Sujet : Analyse, Moyenne de Césaro

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Moyenne de Césaro

On appelle suite des moyennes de Césaro associée à une suite réelle ( ( suite) laσ) définie par :
=01⋯
∀∈ℕ,σ+++1+.
L’objectif du problème est d’étudier la convergence de (σ) en fonction de propriétés portées par () .

Partie I - Cas d’une suite monotone et convergente

On suppose dans cette partie que ( une suite croissante de limite) estℓ∈ℝ.
On introduit sa suite des moyennes de Césaro (σ comme en introduction.) définie
1.a Montrer que la suite (σ croissante.) est
1.b Montrer que∀∈ℕ,σ≤ℓ. Que peut-on en déduire ?
2.a Etablir∀∈ℕ,σ2+1≥21σ+21+.
2.b En déduire que (σ vers) convergeℓ.
3. Que dire de la suite des moyennes de Césaro d’une suite décroissante de limiteℓ∈ℝ?

Partie II - Cas d’une suite convergente

Soit ( suite réelle convergent vers) uneℓ∈ℝ. Pour toutε>0 .
1.a Justifier qu’il existe0∈ℕtel que pour tout∈ℕ,>0entraîne :−ℓ≤ε2 .
1.b Etablir que pour tout entier>0on a :
0−ℓ+⋯+0−ℓ01−ℓ+⋯+−ℓ
σ−ℓ≤+1+++. 1

1.c

2.
3.

3.a

3.b

3.c

>tel0−ℓ+⋯+−ℓ2 .
ue pour tout∈ℕ,>1entraîne :0≤ε
Montrer qu’il existe1 0q+1
Conclure que (σ) converge versℓ.
On suppose ici que la suite (σ vers le réel) convergeℓ. On se propose d’étudier une réciproque du
résultat précédent.
Montrer que la suite () n’est généralement pas convergente. On pourra exhiber un contre-exemple.
Montrer que la suite ( (nécessairement bornée. On pourra considérer la suite pas ) n’est par) définie
si3
= =.
0 sinon
On suppose en outre que la suite () est monotone ; on pourra considérer, par exemple, qu’elle est
croissante. Montrer alors par l’absurde que la suite () est majorée parℓ. Conclure.

Partie III - Cas des suites périodiques

Soit∈ℕ∗et () une suite réellepériodique i.e. telle que
∀∈ℕ,+=.
On introduit sa suite des moyennes de Césaro (σ) définie comme en introduction.
On pose aussi

1.

2.

2.a

2.b

2.c

=(10+1+⋯+−1) .
Montrer que, pour tout∈ℕ,=++1+⋯++−1.
On considère la suite ( terme général :) de=(+1)σ−(
Montrer que () estpériodique.
En déduire que () est bornée.
Etablir que (σ et préciser sa limite.) converge

+1).

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