Sujet : Analyse, Intégration, Fonction dont la variable est borne d'intégration

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Fonction dont la variable est borne d’intégration a) Montrer que f est dérivable et que Z x 0Exercice 1 [ 01987 ] [correction] f (x) = cos(t−x)g(t)dt 0Soit f :R→R une fonction continue. 1Justifier que les fonctions g :R→R suivantes sont de classeC et exprimer leur 00b) Montrer que f est solution de l’équation différentielle y +y =g(x). dérivée : c) Achever la résolution de cette équationtielle. 2Z Z Zx x x a) g(x) = f(t)dt b) g(x) = xf(t)dt c) g(x) = f(t +x)dt 2x 0 0 Exercice 5 [ 01991 ] [correction] 1 ?Soient f :R→R de classeC et F :R →R définie par Exercice 2 [ 01988 ] [correction] Z x1Soit ϕ :R→R la fonction définie par : ∀x = 0,F (x) = f(t) dt 2x −xsht ϕ(t) = pour t = 0 et ϕ(0) = 1 t a) Montrer que F peut être prolongée par continuité en 0. On effectue ce Soit f :R→R définie par : prolongement. ? 0b) Montrer que F est dérivable surR et exprimer F (x) à l’aide d’une intégraleZ 2x 0c) Montrer que F est dérivable en 0 et observer F (0) = 0.f(x) = ϕ(t)dt x a) Montrer que f est bien définie et étudier la parité de f. 0 Exercice 6 [ 00276 ] [correction]b) Justifier que f est dérivable et calculer f (x). Pour x∈ ]0, 1[, on posec) Dresser le tableau de variation de f. Z 2x dt ϕ(x) = lntx Exercice 3 [ 01989 ] [correction] a) Montrer que ϕ est bien définie et que cette fonction se prolonge par continuitéSoit f : [0, 1]→R continue. On définit F : [0, 1]→R par en 0 et en 1.
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Fonction dont la variable est borne d’intégration

Exercice 1[ 01987 ][correction]
Soitf:R→Rune fonction continue.
Justifier que les fonctionsg:R→Rsuivantes sont de classeC1et exprimer leur
dérivée :
a)g(x) =Z2xx2f(t)dtb)g(x) =Z0xx f(t)dtc)g(x) =Zxf(t+x)dt
0

Exercice 2[ 01988 ][correction]
Soitϕ:R→Rla fonction définie par :

s
ϕ(t) =thtpourt6= 0etϕ(0) = 1
Soitf:R→Rdéfinie par :
f(x) =Zx2xϕ(t)dt

a) Montrer quefest bien définie et étudier la parité def.
b) Justifier quefest dérivable et calculerf0(x).
c) Dresser le tableau de variation def.

Exercice 3[ 01989 ][correction]
Soitf: [01]→Rcontinue. On définitF: [01]→Rpar
1
F(x) =Z0min(x t)f(t)dt
a) Montrer queFest de classeC2et calculerF00(x).
b) En déduire
1
F(x) =Z0xZu
f(t)dtdu

Exercice 4[ 01990 ][correction]
Soitg:R→Rune fonction continue.
On pose, pour toutx∈R,
x
f(x) =Zsin(x−t)g(t)dt
0

Enoncés

a) Montrer quefest dérivable et que
f0(xZx(t−x)g(t)dt
) = cos
0

b) Montrer quefest solution de l’équation différentielley00+y=g(x).
c) Achever la résolution de cette équation différentielle.

Exercice 5[ 01991 ][correction]
Soientf:R→Rde classeC1etF:R?→Rdéfinie par
∀x6= 0 F(x)=12xZ−xxf(t) dt

a) Montrer queFpeut tre prolongée par continuité en 0. On effectue ce
prolongement.
b) Montrer queFest dérivable surR?et exprimerF0(x)à l’aide d’une intégrale
c) Montrer queFest dérivable en 0 et observerF0(0) = 0.

1

Exercice 6[ 00276 ][correction]
Pourx∈]01[, on pose
x2
ϕ(x) =Zxnldtt
a) Montrer queϕest bien définie et que cette fonction se prolonge par continuité
en 0 et en 1.
b) En déduire la valeur de
Z10xln−xd1x

Exercice 7Centrale PC[ 00088 ][correction]
Soitfcontinue deRdansRtelle que
2y+x
∀(x y)∈R2 f(x)−f(y) =Z2x+yf(t) dt

Montrer quefest de classeC1et déterminerf.

