Sujet : Analyse, Moyenne arithmético-géométrique

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Suites récurrentes. Etude de fonction.

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Moyenne arithmético-géométrique

Préliminaire :

Soit:ℝ+∗→ℝune fonction croissante telle que֏() soit décroissante.

Montrer queest continue surℝ+∗.
(indice : on rappelle qu’une fonction réelle monotone définie sur un intervalle admet en tout point intérieur à cet
intervalle une limite à droite et une limite à gauche que l’on peut comparer à la valeur de la fonction en ce point.)

Partie I

Soitetdeux réels positifs ou nuls.
On définit deux suites de réels positifs () et ( :) par

1.
1.a
1.b
2.

2.a

2.b

2.c


00=et, pour tout∈ℕ:+1=
+.
 =+=
12

Déterminer ces deux suites ainsi que leurs limites dans les cas suivants

=.

=0 et∈ℝ+quelconque.
On revient au cas général et on se propose d’établir que () et ( vers une même limite.) convergent

Montrer que, pour tout≥1 ,≤,≤+1et+1≤.
Etablir que, pour tout≥ 01 ,≤−≤12−−11.

Conclure.

La limite commune à ces deux suites est appelée moyenne arithmético-géométrique deet.

Celle-ci sera désormais notée(,) .

2.d Donner(,) et(0,) pour∈ℝ+et∈ℝ+.
Dans la suite de ce problème, nous pourrons noter(,) et(,) les suites précédentes.
3. On se propose d’établir quelques propriétés utiles de la fonction (,)֏(,) .

3.a Montrer que∀,∈ℝ+,(,)=(,) .

3.b Montrer que∀,∈ℝ+,∀λ∈ℝ+,(λ,λ)=λ(,) .
3.c Montrer que∀,∈ℝ+,(,)=(,+2) .

3.d

Montrer que∀,∈ℝ+,≤(,)≤+2.

Partie II

On considère ici la fonction 0,définie sur+∞par()=(1,) .

1.

2.

2.a

2.b

3.

3.a

3.b

3.c

3.d

4.

4.a

4.b

5.

6.

Donner(0) et(1) .

On désire établir la croissance de la fonction.
Pour cela on considère 0≤≤deux réels.

Montrer que, pour tout∈ℕ,(1,)≤(1,) et(1,)≤(1,) .

Conclure.

On étudie ici la continuité desurℝ+.

Montrer que∀>0,()=.1.


En exploitant le préliminaire, montrer queest continue surℝ+∗.


Montrer que∀>0,()=1+212+.

En déduire queest continue en 0.

On étudie ici le comportement deen+∞.

Montrer que∀∈ℝ+,≤()≤1+2.

Etudier la limite deen+∞.
Préciser la branche infinie deen+∞.

Représenter sur un même graphe les allures des fonctions֏(),֏

t+1
e֏.
2

En exploitant l’encadrement du II.4.a, étudier la dérivabilité deen 0 et en 1.

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