Sujet : Analyse, Intégration sur un intervalle quelconque, Intégrales convergentes

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Intégrales convergentes Exercice 5 [ 03631 ] [correction] Soit f : [1,+∞[→R continue. Montrer Exercice 1 [ 02346 ] [correction] Z Z+∞ +∞ f(t)[Intégrale de Dirichlet] f(t)dt converge ⇒ dt converge tJustifier la convergence de l’intégrale suivante 1 1 Z +∞ sint dt t0 Exercice 6 [ 02378 ] [correction] Soit f : [0,+∞[→R continue et α> 0. Montrer On peut montrer que celle-ci est égale à π/2 mais c’est une autre histoire... Z Z+∞ +∞ f(t) f(t)dt converge ⇒ dt converge α1+t0 0 Exercice 2 [ 02383 ] [correction] [Intégrale de Dirichlet] Etablir Z Z+∞ +∞sint 1−cost Exercice 7 Mines-Ponts PC [ 00696 ] [correction] dt = dt 2 Soit f : [0,+∞[→R continue.t t0 0 R+∞ −s t0On suppose que pour s ∈R, l’intégrale f(t)e dt converge.0puis 0RZ Z +∞2 −st+∞ +∞ Montrer que l’intégrale f(t)e dt converge pour tout s>s .sint sint 00 dt = dt t t0 0 On peut démontrer que cette valeur commune est π/2 mais c’est une autre Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 02421 ] [correction]histoire... Convergence de Z +∞ 2ite dt Exercice 3 [ 00694 ] [correction] −∞ [Intégrales de Fresnel] Montrer la convergence des deux intégrales suivantes Z Z+∞ +∞ Exercice 9 [ 03178 ] [correction] 2 2 cos(t )dt et sin(t )dt Soit f : [0,+∞[→R une fonction continue par morceaux, décroissante et de 0 0 limite nulle. Montrer la convergence de l’intégrale ZExercice 4 [ 00695 ] [correction] +∞ f(t)sin(t)dtSoit f : [0,+∞[→R continue.
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Intégrales convergentes

Exercice 1[ 02346 ][correction]
[Intégrale de Dirichlet]
Justifier la convergence de l’intégrale suivante
Z+0∞sitntdt

On peut montrer que celle-ci est égale àπ2mais c’est une autre histoire. . .

Exercice 2[ 02383 ][correction]
[Intégrale de Dirichlet]
Etablir
Z+∞sintd =Z+0∞1−tc2ostdt
t
0t

puis
Z0+∞sitntdt=Z0+∞sitnt2dt
On peut démontrer que cette valeur commune estπ2mais c’est une autre
histoire. . .

Exercice 3[ 00694 ][correction]
[Intégrales de Fresnel]
Montrer la convergence des deux intégrales suivantes
Z+∞s(t2) dtetZ0+∞sin
co (t2) dt
0

Exercice 4[ 00695 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Rcontinue. On suppose que l’intégrale suivante converge :
Z+∞f(t) dt
0

Calculer

xl→i+m∞1xZ0xtf(t) dt

Enoncés

Exercice 5[ 03631 ][correction]
Soitf: [1+∞[→Rcontinue. Montrer
Z+∞

f(t) dtconver⇒(t)dtco
1geZ1+∞tfnverge

Exercice 6[ 02378 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Rcontinue etα >0. Montrer
Z+0∞f(t) dtcZ+∞f(t)
onverge⇒dtconverge
01 +tα

Exercice 7Mines-Ponts PC[ 00696 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Rcontinue.
On suppose que pours0∈R, l’intégraleR+0∞f(t)e−s0tdtconverge.
Montrer que l’intégraleR+0∞f(t)e−stdtconverge pour touts > s0.

Exercice 8Mines-Ponts MP[ 02421 ][correction]
Convergence de
+it2
Z∞−∞
e dt

Exercice 9[ 03178 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Rune fonction continue par morceaux, décroissante et de
limite nulle.
Montrer la convergence de l’intégrale
Z+0∞f(t) sin(t) dt

Exercice 10Centrale PC[ 03334 ][correction]
La fonctionx7→R0xsin(et) dtadmet-elle une limite en+∞?

