Sujet : Analyse, Intégration sur un intervalle quelconque, Intégrabilité

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Intégrabilité Exercice 5 [ 00661 ] [correction] sintMontrer que les fonctions t7→ sint et t7→ ne sont pas intégrables sur [0,+∞[.t Exercice 1 [ 00657 ] [correction] Etudier l’existence des intégrales suivantes : Exercice 6 [ 00663 ] [correction]Z Z Z1 +∞ +∞ + +dt lnt Soit f :R →R une fonction continue, décroissante et intégrable surR .−ta) √ b) ln(t)e dt c) dt 2t +1 a) Montrer que f tend vers zéro en +∞.(1−t) t0 0 0 Z Z Z+∞ +∞ +∞2ln(1+t) ln(1+t ) 1 b) Montrer que xf(x) tend vers zéro quand x→ +∞ d) dt e) dt f) sin dt 3/2 2 2 c) Si on supprime l’hypothèse décroissante, déterminer un exemple de fonction ft 1+t t0 −∞ 0 +continue et intégrable surR telle que f ne tend pas vers zéro en +∞. Exercice 2 [ 00658 ] [correction] Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les paramètres réels a et b Exercice 7 [ 03231 ] [correction] pour que les intégrales suivantes existent : Soit f : [0,+∞[→R une fonction continue par morceaux. Z Z Z On suppose que f est intégrable. Montrer+∞ +∞ a +∞ a −tdt t t e a) b) dt c) dt Za b b b x+1t (t−1) 1+t 1+t1 0 0 f(t)dt−−−−→ 0 x→+∞x Exercice 3 [ 00659 ] [correction] [Intégrales de Bertrand] Exercice 8 [ 03232 ] [correction]Pour α,β∈R on étudie la nature de l’intégrale Soit f : [0,+∞[→R une fonction continue par morceaux et décroissante.Z +∞ dt On suppose que f est intégrable. Montrer α βt (lnt)e xf(x)−−−−→ 0 x→+∞a) On suppose α> 1. Montrer que l’intégrale étudiée converge.
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Intégrabilité

Exercice 1[ 00657 ][correction]
Etudier l’existence des intégrales suivantes :
−t)
a)Z+10(∞(dnl1t1√+tt)b))ZZ0++∞∞(lln(nt1)e+t−t2t2d)tdt)c)fZZ0+0+∞∞sti2+nlntt112dtdt
d)Z0t32dte−∞1 +

Exercice 2[ 00658 ][correction]
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les paramètres réelsaetb
pour que les intégrales suivantes existent :
+∞d
a)Zta(t−t1)bb)Z0+∞1t+atbdtc)Z+0∞t1a+e−ttbdt
1

Exercice 3[ 00659 ][correction]
[Intégrales de Bertrand]
Pourα β∈Ron étudie la nature de l’intégrale
Z+e∞d(lntt)β

a) On supposeα >1. Montrer que l’intégrale étudiée converge.
b) On supposeα= 1. Calculer
Zextlnd(tt)β
et déterminer pour quelsβ∈Rl’intégrale étudiée converge.
c) On supposeα <1, en exploitant

t
−−−−→+∞
tα(lnt)βt→+∞

établir que l’intégrale étudiée diverge.

Exercice 4[ 00660 ][correction]
Enoncer une condition nécessaire et suffisante surα∈Rpour l’existence de
Z+0∞t−tsint
dt
α

Enoncés

1

Exercice 5[ 00661 ][correction]
Montrer que les fonctionst7→sintett7→sitntne sont pas intégrables sur[0+∞[.

Exercice 6[ 00663 ][correction]
Soitf:R+→Rune fonction continue, décroissante et intégrable surR+.
a) Montrer queftend vers zéro en+∞.
b) Montrer quexf(x)tend vers zéro quandx→+∞
c) Si on supprime l’hypothèse décroissante, déterminer un exemple de fonctionf
continue et intégrable surR+telle quefne tend pas vers zéro en+∞.

