Sujet : Analyse, Méthode de Newton

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Suites récurrentes. Dérivation.

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Méthode de Newton

Partie I Théorème du point fixe

Soit<deux réels et=,.
On se donne:→ℝune fonction telle que :
·∀∈,()∈,

· et il existe une constante∃∈0,1 pour laquelle on ait∀(,)∈2,()−()≤ −.

1.a

1.b


2.

2.a

2.b

2.c

3.
3.a
3.b

Justifier queest continue.

Montrer que l’équation()=possède une solution dans l’intervalle,

Nous la noteronsα.
Soit∈,et () la suite réelle définie par :
0=et∀∈ℕ,+1=() .
Montrer que pour tout∈ℕ:−α≤−α.
En déduire la limite de la suite () .

Etablir que pour tout,∈ℕ:+−≤11−−1+−.
En déduire que pour tout∈ℕ:−α≤11−0.

On suppose queest dérivable enα.
Etablir′(α)≤.
On reprend les notations de la question 2.
Montrer que, si pour tout∈ℕ,≠αalors lim+1−α=′(α) .
→+∞−α

Partie II Méthode de Newton

puis que celle-ci est unique.

On se donne deux réels<réels et:,→ℝde classe2.
On suppose que()<0 ,()>0 et que∀∈,,′()>0 .
On s’intéresse à la résolution de l’équation()=0 d’inconnue∈,.
1.a Montrer que cette équation possède une unique solutionαappartenant à,.

1.b Soit0∈,.
Déterminer l’abscisse du point d’intersection de l’axe des abscisses et de la tangente àen0.

2. Pour tout∈,, on pose()=−′((). )

2.a
2.b
3.

3.a
3.b

Justifier queest de classe1.
Calculer(α) et′(α)
.
On suppose, dans cette question seulement, queest de surcroît concave.
On considère ensuite la suite () définie par :0=et∀∈ℕ,+1=() .
Montrer que la suite () est bien définie, croissante et que∀∈ℕ,∈,α.
Etablir que→α.

4.

4.a

4.b

4.c

4.d

5.

On revient au cas général.

Justifier qu’il existe>0 , tel que, en notant=α−,α+

Etablir que∀∈,()∈

, on ait∀∈,′()<1 .

Justifier aussi qu’il existe∈0,1 tel que∀(,)∈2,()−()≤ −.

En déduire que∀∈, la suite () définie par0=et+1=( vers) convergeα.

On reprend les notations de la question ci-dessus et on suppose de plus queest de classe2.
Etablir que, si pour tout∈ℕ,≠αalorsl→i+m∞(+1−−αα)2=′′(2α).

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