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Exercice 8Centrale PC[ 00057 ][correction]
Soitf∈ C1([01]R)avecf(0) = 0.
a) Montrer que
Z10f(t)2dt621Z10f0(t)2dt
b) Sif(1) = 0, améliorer l’inégalité obtenue en a).

Enoncés

Exercice 9Centrale MP[ 03183 ][correction]
a) Déterminer le domaine définitionΔ =Dfde la fonctionfqui àxréel associe :
f(x) =Zxx+1√t3t1+dt
b) Déterminer la limite puis un équivalent simple def(x)lorsquextend vers+∞.
c) Avec le logiciel de calcul formel, déterminer les développements asymptotiques
en+∞jusqu’au termeox712de la fonction
+1dt
x7→Zxx√t
puis def.
Démontrer l’existence de ce développement asymptotique def(x)en s’aidant du
logiciel pour les calculs d’intégrales nécessaires.
d) Etudier les variations defsurΔ.
e) Avec le logiciel de calcul formel, donner une valeur approchée du maximum de
fsurΔet de son abscisse. Visualiser le tracé du graphe def.

Exercice 10X MP[ 03380 ][correction]
Soitf: [01]→Rcontinue vérifiant
1
Zf(t) dt= 0
0

Montrer qu’il existex∈]01[vérifiant
Z0xt

f(t) dt= 0

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
On introduitFprimitive defsurR.
a)g(x) =F(x2)−F(2x)estC1par opérations etg0(x) = 2xf(x2)−2f(2x).
b)g(x) =x(F(x)−F(0))estC1par opérations etg0(x) =R0xf(t)dt+xf(x).
c)g(x)u==t+xRx2xf(u) du=F(2x)−F(x)estC1par opérations et
g0(x) = 2f(2x)−f(x).

Exercice 2 :[énoncé]
a)ϕest continue surRdoncf(x)existe.
∀x∈R?−x∈R?etf(−x) =Z−−x2xsthtdtu==−t−Zx2xshuudu=−f(x)

Ainsifest impaire.
b)ϕest continue donc possède une primitiveF. Commef(x) =F(2x)−F(x)f
est dérivable et
f0(x) =sh2xx−shx
pourx∈R?etf0(0) = 1.
c) Pour toutx>0, on a sh2x>shxdoncf0(x)>0. Ainsifest croissante surR+.
Puisque
f(x)>Z2xshxdt=shxln 2
xt
on af(x)→+∞quandx→+∞.
On complète le tableau de variation par parité.

Exercice 3 :[énoncé]
a) En découpant l’intégrale en deux
F(x) =Z0xtf(t)dt+xZx1f(t)dt
On en déduit queFest dérivable et
1
F0(x) =xf(x) +Zf(t)dt−xf(x) =Zx1f(t)dt
x
FinalementFest de classeC2etF00(x) =−f(x)

b)F0(1) = 0donc

PuisqueF(0) = 0, on a

F0(u) =−Z1uf(t)dt=Zu1f(t)dt

Z0xu)du=Z0xZu1f(t)dtdu
F(x) =F0(

3

Exercice 4 :[énoncé]
a) En développant
f(x) =Z0x(sinxcost−cosxsint)g(t)dt= sinxZ0xcostg(t)dt−cosxZ0xsintg(t)dt

fest donc dérivable et
f0(x) = cosxZ0xcostg(t)dt+ sinxZ0xsintg(t)dt=Z0xcos(t−x)g(t)dt

b)f0est dérivable et
f00(x) =−sinxZ0xcostg(t)dt+cosxZ0xsintg(t)dt+g(x) =−Zxn(x−t)g(
sit)dt+g(x)
0

doncf00(x) +f(x) =g(x).
c) C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants.
Solution homogèney(x) =λcosx+µsinx.
Solution particulièrey(x) =f(x).
Solution générale
y(x) =λcosx+µsinx+Zxsin(x−t)g(t)dt
0

Exercice 5 :[énoncé]
˜
a) Soitfune primitive def.

