Sujet : Analyse, Intégration, Intégration par parties

Description

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Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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• Nombre de lectures: 32
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  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

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Enoncés

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

(t+ 1)chtdt

c)Z

(t−1) sintdt

Exercice 2[ 00263 ][correction]
Déterminer les primitives suivantes :
a)Z(t2−t+ 1)e−tdtb)Z

Intégration par parties

1

Exercice 5[ 01981 ][correction]
Soitf: [a b]→Rde classeC1. Montrer que
nl→i+m∞Zabf(t) sin(nt) dt= 0

Exercice 4[ 00287 ][correction]
Calculer les intégrales suivantes :
a)Z10arctantdtb)Z102arcsintdt

∀x∈[a b]|f0(x)|>µetf0monotone

Exercice 6X MP[ 03089 ][correction]
Soient(a b)∈R2,µ∈R+?etf∈ C2([a b]R)telles que

e2iπf(t)dt1
Zabµπ
6

f)Z

tsin3tdt

Montrer :

Exercice 1[ 01979 ][correction]
Déterminer les primitives suivantes :
a)Ztlntdtb)Ztarctantdt

e
tnlntdt(avecn∈N)

)Zeπin(lnt) dt
cs
1

c)Z1tarctantdt
0

Exercice 3[ 01980 ][correction]
Calculer les intégrales suivantes :
a)Z12) dtb)Z1
ln(1 +t
0

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) Par intégration par parties
1
Ztlntdt=t2lnt−Z12tdt21=t2lnt−14t2+Cte
2

b)Par intégration par parties
Ztarctantdt21=t2arctant−21

puis en écrivant

t21
=
t2 1+ 1−1 +t2

Z

t2dt
1 +t2

on obtient
Ztarctantdt=12(t2+ 1) arctant−t+Cte
c) En écrivantsin2t= 1−cos2t
Ztsin3tdt=Ztsintdt−Ztsintcos2tdt

D’une part

Z

tsintdt= sint−tcost+Cte

D’autre part, par intégration par parties
Ztsintcos2tdt=−13tcos3t31+Zcos3tdt
avec
1
Zcos3dt=Zcostdt−Zstsin2tdt= si 3
co nt−sin3t
Finalement
1
Ztsin3tdtsin=32t−tcost+3tcos3t+19sin3t+Cte

Exercice 2 :[énoncé]
Par intégration par parties
a)R(t2−t+ 1)e−tdt=−(t2+t+ 2)e−t+Cte.
b)R(t−1) sintdt= sint+ (1−t) cost+Cte.
c)R(t+ 1)chtdt= (t+ 1)sht−cht+Cte.

Corrections

Exercice 3 :[énoncé]
Par intégration par parties
a)
n(1 +t2) dt=tln(1 +t2)
Z10l01−Z01+12t2t2dt
En écrivant

on obtient

2t22
12= 2−1 +t2
+t

Z10ln(1 +t2) dt 2= ln−2 [t−arctant]01 2= ln−2 +π2

2

b) Par intégration par parties
e1+ 1
Z1tnlntdt=n11+tn+1lnte1−n11+Z1etndt=n(enn++ 1)2
c) Par deux intégrations par parties
Z1eπsin(lnt) dt= [tsin(lnt)]1eπ−Z1eπcos(lnt) dt=−[tcos(lnt)]e1π−Z1eπsin(lnt) dt

donc

eπ
Zeπsin(lnt) dt=−12[tcos(leπ+ 1
1nt)]1=2

Exercice 4 :[énoncé]
Par intégration par parties
a)
πln 2
Z10arctantdt= [tarctant]10−Z101 +tt2dt=π4−21ln(1 +t2)01= 4 2
−

b)
Z012arcsintdt= [tarcsint]012−Z012√1t−t2dt1=π2 +ph1−t2i102=1π2 +√23−1

c)
Z10tarctantdt=12t2arctant10−21Z011t+2t2dt=π8−12[ant]10=π4−21
t−arct

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Exercice 5 :[énoncé]
Par intégration par parties
Zbaf(t) sin(nt) dt=−f(nt)(socnt)ba+ 1nZbaf0(t) cos(nt) dt

Or

et

donc

f(a) cos(na) f(b) cos(nb)→0
n n

b
1nZat6n1Zba|f0(t)|dt→0
f0(t) cos(nt) d

nl→i+m∞Zbaf(t) sin(nt) dt= 0

Exercice 6 :[énoncé]
Ecrivons
Zbae2iπf(t)dt=Zbaff00((tte))2iπf(t)dt
Par intégration par parties
Zabff00((tte))2iπf(t)dt=2ei2πiπff0((tt))ba2+i1πZbaff00(0t)(t)2e2iπf(t)dt

Quitte à considérer−f, supposonsf00>0
0(t) 1
Zbaff000((tt))2e2iπf(t)dt6Zabf0dt(=a)−f01(b)
f02(t)f0

et donc

b
Zaff00((tte))2iπf(t)dt621π|f0(1b)|+|f01(a)|+f0(1a)−f01(b)

Corrections

Selon le signe (constant) def0, le terme enf0(b)ou le terme enf0(a)se simplifie
et on obtient
f0(t
Zbaf0(t)e)2iπf(t)dt6µ1π

3

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