=arct3a4n 26+θa<rc3t2πanet3a+crantatn2 +√3.
On a =3 arctanπθ=√31doncθ=67π.
c)cosarcsin54+ arcsin351=321513−31554=6156et
cos2π−arcsin6615= sinarcsin615=165.
6 6
Orarcsin54+ arcsin513∈0π2et2π−arcsin5661∈0π2d’où l’égalité
=
arcsin54+ arcsin513+ arcsin16π2
65

Exercice 8 :[énoncé]
a)S={6365}.
b)S={0}.
c)S=1√5.
d)S={1}.
e)S=0√3√−3.
f)S={0 π3−π3}.

Exercice 9 :[énoncé]
Posonsθl’argument principal dez∈CR−. On aθ∈]−π π[,cosθ=√x2x+y2et
sinθ=y.
√x2+y2

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y
Posonsα arctan= 2x+√xy2+y2. On aα∈]−π π[,t= tanα2=x+√x2+y2,
cosα=11−+tt22=x2+x√x2+y2xet
x2+x√x2+y2+y2=√x2+y2
sinα=+21tt2=x2y(+xx+√√x2x2++y2y2)+y2=√ydoncα=θ.
x2+y2

Exercice 10 :[énoncé]
On atan(arctana+ arctanb) =1a−+bbadonc
arctana+ arctanb= arctan1a−+bba[π].
Siab= 1alorsarctana+ arctanb=π2.
Siab <1alorsarctana+ arctanb= arctan1a−+bab.
Siab >1alorsarctana+ arctanb= arctan1a−+abb+π.

Corrections

Exercice 11 :[énoncé]
Posonsθ= arctan(p+ 1)−arctan(p). Comme06arctanp6arctan(p+ 1)< π2
on aθ∈[0 π2[.
De plustanθ=p2+1p+1doncθ= arctanp2+1p+1.
n
Sn=pP=0a np2+1p+1== arctan(n+ 1)→π2.
rcta

Exercice 12 :[énoncé]
a)R1+10dtt2= [arctant]01=4π.
b) Par sommation géométrique
1
Z0Xn(−1)kt2kdt=Z011+1(−+)1tn2t2n+2dt4=π+Z01(−1)1n+tt22n+2dt
k=0
c)R10t12n++t22dt>0par intégration d’une fonction positive sur[01].
De plus
1t2
Z01 +n+t22dt6Z10t2n+2dt=2n13+

car1+1t261.
d) On a

n1
knX=02(k−)1+k1 =kX=0Z0kdt=Z10kX=n0(−1)kt2kdt
(−1)kt2

donc

car

k=02k−+)1k4=1π+ (−1)nZ01 +
Xn(1t2n+t22dt→π
4
Z01t12n++t22dt→0

4

Exercice 13 :[énoncé]
Posonsαi= arctanxi. Lesα1     α13évoluent dans]−π2 π2[, en coupant cet
intervalle en 12 intervalles contiguës de longueurπ12, on peut affirmer que deux
éléments parmi lesα1     α13appartiennent au mme intervalle (principe des
tiroirs). Ainsi il existei6=jvérifiant06αi−αj61π2et donc
06tan(αi−αj)6tan1π2. Ortan(αi−αj) =1x+i−xixxjjettan1π2= 2−√3.

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