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
F(x) =f(x)−2fx(−x=)f(x)2−fx)0(+f(0)−2xf(−x)x−→−0→f˜0(0) =f(0)

On prolongeFpar continuité en 0 en posantF(0) =f(0).

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b)Fest dérivable par opérations et
F0(x) =f(x2)+xf(−x)−12x2Zx
f(t) dt
−x

Par intégration par parties
Zx(t)]x−x−Z−xxtf0(t) dt
f(t) dt= [tf
−x

et on peut donc simplifier
F0(x2)1=x2Z−xxtf0(t) dt

c) Sachant

on peut écrire

En posant

x
Z−xtf0(
0) dt= 0
21x2Z−xxt(f0(t)−f0(0)) dt
F0(x) =

Mx= sup|f0(t)−f0(0)|
t∈[−xx]

on a alors
|F0(x)|612x2Z−xxtMxdt2=1Mx
0is
Orf0est continue en 0, doncMxx−→−0→pu

F0(x)x−→−0→0

En vertu du théorème du prolongementC1, on peut affirmer queF
en 0 etF0(0) = 0.

Corrections

est dérivable

Exercice 6 :[énoncé]
a) Soitx∈]01[,x x2⊂]01[ett7→1lntest définie et continue sur]01[donc
ϕ(x) =Rx2dnlttexiste.
x
Pourt∈x2 x,
1 1 1
6
lnxlnt6lnx2

donc

2−x2x

xlnx2x6ϕ(xnl)x
6

Quandx→0+,ϕ(x)→0.
On a aussi
Zxx2ttdlntt
ϕ(x) =
donc
Zxx2txl2ndtt6ϕ(x)6Zxx2txdlntt
or
2
Zxx2tnldtt= [ln(lnt)]xx= ln 2
Quandx→1−,ϕ(x)→ln 2.
Finalementϕpeut tre prolongée par continuité en 0 et en 1.
b) SoitFune primitive de1lntsur]01[.
On aϕ(x) =F(x2)−F(x)ce qui permet de dériverϕet d’obtenir

1
ϕ0(x) =xln−x
L’intégraleR01xln−x1dxest définie car on vérifie aisément que la fonction intégrée
peut tre prolongée par continuité en 0 et en 1 et on a
Z10xln−xd1x= [ϕ(x)]10= ln 2

Exercice 7 :[énoncé]
Puisque continue, la fonctionfadmet une primitiveFsurRet

∀(x y)∈R2 f(x)−f(y) =F(2y+x)−F(2x+y)
Poury∈Rfixé, on obtient

f:x7→f(y) +F(2y+x)−F(2x+y)

Puisque la fonctionFest de classeC1, on obtient quefest de classeC1et

f0(x) =f(2y+x)−2f(2x+y)

En dérivant cette relation en la variabley, on obtient

0 = 2f0(2y+x)−2f0(2x+y)

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et donc
f0(2y+x) =f0(2x+y)
Puisque pour tout(s t)∈R2, il existe(x y)∈R2vérifiant
(2xx++2yy==ts

on peut affirmer que la fonctionf0est constante.
On en déduit que la fonctionfest affine.
Par le calcul, on vérifie que, parmi les fonctions affines, seule la fonction nulle
vérifie la relation proposée.

Exercice 8 :[énoncé]
a) Puisquef(0) = 0, on a
f(x) =Z0xf0(t) dt
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz
|f(x)|6Z0xdt12Z0xf0(t)2dt12

et donc
1
f(x)26xZ0xf0(t)2dt6xZf0(t)2dt
0
puis
Z10f(x)2dx6Z10xZ01f0(t)2dtdx=12Z10f0(t)2dt
b) En reprenant ce qui précède
Z012f(x)2dx6Z102xZ102f0(t)2dt!dx81=Z12
f0(t)2dt
0