Exercice 7[ 03231 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Rune fonction continue par morceaux.
On suppose quefest intégrable. Montrer
x+1
Zxf(t)x→+∞
dt−−−−→0

Exercice 8[ 03232 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Rune fonction continue par morceaux et décroissante.
On suppose quefest intégrable. Montrer

xf(x)−−−−→0
x→+∞

Exercice 9[ 03238 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Rcontinue par morceaux et intégrable.
Montrer qu’il existe une suite(xn)de réels positifs vérifiant

xn→+∞etxnf(xn)→0

Exercice 10[ 00662 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Rde classeC1. On suppose que les fonctionsfetf0sont
intégrables sur[0+∞[; montrer queftend vers 0 en+∞.

Exercice 11[ 00664 ][correction]
Soita∈]01[. Déterminer la nature de la sériePa√n
.
n>0

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Exercice 12[ 00665 ][correction]
Soitu:R→Rune fonction de classeC1telle que
+∞
Z(1 +x2)u(x)2+u0(x)2dx <+∞
−∞

a) Déterminer les limites dex7→xu(x)2en±∞.
b) Etablir

Z−+∞∞u0(x)2dxZ−+∞∞x2u(x)2dx>14Z−+∞∞u(x)2dx2

Exercice 13[ 02349 ][correction]
Etudier l’existence des intégrales suivantes :
a)Z+0+∞∞t1e+−√t2t2ddttb))eZZ0+01∞pe(−1ltna−rtctta)3ntddt)Z+∞c)Z0+∞etd−t1
d)Z0e−(lnt)tf0t+ 2−pt2+ 4t+ 1dt

Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02829 ][correction]
Donner un exemple def∈ C0(R+R+)intégrable et non bornée.

Exercice 15X MP[ 03053 ][correction]
Soitf∈ C2(RR)telle quefetf00sont de carrés intégrables.
a) Montrer quef0est de carré intégrable.
b) Montrer :
ZRf0226ZRf2 ZRf002

Exercice 16Mines-Ponts PC[ 00183 ][correction]
Etudier l’intégrabilité en 0 de
etdt
f:x7→Z1xt

Enoncés

Exercice 17Centrale PC[ 00572 ][correction]
Soitf∈ C2([0+∞[R). On suppose quefetf00sont intégrables.
a) Montrer quef0(x)→0quandx→+∞.
b) Montrer queff0est intégrable.

Exercice 18[ 03206 ][correction]
Soitf: [1+∞[→Rcontinue vérifiant

∀x a>1,06f(x)

La fonctionfest-elle intégrable sur[1+∞[?

a1
6x2+a2

Exercice 19[ 03221 ][correction]
Etudier l’existence de
Z+0∞ln(tht) dt

Exercice 20[ 03440 ][correction]
1
Soitf: [0+∞[→Rde classeC.
On suppose quef2etf02sont intégrables. Déterminer la limite defen+∞.

Exercice 21[ 03441 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Rune fonction continue, positive et décroissante.
On poseg: [0+∞[→Rdonnée par

g(x) =f(x) sinx

Montrer que les intégrabilités defet degsont équivalentes.

Exercice 22[ 03442 ][correction]
Soitf: [01]→Rdonnée par
f(x) =x2cos1x2six∈]01]etf(0) = 0

Montrer quefest dérivable sur[01]mais que sa dérivéef0n’est pas intégrable
sur]01].

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Exercice 23[ 03627 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Rcontinue et positive. On suppose

f(fx(x)+)1x−→−+−−∞→`∈[01[
Déterminer la nature deR+0∞f(t) dt.

