Sujet : Analyse, Intégration sur un intervalle quelconque, Fonctions définies par intégrale

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Fonctions définies par intégrale a) Montrer que F (x) est bien définie pour tout x> 0. 1 +? 0b) Etablir que F est de classeC surR et calculer F (x). c) MontrerExercice 1 [ 00687 ] [correction] lim xF (x) = 0 et lim xF (x) = 0[Fonction Γ d’Euler] x→+∞ x→0+ Pour x> 0 on note Z +∞ d) Sans exprimer F (x), justifier l’existence et calculer x−1 −t Γ(x) = t e dt Z +∞0 F (x) dx a) Montrer que cette dernière intégrale est bien définie pour tout x> 0. 0 b) Justifier ∀x> 1, Γ(x) = (x− 1)Γ(x− 1) Exercice 5 [ 00691 ] [correction]?et calculer Γ(n) pour n∈N . Pour x> 0, on pose Z Z Zx x x 2it 2 2f(x) = e dt = cos(t ) dt +i sin(t ) dt Exercice 2 [ 00688 ] [correction] 0 0 0 On pose pour Z +∞ a) Montrerdt 2 Z 2xf(a) = ix ite − 1 1 e − 1at + 11 f(x) = + dt 22ix 2i t0 a) Pour quelles valeurs de a, l’intégrale définissant f(a) existe-t-elle? En déduire que f admet une limite notée λ en +∞.b) Montrer que la fonction est décroissante et de limite nulle en +∞. b) On pose g(x) =λ−f(x). Montrer que pour x> 0 Z 2 2+∞ it ix1 e e Exercice 3 [ 00689 ] [correction] g(x) = dt− 22i t 2ixxa) Pour quelles valeurs de x, l’intégrale Z c) Montrer qu’au voisinage de +∞1 x−1t f(x) = dt 2ix1 +t0 e 1 g(x) =− +O 32ix x est-elle définie? b) Etudier la monotonie de f. c) Calculer Exercice 6 [ 00692 ] [correction]f(x) +f(x + 1) pour x> 0 + 1Soit ϕ :R →R une fonction de classeC intégrable. d) Déterminer la limite de f en +∞ ainsi qu’un équivalent. a) Soit A> 0.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

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• Langue: Français

Extrait

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Fonctions définies par intégrale

Exercice 1[ 00687 ][correction]
[FonctionΓd’Euler]
Pourx >0on note
Γ(x) =Z+0∞tx−1e−tdt
a) Montrer que cette dernière intégrale est bien définie pour toutx >0.
b) Justifier
∀x >1Γ(x) = (x−1)Γ(x−1)
et calculerΓ(n)pourn∈N?.

Exercice 2[ 00688 ][correction]
On pose pour
+
f(a) =Z1∞tad+t1
a) Pour quelles valeurs dea, l’intégrale définissantf(a)existe-t-elle ?
b) Montrer que la fonction est décroissante et de limite nulle en+∞.

Exercice 3[ 00689 ][correction]
a) Pour quelles valeurs dex, l’intégrale
) =tx−
f(xZ011 +1tdt

est-elle définie ?
b) Etudier la monotonie def.
c) Calculer
f(x) +f(x+ 1)pourx >0

d) Déterminer la limite defen+∞ainsi qu’un équivalent.
e) Déterminer la limite defen0+ainsi qu’un équivalent.

Exercice 4[ 00690 ][correction]
Pourx >0, on pose
F(x) =Z+∞et−t
dt
x

Enoncés

a) Montrer queF(x)est bien définie pour toutx >0.
b) Etablir queFest de classeC1surR+?et calculerF0(x).
c) Montrer
xF
xl→i+m∞xF(x) = 0etxl→i0m+(x) = 0
d) Sans exprimerF(x), justifier l’existence et calculer
∞
Z+F(x) dx
0

Exercice 5[ 00691 ][correction]
Pourx >0, on pose
f(x) =Z0xeit2dt=Z0xcos(t2) dt+iZ0xsin(t2) dt

a) Montrer
−
f(x) =eix2112iZ0xeit2t2−1dt
2ix+
En déduire quefadmet une limite notéeλen+∞.
b) On poseg(x) =λ−f(x). Montrer que pourx >0
12
g(x) = 2iZx+∞eti2tdt−e2iixx2

c) Montrer qu’au voisinage de+∞
2
g(x) =−e2iixx+Ox13

Exercice 6[ 00692 ][correction]
Soitϕ:R+→Rune fonction de classeC1intégrable.
a) SoitA >0. Montrer
ZA

b) Montrer

ϕ(t) cos(xt) dt−−−−→0
0x→+∞

Z+0∞ϕ(t)
cos(xt) dt−−−−→0
x→+∞

1

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Exercice 7[ 00693 ][correction]
Soitg:R+→Rcontinue et intégrable.
a) Justifier
Z+∞g(t)|dt−Z0M|g(t)|dt6ε
∀ε >0∃M∈R|
0

b) En déduire que toute primitive degest uniformément continue.

Exercice 8[ 00281 ][correction]
Pour toutx∈[1+∞[, on pose
=Zx√t3t
F(x)1−1dt
a) Montrer queFest bien définie, continue sur[1+∞[et de classeC∞sur
]1+∞[. ExprimerF0(x).
b) Etudier la dérivabilité deFen1. Préciser la tangente au graphe deFen1.
c) Etudier la limite deFen+∞.
d) Justifier queFréalise une bijection de[1+∞[sur un intervalle à préciser et
queF−1est dérivable sur]0+∞[et solution de l’équation différentielle
yy0=py3−1

e) Etudier la dérivabilité deF−1en0.

