Sujet : Analyse, Intégration, Calcul d'intégrales

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Calcul d’intégrales

Exercice 1[ 01964 ][correction]
Calculer les intégrales suivantes :
a)Z2d2tb)
1t

Z101d+tt2

Exercice 2[ 00284 ][correction]
Calculer les intégrales suivantes :

a)Zcos2tdt
0

Z12
b)lntdt

)Z102dt
c√1−t2

c)Z01√1t+t2dt

Exercice 3[ 01963 ][correction]
Pourm n∈N, calculer
2
mn=Z0πcos(mt) cos(nt) dt
I

Exercice 4Centrale PC[ 01547 ][correction]
Démontrer que, pour toutQ∈R[X],
Z−11Q(t) dt=−iZ0πQ(eiθ)eiθdθ

Exercice 5CCP MP
a) Etudier la fonction

avec|λ| 6= 1.
b) Calculer

[ 02508 ][correction]

fλ(x) =√1−2sλocnixsx+λ2

Z0πfλ(x) dx

Enoncés

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Dans chaque la détermination d’une primitive est (assez) immédiate
a)
Z21td2t=−122=1
t1
b)

c)

1
Z0+1dtt2= [arctant]104=π

Z102√d1t−t2= [arcsint]12π
06=

Exercice 2 :[énoncé]
a) En linéarisant
Z02πcos2tdt=Z2πso221c+tdt=2t+2nis4t02π=π
0

b) Par intégration par parties
2
Zlntdt= [tlnt−t]12= 2 ln 2−1
1
c) On reconnaît une formeu0√u
Z01√1t+t2dt=ph1 +t2i10=√2−1

Exercice 3 :[énoncé]
Sim=n= 0alors

Inn=Zdt= 2π
0
Sim=n6= 0alors
Inn=Z02πcos2(nt)dt=Z20π12+21oc(s2nt)dt=π

Corrections

Sim6=n, en exploitant

cosmtcosnt=sco(2(1m+n)t+ cos(m−n)t)

2

on obtient
−n)t]02π
Imn21=Z02πcos(m+n)tdt2+1Z20πcos(m−n)tdt2([=is(nmm++nn))t]20π+([2sin(mm−n)

Exercice 4 :[énoncé]
Par linéarité de l’intégrale, il suffit de vérifier la relation pourQ=Xnavecn∈N.
D’une part
Z−11Q(t) dt=n11+tn+11−1= 1−(−1)n+1
n+ 1
et d’autre part
1πei(n+1)π−1
ZπQ(eiθ)eiθdθ=ei(n+1)θ=

0i(n+ 1)0i(n+ 1)

Sinest impair alors

Z−11Q(t) dt= 0 =−iZ0πQ(eiθ)eiθdθ

Sinest pair alors
Z−11Q(t) dt=n2+1etZ0πQ(eiθ)eiθdθ=i(n−2+)1

et la relation voulue est encore vérifiée.
Une alternative plus courte, mais moins élémentaire consister à exploiter que la
forme différentielle

ω(x y) =Q(z) dz=Q(x+iy) (dx+idy)

est exacte et que donc son intégrale curviligne le long d’un pourtour fermée est
nulle.

Exercice 5 :[énoncé]
a)1−2λcosx+λ2= (λ−cosx)2+ sin2x >0pour toutx∈Rcar|λ| 6= 1. La

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=

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Corrections

fonctionfλest définie surR. Cette fonction est évidemmentC∞,2π-périodique et
impaire. Nous limitons son étude à[0 π].
Le casλ= 0est immédiat. On suppose dans la suiteλ6= 0.
f0λ(x)est du signe deλ2cos(x)−λ(1 + cos2x) + cosx. Cette expression s’annule
pourcosx=λoucosx= 1λ.
Pour|λ|<1,
x0 arccosλ π
f0λ(x) + 0−
fλ(x) 0%1&0

Pour|λ|>1,

x
f0λ(x)
fλ(x)

On a
Z0πfλ(x)dx= 1
λ
Pour|λ|<1,

Pour|λ|>1,

0

0

+
%

arccos 1λ
0
1λ


&

π

0

hp1−2λcosx+λ2i0π=|1 +λ|λ− |1−λ|

Z0πfλ(x)dx= 2

Zπx=|λ2|
fλ(x)d
0

3

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