Exercice 24[ 03630 ][correction]
Soitf: ]01]→Rcontinue, décroissante et positive. On pose pourn∈N?
1=n1fk
Sn=nXn
k

Montrer quefest intégrable sur]01]si, et seulement si, la suite(Sn)est
convergente et que si tel est le cas
Z

dt= limSn
]01]f(t)n→+∞

Exercice 25CCP MP[ 01770 ][correction]
Soitgdéfinie surR+?par
(x) =x1Z0xf(t) dt
g
oùfest continue, de carré intégrable surR+.
a) Etudier le prolongement par continuité degen 0.
b) Exprimerg0(x)en fonction def(x)et deg(x)pourx >0.
c) Pour0< a < b, montrer que
Zbag2(t) dt= 2Zabf(t)g(t) dt+ag2(a)−bg2(b)

puis montrer que
sZb

ag2(t) dt6Zs0+∞f2(t) dt+sag2(a) +Z0+∞f2(t) dt

d) Etudier la nature de

Z0+∞
g2(t) dt

Enoncés

Exercice 26Mines-Ponts MP[ 03753 ][correction]
[Inégalité de Hardy]
Soitf: [0+∞[→Rcontinue et de carré intégrable. Pourx >0, on pose
g(x) 1xZ0xf(t) dt
=
a) Montrer queg2est intégrable sur]0+∞[et que
Z+0∞g2(Z+0∞f2(t) dt
t) dt64
b) Montrer quef gest intégrable et
Z0+∞g2(t) dt= 2Z0+∞f(t)g(t) dt

Exercice 27CCP MP[ 03705 ][correction]
a) En posantx= tant, montrer
π2dt π
Z=
01 +asin2(t) 2√1 +a
b) Donner en fonction deα >0la nature de la série
t
X Z0π1 + (nπ)dαsin2(t)
c) Mme question pour
X Z(n+1)π

dt
nπ1 +tαsin2(t)
d) Donner la nature de l’intégrale
Z+∞dt

01 +tαsin2(t)

Exercice 28CCP PSI[ 03385 ][correction]
a) Etudier l’intégrabilité sur]1+∞[de
f(x) = (x−√1)lnx√x
b) Montrer
Z3ln 3

x
2f d( )x62

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
On noterafla fonction intégrée etIl’intervalle d’étude, à chaque foisfs’avère
continue par morceaux surI.
a)I= ]0∼1
1[,f(t)t→1−1−tdoncfn’est pas intégrable au voisinage de 1 et puisque
de signe constant, l’intégrale étudiée diverge.
b)I= ]0+∞[,√tf(t)t−→−0−+→0ett2f(t)−t−→−+−∞→0doncfest intégrable et
R+0∞lnte−tdtconverge.
c)I= ]0+∞[,√tf(t)t−−0−+→0ett32f(t)−t−→−+−∞→0doncfest intégrable et

R+0∞tl2+nt1dtconverge.
d)I= ]0+∞[,f(t)t→∼0+√1tett43f(t)−t−→−+−∞→0doncfest intégrable et
R+∞lnt(31+2t)dtconverge.
0
e)I= ]−∞+∞[,t32f(t)−t−→−+−∞→0et|t|32f(t)−t−→−−−∞→0doncfest intégrable
tR−+∞∞1(++l1ntt22) dtconverge.
e
f)I= ]0+∞[,sint12t→∼+∞t12etsint12est bornée au voisinage de 0 doncfest
intégrable etR0+∞sint12dtconverge.

Exercice 2 :[énoncé]
a)

1 1

ta(t−1)bt→1+(t−1)b

et
1 1

ta(t−1)bt→+∞ta+b
Donct7→ta(t1−1)best intégrable sur[1+∞[si, et seulement si,b <1eta+b >1.
b)
tasib >0
ta

1 +tbt→0+ttaa2bsisibb=<0
−0
et
ta
∼tttaaa−b2sisisi<b>bb00=0
1 +tbt→+∞
Donct7→1t+atbest intégrable sur[0+∞[si, et seulement si :

dans le casb >0:a >−1eta−b <−1.
dans le casb= 0: jamais
dans le casb <0:a−b >−1eta <−1.
c)
tasib
t1a+e−ttbt→∼0+1t+attb→∼0+ta2sib=>00
ta−bsib <0

et
tae−t
t2−−−0
1 +tbt→+−∞→
Donct7→t1a+et−btest intégrable sur[0+∞[si, et seulement si,
(a >−1etb>0)ou(a−b >−1etb<0).

