Sujet : Analyse, Nombres réels, Borne supérieure, borne inférieure

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Borne supérieure, borne inférieure Exercice 7 [ 00225 ] [correction] Soit A une partie non vide et minorée deR. On pose Exercice 1 [ 02107 ] [correction] m = infA et B =A∩]−∞,m+1] Soit 1n A = (−1) + /n∈N Déterminer la borne inférieure de B. n+1 Montrer que A est bornée, déterminer infA et supA. Exercice 8 [ 02347 ] [correction] 2Soit f :R →R. Etablir Exercice 2 [ 02109 ] [correction] Soient A et B deux parties non vides deR telles que sup inf f(x,y)6 inf supf(x,y) y∈R y∈Rx∈R x∈R ∀(a,b)∈A×B, a6b Montrer que supA et infB existent et que supA6 infB. Exercice 9 [ 02114 ] [correction] Déterminer 1 1 Exercice 3 [ 02108 ] [correction] inf (x +···+x ) +···+ /x ,...,x > 01 n 1 n x x1 nSoient A et B deux parties non vides et bornées deR telles que A⊂B. Comparer infA,supA,infB et supB. Exercice 4 [ 02110 ] [correction] Soient A et B deux parties deR non vides et majorées. Montrer que supA,supB et sup(A∪B) existent et sup(A∪B) = max(supA,supB) Exercice 5 [ 02111 ] [correction] Soient A et B deux parties non vides et majorées deR. On forme A+B ={a+b/(a,b)∈A×B} Montrer que A+B est majorée et sup(A+B) = supA+supB Exercice 6 [ 02113 ] [correction] nPour n∈N, on pose f (x) =x (1−x). Déterminer lim sup f (x)n n n→+∞x∈[0,1] Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.
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Borne supérieure, borne inférieure

Exercice 1[ 02107 ][correction]
Soit
A=(−1)n+n11+n∈N
Montrer queAest bornée, déterminerinfAetsupA.

Exercice 2[ 02109 ][correction]
SoientAetBdeux parties non vides deRtelles que

∀(a b)∈A×B a6b

Montrer quesupAetinfBexistent et quesupA6infB.

Exercice 3[ 02108 ][correction]
SoientAetBdeux parties non vides et bornées deRtelles queA⊂B.
ComparerinfAsupAinfBetsupB.

Exercice 4[ 02110 ][correction]
SoientAetBdeux parties deRnon vides et majorées.
Montrer quesupAsupBetsup(A∪B)existent et

sup(A∪B) = max(supAsupB)

Exercice 5[ 02111 ][correction]
SoientAetBdeux parties non vides et majorées deR.
On forme
A+B={a+b(a b)∈A×B}

Montrer queA+Best majorée et

sup(A+B) = supA+ supB

Exercice 6[ 02113 ][correction]
Pourn∈N, on posefn(x) =xn(1−x). Déterminerl→im+supfn(x)
n∞x∈[01]

Enoncés

Exercice 7[ 00225 ][correction]
SoitAune partie non vide et minorée deR. On pose

m= infAetB=A∩]−∞ m+ 1]

Déterminer la borne inférieure deB.

Exercice 8[ 02347 ][correction]
Soitf:R2→R. Etablir

Exercice 9
Déterminer

xsu∈Rpyi∈nfRf(x y)6yi∈nfRxsu∈Rpf(x y)

[ 02114 ][correction]

inf(x1+∙ ∙ ∙+xn)x11+∙ ∙ ∙+x1nx1     xn>0

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
∀n∈N−16(−1)n+n11+62doncAest bornée.
Aest une partie deRnon vide et bornée doncinfAetsupAexistent.
n 2 30 1  
(−1)n+n+112−1 +121 +31−1 +41  .
2est plus grand élément deAet doncsupA= maxA= 2.
Aest clairement minorée par−1et(−1)2p+1+2p21+→ −1donc il existe une suite
d’éléments deAqui converge vers−1doncinfA=−1.

Exercice 2 :[énoncé]
Soitb∈B. Puisque

∀a∈A,a6b

la partieAest majorée parb.
Aest une partie deRnon vide et majorée parbdoncsupAexiste etsupA6b.
Best une partie deRnon vide et minorée parsupAdoncinfBexiste et
supA6infB.

Exercice 3 :[énoncé]
AetBsont des parties non vides et bornées deRdonc les bornes sup et inf
considérées existent.
Pour touta∈A, on aa∈Bdonca6supB.supBmajoreAdoncsupA6supB.
Pour touta∈A, on aa∈BdoncinfB6a.infBminoreAdoncinfB6infA.
Enfin, puisqueA6=∅,infA6supA.

Exercice 4 :[énoncé]
A B A∪Bsont des parties deRnon vides et majorées donc
supAsupBsup(A∪B)existent dansR.
Pour toutx∈A∪Bon ax6max(supAsupB)donc

sup(A∪B)6max(supAsupB)

PuisqueA B⊂A∪Bon asupAsupB6sup(A∪B)donc

puis l’égalité.

max(supAsupB)6sup(A∪B)

2

Exercice 5 :[énoncé]
AetBsont deux parties non vides et majorées deRdoncsupAetsupBexistent.
Pour toutx∈A+B, on peut écrirex=a+baveca∈Aetb∈B.
On ax=a+b6supA+ supB, doncA+Best majorée parsupA+ supB
A+Best une partie deRnon vide et majorée doncsupA+Bexiste et

supA+B6supA+ supB

Pour touta∈Aet toutb∈B,a= (a+b)−b6sup(A+B)−bdoncAest
majorée parsup(A+B)−bd’où

Par suite

supA6sup(A+B)−b

b6sup(A+B)−supA
etBest donc majoré parsup(A+B)−supAet par suite

Finalement

puis l’égalité.

supB6sup(A+B)−supA

supA+ supB6supA+B

Exercice 6 :[énoncé]
fnest dérivable etf0n(x) =nxn−1(1−x)−xn=nxn−1−(n+ 1)xn.
fn(xx0)0%xMnn&10avecxn=n+n1∈[01]et
Mn=xs∈[u0p1]fn(x) =1−nn1
n1+11+→0.

Exercice 7 :[énoncé]
Puisquem+ 1ne minore pasA, la partieBest non vide.
De plusB⊂Adonc la borne inférieure deBexiste et

infA6infB

Soitx∈A, six6m+ 1alorsx∈Bet doncx>infB.
Six > m+ 1alors à nouveaux>infB.
AinsiinfBminoreAet donc
infA>infB
Finalement

infA= infB

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Exercice 8 :[énoncé]
Soity0∈R. On a pour toutx∈R

donc

puis

Exercice 9 :[énoncé]
On exploite

pour obtenir

nf y)6f(x
yi∈Rf(x y0)

sxu∈Rpyi∈nfRf(x y)6xsu∈Rpf(x y0)

f sup0)
xsu∈Rpyi∈nfRf(x y)6yi0n∈Rx∈Rf(x y

x
xi+j
xjxi

xi2+x2j
=>2
xixj

(x1+∙ ∙ ∙+xn)x11+∙ ∙ ∙+x1n

Puisque que pourx1=  =xn= 1on obtient

n
xi>n2
=ijX=1xj

=n

+xn)x1+∙ ∙ ∙+x1n
(x1+∙ ∙ ∙1

2

on peut conclure
inf(x1+∙ ∙ ∙+xn)x11+∙ ∙1nx
∙+1     xn>0
x

=n2

Corrections

3

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