Sachantf(1) = 0, on a aussi de façon symétrique
Z112f(x)2dx681Z112f0(t)2dt

et en sommant ces deux majorations, on obtient
Z10f(x)2dx618Z01f0(t)2dt

Corrections

5

Exercice 9 :[énoncé]
a) L’existence de la fonction intégrée exiget >−1. Par convergence de l’intégrale
pourx=−1, on obtientΔ = [−1+∞[.
b) On a
06f(x)6Zx+1=
(x+ 1) dt x+ 1
x√x3+ 1√x3+ 1
donc
f(x)x−→−−+−∞→0
On a
Zxx+1p(xxd+1t)3+ 16f(x)6Zxx+1(x√x+3+11d)t
donc
x x+ 1

p(x+ 1)3+ 16f(x)6√x3+ 1

On en déduit
f(x)∼x112
c) La commande
series(int(1/sqrt(t), t=x..x+1), x=infinity);
donne un développement asymptotique à un ordre supérieur à celui demandé.
series(t/sqrt(tˆ3+1), t=infinity);
donne
t1 1 12+ot712quand
√t3 =+ 1√t−2t7t→+∞
donc
Zx+1dt1Zx+1dtZx+11

f(x) =x√t2+xt72+xot72dtquandx→+∞
Or on obtient facilement (en en revenant auxε) que
Zxx+1ot712dt=oZxx+1t7dt2quandx→+∞
Comme précédemment, on a
Zxx+1dt1

t72x72
donc
f(x) =x112−14x312+18x512−3467x712+ox712

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Notons qu’un calcul direct par Maple n’est guère avenant.
series(int(t/sqrt(tˆ3+1), t=x..x+1), x=infinity);
d) SoitFune primitive sur]−1+∞[de la fonction continue

t
t7→
√t3+ 1

Corrections

On af(x) =F(x+ 1)−F(x). On en déduit quefest dérivable sur]−1+∞[et

du signe de

x+ 1
f0(x) =p(x+ 1)3+ 1− √x3x+ 1

g(x) = (x+ 1)px3+ 1−xp(x+ 1)3+ 1

Six∈[−10]est négatif, cette quantité est assurément positive.
Six∈[0+∞[,g(x)est du signe de

h(x) = (x+ 1)2(x3+ 1)−x2((x+ 1)3+ 1)

expand((x+1)ˆ2*(xˆ3+1)-xˆ2*((x+1)ˆ3+1));
donne
h(x) = 1 + 2x−x2−2x3−x4

dont la dérivée est

h0(x) = 2−2x−6x2−4x3

Sur[0+∞[cette dérivée est strictement décroissante et s’annule donc une unique
fois en unα∈[0+∞[.
On en déduit les variations puis le signe deh(x)sur[0+∞[

x0α β+∞
h0(x) 0 0 +− −
h(x) 1%h(α)&0& −∞

Avec Maple, on peut déterminer une valeur approchée deβ
fsolve((x+1)ˆ2*(xˆ3+1)-xˆ2*((x+1)ˆ3+1));
En excluant la solution négative, on obtientβ= 088à10−2près.
Finalementfest croissante sur[−1 β]et décroissante sur[β+∞[.
e) Le maximum defestβ. Sa valeur est
f:=x->int(t/sqrt(tˆ3+1), t=x..x+1);
f(.8832035059);
ce qui fournit 0,7103307033. . .
Pour obtenir un tracé satisfaisant de la fonctionf, commençons par redéfinir
celle-ci à l’aide d’une forme inerte

f:=x->int(t/sqrt(tˆ3+1), t=x..x+1);
puis procédons au tracé
plot(f(x), x=-1..2, y=-1..2);

La fonctionfétudiée

Exercice 10 :[énoncé]
Introduisons
Zxf(t) dtetG:x7→Z0xtf(t) dt
F:x7→
0
Par intégration par parties
Z Z

x x
G(x) =xF(x)−F(t) dt= [F(x)−F(t)] dt
0 0
CasFn’est pas de signe constant
Il existe alorsa b∈]01[tel que

maF >0
F(a) =[m0i1n]F <0etF(b) =[01]x

Par intégration d’une fonction continue, non nulle et de signe constant sur un
intervalle non singulier, on a

G(a)<0etG(b)>0

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Corrections

et le théorème des valeurs intermédiaires assure queGs’annule.
CasFest de signe constant
Quitte à considérer−f, supposonsFpositive.
SiFest nulle, il en est de mme defet la propriété est immédiate, sinon, on
peut introduireb∈]01[tel que

On a alors

F(b) =[m0a1x]F >0

G(b)>0etG(1) =−

Z10F(t) dt <0

carF(1)est nul.
A nouveau, le théorème des valeurs intermédiaires permet de conclure.

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