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Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02879 ][correction]
a) Donner la nature de l’intégrale
Z+∞sint

dt
0t

On pose pour tout réelx
f(x) =Zx+∞sitntdt
b) Montrer quefest de classeC1surRet exprimer sa dérivée.
c) Calculer
Z+∞
f(t) dt

0

Exercice 12[ 03414 ][correction]
Trouver un équivalent en+∞de
f(λ) =Z01eiλx2
dx

Enoncés

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
La fonction intégrée est définie et continue par morceaux sur]0+∞[.
Elle se prolonge par continuité par la valeur 1 en 0 et est donc intégrable sur]01]
Par une intégration par parties
ZAsintdt=−cost1A+Z1Acto2stdt
1t t

Or il y a convergence des deux termes en second membre quandA→+∞, donc il
y a convergence de
Z+∞sitntdt
1
et finalement l’intégrale étudiée converge.

Exercice 2 :[énoncé]
Par intégration par parties
ZAεsitntdt=1−costεA+ZεA1−t2costdt
t
Or il y a convergence des deux termes en second membre quandε→0+et
A→+∞donc il y a convergence de l’intégrale en premier membre et on a l’égalité
td 1−cost
Z+0∞sit=nZ+0∞t
t2dt

Puisque1−cost= 2 sin2(t2)
Z+∞sitntdt=Z+∞2 sin2(2t)d2
t
0 0t

Enfin par le changement de variableu=t2sous-jacent à une bijection de classe
C1
Z+0∞sitntdtZ+0∞sinu22udu
=

Exercice 3 :[énoncé]
f:t7→cos(t2)est définie et continue par morceaux sur[0+∞[.

Formellement

2tcos(t2) dt=+
Z0+∞cos(t2) dt=Z+02t2sni(tt2)0∞+Z0+∞nis2t2t2dt

Puisque le crochet converge et quet7→2snit2t2est aisément intégrable sur]0+∞[,
l’intégration par parties est justifiée par deux convergences etR+0∞cos(t2) dt
converge.
Idem pourR+0∞sin(t2) dten proposant une primitive de2tsin(t2)en1−cost2.

Exercice 4 :[énoncé]
SoitFla primitive defs’annulant en 0.F(x)x−→−+−−∞→`=R0+∞f(t) dt
1x
xZ0tf(t−1xZ0xF(t) dt
) dt=F(x)

et
x1Z0xF(t) dt−`61xZ0x|dt
|F(t)−`
Soitε >0. Il existeA∈R+tel que

∀t>A|F(t)−`|6ε

Par continuité sur[0 A],|F(t)−`|est majorée par un certainM >0.
Pourx>max(A AM ε)on a
x1Z0x|F(t)−`|dt= 1xZA|F(t)−`|dt+ 1xZxA|F(t)−`|dt62ε
0

Par conséquent

1Z0xF(t) dt−−−−→`
xx→+∞

puis
xl→i+m∞1xZxtf(t) dt= 0
0
Notons que sans l’hypothèse d’intégrabilité def, on ne peut pas exploiter le
théorème de convergence dominée.

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Corrections

Exercice 5 :[énoncé]
Supposons la convergence de l’intégrale defsur[1+∞[.
Puisquefest continue, on peut introduire une primitiveFdefet celle-ci admet
donc une limite finie en+∞. Par intégration par parties
Z1Af(ttd)t=tF(t)1A+Z1AtF(2td)t
A−−−−→0e
OrF( )AA→+∞tt7→F(t)t2est intégrable sur[1+∞[carFest bornée
au voisinage de+∞.
On en déduit donc par opérations la convergence de l’intégrale det7→f(t)tsur
[1+∞[.

Exercice 6 :[énoncé]
SoitFune primitive de la fonction continuefsur[0+∞[. Formellement
t)+
Z0+∞tαf(+t)1dt=tαF1+(0∞+αZ0+∞(Ftα(t)+tα1−)12dt
Supposons la convergence deR0+∞f(t) dt. La primitiveFest alors convergente en
+∞et donc dans l’intégration par parties précédente, le crochet est convergent en
+∞.
De plus, la fonctionFest bornée car continue sur[0+∞[et convergente en+∞.
Par suite, quandt→+∞,
(Ftα(t)+tα1−)1Otα1+1
=
2

et puisqueα >0a la convergence de la deuxième intégrale dans la formule, on
d’intégration par parties précédente.
Par le théorème d’intégration par parties, on peut affirmer queR+0∞1f+(tt)αdt
converge.

Exercice 7 :[énoncé]
Quitte à considérer la fonctiont7→f(t)e−s0t, on peut supposers0= 0.
IntroduisonsFprimitive defsur[0+∞[.Fconverge en+∞et doncFest
bornée.
Par une intégration par parties,
A
Z0Af(t)e−stdt=F(t)e−st0A+sZ0F(t)e−stdt

PuisqueFest bornée,F(A)e−AAs−→−−+−∞→0ett7→F(t)e−stest intégrable sur
[0+∞[.
Par suite l’intégraleR0+∞f(t)e−stdtconverge.

