Sujet : Analyse, Nombres complexes, Résolution d'équations et de systèmes

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Résolution d’équations et de systèmes Exercice 8 [ 02052 ] [correction] Résoudre l’équation|z + 1| =|z| + 1 d’inconnue z∈C. Exercice 1 [ 02045 ] [correction] 3 2 2Pour quels a∈R l’équation x + 2x + 2ax−a = 0 possède x = 1 pour solution?
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Résolution d’équations et de systèmes

Enoncés

Exercice 1[ 02045 ][correction]
Pour quelsa∈Rl’équationx3+ 2x2+ 2ax−a2= 0possèdex= 1pour solution ?
Quelles sont alors les autres solutions de l’équation ?

Exercice 2[ 02046 ][correction]
Résoudre dansC, les équations :
a)z2−2iz−1 + 2i= 0b)z4−(5−14i)z2−2(12 + 5i) = 0.

Exercice 3[ 02047 ][correction]
a) Déterminer les racines carrées complexes de5−12i.
b) Résoudre l’équationz3−(1 + 2i)z2+ 3(1 +i)z−10(1 +i) = 0en commençant
par observer l’existence d’une solution imaginaire pure.
c) Quelles particularités a le triangle dont les sommets ont pour affixe les
solutions de l’équation précédente ?

Exercice 4[ 02048 ][correction]
Résoudre dansCle système

(xx+yy=2=1−+ii

Exercice 5[ 02049 ][correction]
Résoudre dansCl’équation
z3= 4√2(1 +i)

Exercice 6[ 02050 ][correction]
Déterminer l’ensemble des pointsMd’affixeztels que

z+z¯ =|z|

Exercice 7[ 02051 ][correction]
SoitZ∈C?. Résoudre l’équation eZd’inconnuez∈C.
z=

Exercice 8[ 02052 ][correction]
Résoudre l’équation|z+ 1|=|z|+ 1d’inconnuez∈C.

Exercice 9[ 02053 ][correction]
Soitn∈N. Résoudre, lorsqu’elle a un sens, l’équation :

ncos(kx)
Xcoskx= 0
k=0

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
x= 1est solution de l’équation si, et seulement si,a2−2a−3 = 0ce qui donne
a=−1oua= 3.
Lorsquea=−1, les solutions de l’équation sont1−32+√5−2+3√5.
Lorsquea= 3, les solutions de l’équation sont1−3+i3√3 3+i3√3

22.

Exercice 2 :[énoncé]
a)S={1−1 + 2i},
b)S={−1 +i−3 + 2i1−i3−2i}.

Exercice 3 :[énoncé]
a)±(3−2i)
b)a=−2i b=−1 + 3ietc= 2 +i
c)|c−b|=|c−a|=√13et|b−a|=√26. Le triangle est rectangle isocèle.

Exercice 4 :[énoncé]
Il s’agit d’un système somme produit, on obtient ses solutions en résolvant
l’équation
z2−(1 +i)z+ (2−i) = 0

On obtient l’ensemble solution

Exercice 5 :[énoncé]
On a

S={(1 + 2i−i)(−i1 + 2i)}

4√2(1 +i) = 8eiπ4

doncz0= 2ei1π2est solution particulière de l’équation.
L’équationz3=z03équivaut alors à l’équation(zz0)3= 1dont l’ensemble
solution est
S=z0 z0j z0j2

2

Exercice 6 :[énoncé]
SoitM(z)solution avecz=a+ibeta b∈R.
On a2a=√a2+b2donca>0etb=±√3a.
1
AinsiMse situe sur les demi-droites d’origineOdirigéu
e par les vecteurs~√3et

1
~
v√3.


Inversement : ok.

Exercice 7 :[énoncé]
Posonsρ=|Z|etθ= argZ

[2π]. ez=Z⇔z= lnρ+iθ+ 2ikπaveck∈Z.

Exercice 8 :[énoncé]
|z+ 1|2=|z|2+ 2Re(z) + 1et(|z|+ 1)2=|z|2+ 2|z|+ 1donc
|z+ 1|=|z|+ 1⇔Re(z) =|z| ⇔z∈R+.

Exercice 9 :[énoncé]
L’équation a un sens pourx6=π2[π].
kPnsoco=0cskxxk=Rek=Pn0 coeisxkkx=1cosnxRecosnc+o1sxx−−eeii(xn+1)x= 0⇔cosn+1x=
cos(n+ 1)x.
Six6= 0 [π]alorsceoisxx6= 1et
nPceoisxkkx=soc1nxcosnc+o1sxx−−eeii(nx+1)x=ocs1nxcosn+1x−cos(n+1)x−isin(n+1)x
−isinx
k=0
n
doncPcoskkxx= 0⇔sin(n+ 1)x= 0⇔x [= 0π(n+ 1)].
cos
k=0
n
Six [= 0π]alorsPcsoocskxxk=n+ 1.
k=0
FinalementS=n(nk+π1)k∈Zet (n+ 1)6 |ko.

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