Sujet : Analyse, Nombres réels, Inégalités

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Inégalités Exercice 1 [ 03643 ] [correction] Soient x,y∈[0,1].

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Inégalités

Exercice 1[ 03643 ][correction]
Soientx y∈[01]. Montrer
x2+y2−xy61

Exercice 2
Montrer

Exercice 3
Montrer

Exercice 4
Montrer

[ 02096 ]

[correction]

∀a b∈R,ab612a2

[ 02097 ][correction]

+b2

∀a b c∈R,ab+bc+ca6a2+b2+c2

[ 03224 ][correction]

∀u v>01 +

√uv6

Exercice 5[ 03405 ][correction]
Soientn∈N?,a16  6anetb16  6
Etablir
1nkX=n1ak! n1k=Xn1

√1 +u

√1 +v

bndes réels.
n
bk!61nXa
k=1

kbk

Enoncés

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Sachantx26xety26y, on a

x2+y2−xy−16x+y−xy−1 = (x−1)(1−y)60

Exercice 2 :[énoncé]
(a−b)2>0donne2ab6a2+b2

Exercice 3 :[énoncé]
Sachant

2xy6x2+y2

on obtient
ab+bc+ca621(a2+b2(12+)b2+c212)+(c2+a2) =a2+b2+c

Exercice 4 :[énoncé]
Compte tenu de la positivité des membres, le problème revient à établir
1 +√uv26(1 +u)(1 +v)

soit encore

ce qui découle de la propriété

2√uv6u+v

√u√−v2>0

Exercice 5 :[énoncé]
Par somme de quantités positives, on a
X(ak−a`)(bk−b`) =X(akbk−a`bk
16k`6n16k`6n

En séparant la somme en quatre, on obtient

2

−akb`+a`b`)>0

n n n n
nXakbk−2XakXb`+nXa`b`>0
k=1k=1`=1`=1

Corrections

et on en déduit
n
nXakb
k=1
ce qui donne l’inégalité demandée.

n n
k>XakXbk
k=1k=1

2

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