Exercice 8 :[énoncé]
Par un argument de parité, il suffit d’établir la convergence de
2
Z0+∞eit2dt=Z+∞2teitdt
02t

Formellement
Z+0∞eit2dt=Z−+∞∞22tteit2dt="eit22it−1#0+∞2+1iZ0+∞eit2t2−1dt

où la primitive de2teit2a été choisie de sorte de s’annuler en 0.
Puisque les deux termes en second membre sont convergents, le théorème
d’intégration par parties s’applique et assure la convergence de
Z+0∞eit2dt

Exercice 9 :[énoncé]
Commençons par étudier la convergence de la suite(Sn)de terme général
Sn=Z0nπf(t) sin(t) dt

Par la relation de Chasles, on peut découper l’intégrale
Sn=X
n−10Zk(πk+1)πf(t) sin(t) dt
k=

Par translation de la variable
Zk(πk+1)πf(t) sin(t) dt=Z0πf(t+kπ) sin(t+kπ) dt= (−1)kvk
avec

vk=f(t+kπ) sin(t) dt
0

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Puisquefest positive, la suite(vk)est à termes positifs.
Puisquefest décroissante, la suite(vk)est décroissante.
Enfin, puisqueftend vers 0 en+∞et puisque

06vk6f(kπ)π

Corrections

la suite(vn)tend vers 0.
Par le critère spécial des séries alternées, on obtient que la série de terme général
(−1)kvkconverge, autrement dit, que la suite(Sn)converge. NotonsSsa limite.
SoitX>0. En notantnXla partie entière deXπ, on peut écrire
X
Z0Xf(t) sin(t) dt=SnXZnXπf(t) dt
+
avec

06ZXnXπf(t) dt6ZXnXf(nXπ) dt=f(nXπ)(X−nXπ)6f(nXπ)π
π

QuandX→+∞, on anX→+∞,SnX→Set par l’encadrement qui précède
ZnXXπf(t) dt→0

On en déduit

Z0Xf(t) sin(t) dt→S

Exercice 10 :[énoncé]
Par intégration par parties
Z0xsin(et) dt=Z0xetsin(et)e−tdt=−cos(et)e−t0x−Z0xcos(et)e−tdt

D’une part
cos(ex)e−x−−−−→0
x→+∞
et d’autre partt7→cos(et)e−test intégrable sur[0+∞]car

t2cos(et)e−t−−−−→0
t→+∞
donc l’intégraleR+0∞sin(et) dtconverge.

Exercice 11 :[énoncé]
a) L’intégrale étudiée est convergente comme le montre l’intégration par parties
−costd
Z0xsitntdt=1−tcost0x+Z0x1t2
t

5

b) La fonctiont7→sinttpeut tre prolongée en 0 en une fonction continue surR.
SoitFsa primitive s’annulant en 0. On af(x) = l+im∞F−F(x). La fonctionfest
donc de classeC1surRet

si
f0(x) =−F0(x) =−nxx

c) Par intégration par parties,
x
Z0xf(t) dt= [tf(t)]x0−Z0tf0(t) dt=xf(x) +Z0xsintdt

Or

donc

Enfin

avec

Zx+∞sitntdt=−cotstx+∞−Zx+∞cto2stdt

Z0xf(t) dt= 1−xZx+∞cot2std
t

+∞sintdt
Zx+∞cot2stdt=sitn2tx∞−2Zx+t3

Zx+∞2 sitn3tdt6Zx+∞2t3dt=x12

donne
xZx+∞cot2stdtx−→−−+−∞→0
FinalementR0+∞f(t) dtconverge et
Z+∞
f(t) dt= 1

0

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Exercice 12 :[énoncé]
Procédons au changement de variable de classeC1,t=√λx
λ
f(λ) =√1λZ0√
eit2dt

Or par le changement de variableu=t2
Z0Aeit2dt2=1Z0A2e√iuudu

puis par intégration par parties
Z0Aeit2dt12=eiiu√−u10A21+Z0A2eiiuu3−2d1

et donc
Z0Aeit2dt4=iZ0A21u−3e2iudu
L’intégrale en second membre converge donc
A
Zeit2dt−−−−→C
0A→+∞

u!

Corrections

De plus, la partie imaginaire deCest strictement positive en vertu de l’expression
intégrale précédente, donc
C

f(λ)λ→+∞√λ
Le calcul explicite deCest difficile, cf. intégrale de Fresnel.

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