Sujet : Analyse, Intégrales doubles, Intégration en coordonnées polaires

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Intégration en coordonnées

Exercice 1
Calculer

polaires

[ 01951 ][correction]
I=Z ZDcos(x2+y2)dxdy
oùDest le disque de centreOet de rayonR.

Exercice 2
Calculer

[ 01952 ][correction]
Z Z

sin(x2+y2) dxdy
D
oùDdésigne le disque de centreOet de rayon√π.

Exercice 3
Calculer

[ 01953 ][correction]
I=Z ZDx+x2p+xy2dxdy
2+y2

oùDest le quart de disque unité inclus dansR+×R+.

Exercice 4[ 01954 ][correction]
Calculer
Z ZDdxdy
x
oùDdésigne le domaine borné délimité par la cardioïde d’équation polaire
ρ= 1 + cosθ.

Exercice 5
Calculer

[ 01957 ][correction]

oùD=(x y)∈R2x

Z Z

xdxdy
D
2+y−x60.
2

Enoncés

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
En passant aux coordonnées polaires
I=Zθ2=π0ZρR=0rcos(r2) drdθ= 2πsin12r20R=πsinR2

Exercice 2 :[énoncé]
En coordonnées polaires
Z ZDsin(x2+y2) dxdy=Zθ=2π0Zρ=√0πρsinρ2dρdθ= 2π

Corrections

Exercice 3 :[énoncé]
En passant aux coordonnées polaires
r2
I=Z0π2Z01rcosθ+r rdrdθ=Z0π2osc31θ+1d1θt=ta=nθ232Z10d2t1=3

Exercice 4 :[énoncé]
En coordonnées polaires
Z Zxdxdy=Zθ=π−πZρocs+1=0θρ2cosθdρdθ=13Z−ππcosθ(1 + cosθ)3dθ
D
Sachant
π
Zcos2θdθ=π
−π
et
πin22 3π
Z−ππcos4θdθ=Zπcos2θdθ−41Z−ππsθdθ4=

on obtient
Z ZDxdxdy5=4π

Exercice 5 :[énoncé]
On peut décrireDen coordonnées polaires

On a alors
Z Z

D={(rcosθ rsinθ)θ∈[−π2 π2]06r6cosθ}

xdxdy
D

rdrdθ= 1π2
=Z−ππ22Zcos0θrcosθ3Z−π2cos4θdθ=π8

2

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