Exercice 3 :[énoncé]
Posonsf(t) = 1(tα(lnt)β)continue positive sur[e+∞[.
a) Siα >1alors en introduisantγ∈]1 α[on atγf(t)−t−−−→0doncfest
→+∞
intégrable etR+e∞f(t) dtconverge.
b) Siα= 1alors
Zextln(dtt)β=Znl1xduβu
doncRe+∞f(t) dtconverge si, et seulement si,β >1.
c) Siα <1alorstα(ltnt)β=(tl1n−t)αβ−t−→−+−∞→+∞donc il existeA>evérifiant
∀t>Atα1nl(t)β>t1. On a alors
Zxtαnl(dtt)β>ZAxdtt= lnx−lnA−−−−→+∞
A x→+∞
et doncR+e∞f(t) dtdiverge.

4

Exercice 4 :[énoncé]
f:t7→t−tsαintest définie et continue sur]0+∞[.
Quandt→0,f(t)∼6tα1−3doncR01f(t)dtest définie si, et seulement si,α−3<1
i.e.α <4.
Quandt→+∞,f(t)∼tα1−1doncR1+∞f(t)dtest définie si, et seulement si,
α−1>1i.e.α >2.
FinalementR0+∞t−tsαintdtest définie si, et seulement si,α∈]24[.

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Exercice 5 :[énoncé]

nk1)π|int
R0|sint|dt=P1R(πk−s|dt=nR0πsin(t) dt= 2n→+∞.
k=
n
R0nπ|sitnt|dt=P=1R(kπk−1)π|sitnt|dtor pourk >1,
k
π|
R(kk−1)πsitnt|dt>R(kπk−1)π|skinπt|dt>k2πdonc
R0nπ|sitnt|dt>nPk2π=2πPnk1→+∞.
k=1k=1

Exercice 6 :[énoncé]
a) Pourx>1, la décroissance defdonne
Zx+1(t) dt6f(x)6Zxx−1f(t) dt
f
x

Or
Zx+1) dt=Z0x+1f(t) dt−Z0xf(t) dt
f(t
x
et puisque l’intégrale defsur[0+∞[converge

Zxx+1f(t) dtx−→−+−−∞→Z+f(t) dt−Z0+∞f(t) dt= 0
0

Aussi
Zxf(t) dtx−→−−+−∞→0
x−1
et donc par encadrement
f(x)x−→−+−−→0

b) La fonctionfest positive car décroît vers 0 en+∞et
062fx(x)6Zxx2f(t) dtx−→−+−−∞→0

ce qui permet d’affirmer
x−−−−→0
f(x)x→+∞
c) Soitfla fonction définie surR+par :

∀x∈[02[ f(x) = 0

Corrections

et

∀n∈N {01}∀t∈[01[,f(t+

n) =nn22(t2n2−t)
0

sit∈01n2
sit∈1n22n2
sinon

5

fest continue surR+et
−n−11 1 1
Z0nf(t)dt=nk−X1=0Zkk+1f(t)dt=knX−1=2k126nk=X21k(k1−1) =Xk−1−k=n−16
1−1
k=2
Puisque la suite([0 n])n∈Nest une suite croissante de segments de réunionR+et
quefest positive on peut affirmer quefest intégrable sur[0+∞[.