Exercice 9CCP MP[ 02348 ][correction]
a) Justifier que
G(x y) =Z0yt(tt−+[xt])dt
où[t]représente la partie entière det, est définie sur(R+?)2.
b) Montrer queG(x y)tend vers une limiteG(x)quandytend vers+∞.
c) Montrer que
∀n∈N? G(n y) = 1nZ0nt−t[td]t−Zyy+nt−t[t]dt

d) On noteH(n) =nG(n)montrer que la série de terme général;

H(n)−H(n−1)−12n
converge et en déduire un équivalent deG(n).

Enoncés

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)tx−1e−tt→∼0+tx−1ettx−1e−t=+O∞(1t2)la fonctiont7→tx−1e−test intégrable
sur]0+∞[et par suiteΓ(x) =R0+∞tx−1e−tdtest bien définie pourx >0.
b) Pourx >1, les deux intégrales étant définies :
Z+∞1e−tdt=1)Z0+∞tx−2e−tdt
tx−−tx−1e−t0+∞+ (x−
0

Ainsi∀x >1Γ(x) = (x−1)Γ(x−1).
+∞
Γ(1) =R0e−tdt= 1. Par récurrence surn∈N?,

Γ(n) = (n−1)!

Exercice 2 :[énoncé]
a) Poura60, l’intégrale n’est pas définie. Poura >0,ta1+1t→∼+∞t1a, par suite
R1+∞tad+t1n’est définie que poura >1. Finalementfest définie sur]1+∞[.
b) Si1< a6balors
∀t>11 1
tb+ 16ta+ 1
doncf(b)6f(a). Ainsifest décroissante.

+∞1
06f(a)6Z1+∞tdat=1−1ata1−11a−1a−→−+−−∞→0
=

Exercice 3 :[énoncé]
a) La fonctiont7→tx−t1est définie et continue sur]01]tx−1∼1
1+et1+tt→0t1−x.
Par équivalence de fonctions positives, l’intégrale définissantf(x)existe si, et
seulement si,x >0.
b) Pourx6y, on a
tx−1ty−1
∀t∈]01],1 +t>1 +t
puis en intégrantf(x)>f(y).
La fonctionfest donc décroissante.
c) On a
11
f(x) +f 1) =( +Z0tx−1dx
x t=

3

d) Puisquefest décroissante et positive,fconverge en+∞. Posons`sa limite.
En passant à la limite la relation obtenue ci-dessus, on obtient2`= 0donc`= 0.
Par décroissance

donc

On en déduit

f(x) +f(x+ 1)62f(x)6f(x−1) +f(x)

1 1
x62f(x)61
x−

f(x)∼12x

d) c) Quandx→0+,
06f(x+ 1) =Z011t+xtdt6Z01txdt=x1+161

donc

et par suite

f(x+ 1)x→=0+O(1) =o(1x)

f(x) = 1x−f(x+ 1)∼1→+
x→0+x∞

Exercice 4 :[énoncé]
a) Quandt→+∞, e−tt=O(e−t)donct7→e−ttest intégrable sur tout
[x+∞[⊂]0+∞[.
b)
F(x) =Z1+∞et−tdt−Z1xe−ttdt=F(1)−Z1xe−ttdt
−
est de classeC∞surR+?etF0(x) =−exx.
c) Quandx→+∞
06xF(+∞xtdt→0
x) =Zxet−tdt6Zx+∞e−tdt=Z1+∞e−tdt−Z1xe−

Quandx→0
+∞
xF(Zxet−tdt=x(Z+1∞e−ttdt+Zx1e−ttdt)
x) =x

donc

06xF(x)6x(F(1) +Zx1t1dt)6xF(1) +xlnx→0

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d) Par intégration par parties formelle
Z+0∞F(x) dx= [xF(x)]+0∞+Z+0∞e−xdx

L’intégration par parties est justifiée par deux convergences et finalement
+∞
Z0t= 1
F(t)d

Exercice 5 :[énoncé]
a) Pourx > a >0
Zxaeit2dt=Zax22ititeit2dt="eit2−1#xZaxeit22it−21dt
2it+
a

A la limite quanda→0,
Zxaeit2dt→Z0xeit2dt, eia22ia−1∼2a→0

et
Zaxeit22it−2d1t→Z0xeit22it−2d1t
car cette dernière intégrale converge.
Ainsi
1eit2−1
f(x) =eix22ix−1+2iZ0xt2dt

Puisque

eix22ix−161x→0etZ0xeit22it−2d1t→Z+∞eit22it−2d1
t
0

car cette dernière intégrale converge.
Par suite
f(xZ+∞eit22i−1
)→λ=0t2dt
b)

−
g(x) =λ−f(x=)21iZx+∞eit2t2−1dt−eix22ix1

Corrections

donc
+∞1d−eix2−1
g(x21=)iZx+∞eti2t2dt−12iZxt22ix
t
car ces deux dernières intégrales sont bien définies. Par suite
+∞
g(x12)=iZxetit22dt−e2iixx2

c) Par intégration par parties généralisée
Zx+∞eitt22dt=Zx+∞teitt32dt="2eiitt23#x+∞2+3iZx+∞eitt24dt

Par suite
Zx+∞eitt22dt=−2eiixx23+23iZx+∞eitt24dt612x323+Zx+∞td4t=x13

Donc

Zx+∞eitt22dt=Ox13

4

Exercice 6 :[énoncé]
a) Par intégration par parties,R0Aϕ(t) cos(xt) dt6|ϕ(0)|+x|ϕ(A)|+x1R0A|ϕ0(t)|dt
qui permet de conclure.
b) Pourε >0, il existeA∈R+tel queRA+∞|ϕ(t)|dt6εcarϕest int