Exercice 7 :[énoncé]
Par la relation de Chasles
Zxx+1f(t) dt=Z0x+1f(t) dt−Z0xf(t) dt

donc, quandx→+∞,
+∞
Zxx+1f(t) dt→Z0+∞f(t) dt−Z0f(t) dt= 0

Exercice 8 :[énoncé]
Par la décroissance def, on a
x
Zx2xf(t) dt6xf(x)62Zf(t) dt
x2

Or par convergence de l’intégrale
2x
Zf(t) dt=Z02xf(t) dt−Z0xf(t) dtx−→−−+−∞→0
x

et de mme
Zxx2f(t) dtx−→+∞
−−−→0
On en déduit par encadrement

xf(x)−→−−+−∞→0
x

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Exercice 9 :[énoncé]
Montrons pour commencer

∀ε >0∀A∈R+∃x>A|xf(x)|6ε
Par l’absurde, supposons qu’il existeε >0etA∈R+vérifiant

∀x>A|xf(x)|>ε

on a alors au voisinage de+∞
|f(x)|>εx
ce qui est contradictoire avec l’intégrabilité def.

Corrections

Sachant
∀ε >0∀A∈R+∃x>A|xf(x)|6ε
on peut construire une suite(xn)solution en prenantε= 1(n+ 1)>0,A=net
en choisissantxnvérifiant
xn>net|xnf(xn)|61(n+ 1)

Exercice 10 :[énoncé]
Puisquefest de classeC1et quef0est intégrable sur[0+∞[, on a
f(x)−f(0) =Z0xf0(t) dtx−→−−+−∞→Z+0∞f0(t) dt
Ainsi la fonctionfconverge en+∞.
De plusfest intégrable sur[0+∞[, la limite defen+∞ne peut alors tre
autre que 0.

Exercice 11 :[énoncé]
Notons que les termes sommés sont positifs.
La fonctionx7→a√xest décroissante donc
Zn√xdx
a√n6a
n−1
puis
X Z
nn

k=0a√k61 +0a√xdx= 1 + 2Z0√nuaudu
orR+0∞uauduest définie donc
Xa√n<+∞
n>0

Exercice 12 :[énoncé]
a)x7→u0(x),x7→u(x)etx7→xu(x)sont de carrés intégrables donc
x7→(xu(x)2)0=u(x)2+xu0(x)u(x)est intégrable surR. Par suitex7→xu(x)2
admet des limites finies quandx→ ±∞. Or cette fonction est elle-mme
intégrable surRdonc ses limites en±∞ne peuvent qu’tre nulles.
b) Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

Z−+∞∞u0(x)2dxZ−+∞∞x2u(x)2dx>Z−+∞∞xu0(x)u(x) dx2

Or par intégration par parties
Z−nnxu0(x)u(x) dx=xu2(x)n−n−Z−nn) +xu0(x)) dxdonc
u(x)(u(x

Ainsi
Z−nnxu0(x)u(x) dx1=2xu2(x)n1Z−nnu2(x) dx

−n2
puis à la limite
1+∞
Z−+∞∞xu0(x)u(x) dx=−Zu2(x) dx
2−∞
et enfin l’inégalité voulue.

6

Exercice 13 :[énoncé]
On noterafla fonction intégrée etIl’intervalle d’étude, à chaque foisfs’avère
continue par morceaux surI.
a)I= [0+∞[,t2f(t)t−→−−+−∞→0doncfest intégrable etR0+∞t1e+−t√2tdtconverge.
b)I= ]01[,√tf(t)t−→−0−+→0et√ln(1−tt)3t=1=−ulnu(13−2u)∼√1udoncfest intégrable
etR1√1(nl−tt)3dtconverge
0
c)I= ]0+∞[,et1−1t→∼0+t1doncfn’est pas intégrable au voisinage de 0. Puisque
de plus cette fonction est positive, on peut affirmer que l’intégrale diverge.
d)I= ]0+∞[,f(t)t−→−0−+→0ett2f(t) =e2 lnt−(lnt)2=elnt(2−lnt)−t→−−+−∞→0doncf
est intégrable etR+0∞e−(lnt)2dtconverge.
arctant
t2−−−−→
e)I= [0+∞[,f(t) =e2 lnt−tt→+∞0doncfest intégrable et
R+0∞e−tarctantdtconverge.
f)I= [0+∞[.

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Corrections

Quandt→+∞,
f(t) =t+ 2−tr1 +t+4t12=t+ 2−t(1 +t2+2t12−t22+O(1t3))∼23t

fn’est pas intégrable en+∞Puisque de plus cette fonction est positive, on peut.
affirmer que l’intégrale diverge.

Exercice 14 :[énoncé]
On peut prendrefnulle sur[01], puis pour chaque intervalle[n n+ 1]avec
n∈N?, la fonctionfaffine par morceaux définie par les nudsf(n) = 0,
f(n+n13) =n,f(n+n23) = 0etf(n+ 1) = 0ce qui définit une fonctionfpositive
continue vérifiantRnn+1f=n12et donc intégrable surR+bien que non bornée.

Exercice 15 :[énoncé]
a) Par intégration par parties
Z0xf0(t)2dt=f0(x)f(x)−f0(0)f(0)−Z0xf(t)f00(t) dt
Puisquefetf00sont de carrés intégrables, la fonctionf f00est intégrable.
Puisquef02est positive, l’intégrale partielle
Zx
f0(t)2dt
0

converge ou tend vers+∞quandx→+∞.
Dans les deux cas
f0(x)f(x) =f0(0)f(0) +Z0xf0(t)2dt+Z0xf(t)f00(t) dt

admet une limite quandx→+∞.
Or
Zx(t)f(t) dt21=f(x)2−f(0)2
f0
0
donc sif0(x)f(x)ne tend par vers 0 quandx→+∞, l’intégrale précédente
diverge et donc
21f(x)2→+∞
ce qui est incompatible avec l’intégrabilité def2surR.

Ainsi
0
f0(x)f(x)x−→−+−−∞→
et on en déduit quef0est de carré intégrable surR+et
+
Z0+∞f0(t)2dt=f0(0)f(0)−Z0∞f(t)f00(t) dt
L’étude surR−est identique avec
Z−0∞f0(t)2dt=−f0(0)f(0) +Z0f(t)f00(t) dt
−∞

b) Par ce qui précède
ZRf=−Zf f00
02
R
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz
ZRf026ZRf2 ZRf002

Exercice 16 :[énoncé]
La fonctionfest définie et continue sur]01].
Pourx∈]01], on peut écrire
f(x) =Z1xett−1dt+Z1xdtt=Z1xett−d1t+ lnx
D’une part, la fonctiont7→ett−1se prolonge par continuité en 0, elle est donc
intégrable sur]01]et par suite la fonction
x7→et−d1t
Z1xt

est intégrable sur]01]car converge quandx→0+.
D’autre part, il est bien connu que la fonctionx7→lnxest intégrable sur]01].
On en déduit quefest intégrable sur]01].

Exercice 17 :[énoncé]
a) On a

f0(x) =f0(0) +Z0xf00(t) dt

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doncf0(x)admet une limite finie`quandx→+∞.
Si` >0alors pourxassez grandf0(x)>`2puisf(x)>`x2 +mce qui
empche la convergence deR0+∞f(t) dt.
Si` <0on obtient aussi une absurdité. Il reste donc`= 0.
b) Puisque la fonctionf0est continue et converge en+∞, cette fonction est
bornée et donct7→f(t)f0(t)est intégrable sur[0+∞[.

Exercice 18 :[énoncé]
Poura=xαavecα >0on obtient
f(x)61 1
06x2−α+x2α

En prenantα= 23,
06f(x)62
x43
et donc, par comparaison de fonctions positives,fest intégrable sur[1+∞[.

Corrections

Exercice 19 :[énoncé]
La fonctionf:t7→ln(tht)est définie et continue par morceaux sur]0+∞[.
Quandt→0+, tht∼t→06= 1doncln(tht)∼lntpuis√tln(tht)√∼tlnt→0.
Quandt→+∞, tht= 1−e2t+12doncln(tht)∼ −2e−2tpuist2ln(tht)→0.
On en déduit quefest intégrable sur]0+∞[.

Exercice 20 :[énoncé]
Par l’inégalité

ab6(21a2+b2)

on peut affirmer
|f f0|621f2+f02
et assurer que la fonctionf f0est intégrable sur[0+∞[. Or
x
Zf f0(t) dt2(=1f(x))2
0
doncf2converge quandx→+∞. Puisque la fonctionf2est intégrable sur
[0+∞[et converge en+∞, sa limite est nécessairement nulle et doncf−+−→0.

Exercice 21 :[énoncé]
Puisque|g|6|f|, l’intégrabilité defentraîne celle deg.
Inversement, supposonsgintégrable.

On a
Z0nπ|f(t)|dt=kn=−X01Zk(πk+1)πf(t) dt
avec par décroissance def

k+
Zk(π1)πf(t) dt6πf(kπ)

Parallèlement
Z(kk−π1)π|f(t)| |sin(t)|dt>f(kπ)Z0π
sin(t) dt= 2f(kπ)

donc

Ainsi

π
) dt6fπ
Zk(πk+1)πf(t2Z(kk−1)π(t)|sin(t)|dt

ZnπZπZ(n−1)π

|f(t)|dt6f(t) dt+f(t)|sin(t)|dt
0 0 0
et donc
Z0nπ|f(t)|dt6Z0πf(t) dt+Z0+∞|g(t)|dt
On peut alors affirmer que les intégrales de|f|sur les segments inclus dans
[0+∞[sont majorées ce qui signifie que la fonctionfest intégrable sur[0+∞[.

Exercice 22 :[énoncé]
fest évidement dérivable sur]01]avec
f0(x) = 2xcosx12+x2insx12

et puisque
f(x)x−f=)0(xcosx12x−→−0−+→0
fest aussi dérivable en 0 avecf0(0) = 0.
La fonctionx7→xcos1x2est intégrable sur]01]car bornée.

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Corrections

En revanche, la fonctiong:x7→sin(1x2)xn’est pas intégrable sur]01]. En
effet, par le changement de variableC1bijectift= 1x2, l’ intégrabilité degsur
]01]équivaut à l’intégrabilité sur[1+∞[de
t7→sin(t)tet cette dernière est connue comme étant fausse.
On en déduit quef0n’est pas intégrable sur]01].

Exercice 23 :[énoncé]
Soitq∈]`1[. Il existeA∈R+tel que

(x+ 1)
∀x>ffA(x)6q

et donc
∀x>A f(x+ 1)6qf(x)
On a alors
n−1A+1n−1
ZAA+nf(t) dt=k=X0ZAkX=0ZAA+1qkf
f(t+k) dt6

(t) dt=ZA+1n−1
f(t)Xqkdt
Ak=0

et donc
ZAA+nf(t) dt61−1qZA+1
f(t) dt=M
A
On en déduit que les intégrales sur[A A+n]de la fonction positivefsont
majorées et doncfest intégrable sur[A A+∞[puis sur[0+∞[.
L’intégrale étudiée est donc convergente.

Exercice 24 :[énoncé]
Supposonsfintégrable sur]01].
Par la décroissance def, on remarque
n
Zk(kn+1)nf(t) dt6n1fkn6Z(kk−1)nf(t) dt

En sommant pourkallant de 1 àn−1, on obtient
Z11nf(t) dt6Sn−1n f(1)6Z10−1nf(t) dt

Par théorème d’encadrement, on obtient
Snn−→−−+−∞→Z01f(t) dt

Inversement, supposons la suite(Sn)convergente.
Par la décroissance def, on a
Zk(kn+1)nf(t) dt6fkn

En sommant pourkallant de 1 àn−1, on obtient
Z1t6Sn−n1f(1)n−→−+−−∞→nl→i+m∞Sn
f(t) d
1n

On en déduit que la suite des intégrales précédente est majorée et puisque la
fonctionfest positive, cela suffit pour conclure que l’intégrale defconverge.

Exercice 25 :[énoncé]
a) SoitFune primitive de la fonction continuef. On a
g(x) =x(1F(x)−F(0))x−→−0−+→F0(0) =f(0)

Ainsi on peut prolongergpar continuité en 0 en posantg(0) =f(0).
b) SoitFune primitive def(il en existe carfest continue).
On a
g(x) = 1x(F(x)−F(0))
On en déduit quegest dérivable surR+?et

g0(x) =−x12(F(x)−F(0)) +f(xx)f(x)−g(x)
=
x

c) Par intégration par parties
b
Zbag2(t) dt=tg2(t)ab−2Zatg0(t)g(t) dt

donc
b
g2(t) dt=tg2(t
Za)ab−2Zab(f(t)−g(t))g(t) dt
puis la relation proposée.
On en déduit par l’inégalité de Cauchy-Schwarz
b
Zg2(t) dt62sZabf2(t) dtsZbag2(t) dt+ag2(a)
a

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puis
Zbag2(sZbtZsabg2(t) dt6ag2(a)
t) dt−2f2(t) d
a
en ajoutant un mme terme de part et d’autre
sZabt) dt−Zsbaf2(t) dt26ag2(a) +Zabf2(t) dt
g2(

Corrections

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz
Z0Ag2(x) dx!264Z0Ag2(x) dx!Z0Af2(x) dx!

et que le premier membre soit nul ou non
A
Z0Ag2(x) dx!64Z0f2(x) dx!64Z+0∞f2(x) dx
puis par la croissance de la fonction racine carrée On en déduit queg2est intégrable et l’inégalité proposée.
sZabg2(t) dt−Zsabf2(t) dt6sZabg2(t) dt−Zsabf2(t) dt6sag2(a) +Zbaf2(t) dttionégral’intuP)beuqsi|fpga|r6pa(rft2ie+s pgr2é)cé2netdla,Fefo,2n(clixt)noituffisf gta’édset0eitrebnlraleudeverttngéi

−−−−→
et enfinxx→+∞
b
sZg2(t) dt6sZ0bf2(t) dt+sag2(a) +Z0bf2(t) dt6sZ+0∞f2(t) dt+sag2(a) +Zp0Oo+nu∞arfc2o(ntc)ldutre.Z0xf(t) dt=Z0Af(t) dt+Zxf(t) dt
a
d) En faisant tendreavers 0, on obtientA

sZ0bg2(t) dt62sZ0+∞f2(t) dt

et on en déduit que la fonctiong2est intégrable surR+car les intégrales deg2sur
les segments inclus dansR+sont majorées.

Exercice 26 :[énoncé]
a) IntroduisonsFla primitive defs’annulant en 0. Quandx→0+

g(x)F(xx=)F(x)x−F(0)→F0(0) =f(0)
=
La fonctiongdonc prolongeable par continuité en 0.est
Par intégration par parties
Z0Ag2(x) dx=−x1F2(x)0A+ 2Z0Ag(x)f(x) dx
et donc
ZAZA

g2(x) dx62g(x)f(x) dx
0 0

et par Cauchy-Schwarz
x
Z0xf(t) dt6√AZ0Af2(t) dt!12+√x−AZf(t)2dt12
A

Puisquef2est intégrable
2
Z0xf(t) dt6√AZ+0∞f2(t) dt1+√x−AZA+∞f(t)2d
et, pourε >0fixé, on peut choisirAassez grand pour que
ZA+∞f(t)2dt6ε
On a alors
1Zx√AZ+∞12

√f(t) dt6√x0f2(t) dt+ε
x0
et pourxassez grand
x
√1xZ0f(t) dt62ε
ce qui permet de conclure.

t12

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