Sujet : Analyse, Nombres réels, Partie entière

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Partie entière Exercice 8 [ 03416 ] [correction] Démontrer √ √ √? ∀n∈N , n+ n+1 = 4n+2Exercice 1 [ 02100 ] [correction] Montrer que la fonction partie entière est croissante. en notant [x] la partie entière d’un réel x.

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Partie entière

Exercice 1[ 02100 ][correction]
Montrer que la fonction partie entière est croissante.

Exercice 2[ 02101 ][correction]
Montrer
∀x y∈R E(x) +E(y)6E(x+y)6E(x) +E(y) + 1

Exercice 3[ 02102 ][correction]
Montrer
∀x y∈R,E(x) +E(x+y) +E(y)6E(2x) +E(2y)

Exercice 4[ 02103 ][correction]
Soitn∈N?etx∈R. Montrer
EE(nx)=E(x)
n

Exercice 5[ 02104
Montrer que

][correction]

k
∀x∈R,∀n∈N?,nkX−1=0Ex+=E(nx)
n

Exercice 6[ 02105 ][correction]
Soita6b∈R. Etablir

Card([a b]∩Z) =E(b) +E(1−a)

Exercice 7[ 02106 ][correction]
Soitn∈N?.
a) Montrer qu’il existe(an bn)∈N?2tel que
(2 +√3)n=an+bn√3et3b2n=a2n−1
b) Montrer que la partie entière de(2 +√3)nest un entier impair.

Enoncés

Exercice 8
Démontrer

[ 03416 ][correction]
∀n∈N?√n+√n+ 1=√4n+ 2

en notant[x]la partie entière d’un réelx.

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Soitx6y∈R.E(x)6xdoncE(x)6yorE(x)∈ZdoncE(x)6E(y)carE(y)
est le plus grand entier inférieur ày.

Exercice 2 :[énoncé]
E(x) +E(y)6x+ydoncE(x) +E(y)6E(x+y).
E(x+y)6x+y < E(x) + 1 +E(y) + 1doncE(x+y)6E(x) +E(y) + 1.

Exercice 3 :[énoncé]
SiE(x)6x < E(x) + 12etE(y)6y < E(y) + 12alors
E(x+y) =E(x) +E(y) E(2x) = 2E(x)etE(2y) = 2E(y)puis la relation voulue.
SiE(x) + 126x < E(x) + 1etE(y)6y < E(y) + 12alors
E(x+y)6E(x) +E(y) + 1 E(2x) = 2E(x) + 1etE(2y) = 2E(y)puis la relation
voulue
SiE(x)6x < E(x) + 12etE(y) + 126y < E(y) + 1: idem.
SiE(x) + 126x < E(x) + 1etE(y) + 126y < E(y) + 1alors
E(x+y) =E(x) +E(y) + 1 E(2x) = 2E(x) + 1etE(2y) = 2E(y) + 1puis la
relation voulue.

Exercice 4 :[énoncé]
On aE(nx)6nxpuisE(xnn)6x, orx7→E(x)est croissante donc
EE(nnx)6E(x)

E(x)6xdoncnE(x)6nxpuisnE(x)6E(nx)carnE(x)∈Z.
Par suite

puis

et finalement

E(x)6E(nnx)

E(x)6E(E(nnx))
E(x) =EE(nxn)

Exercice 5 :[énoncé]
Posonsm=E(nx)et réalisons la division euclidienne demparn:m=nq+r
avec06r6n−1.
On anq+r6nx < nq+r+ 1donc pour toutk∈ {0     n−1}:

2

k r k k+
q+ +6x+< q+r+ 1
n n n
Sik+r < nalorsEx+nk=qet sik+r>nalorsEx+nk=q+ 1.
Par suite
n−1
X=0Ex+kn=kn−=rX0−1Ex+kn+nk−X1Ex+kn=nq+r=m=E(nx)
k=n−r

Exercice 6 :[énoncé]
Sia ∈Zalors[a b]∩Z={E(a) + 1 E(a) + 2     E(b)}donc
Card([a b]∩Z) =E(b)−E(a).
OrE(1−a) = 1 +E(−a) =−E(a)cara ∈Zdonc
Card([a b]∩Z) =E(b) +E(1−a)
Sia∈Zalors[a b]∩Z={a a+ 1     E(b)}donc
Card([a b]∩Z) =E(b)−a+ 1 =E(b) +E(1−a)car1−a∈Z.

Exercice 7 :[énoncé]
a) Par récurrence surn∈N?
.
Pourn= 1,a1= 2etb1= 1conviennent.
Supposons la propriété établie au rangn>1.
(2 +√3)n+1= (2 +√3)(an+bn√3) =an+1+bn+1√3

avecan+1= 2an+ 3bnetbn+1=an+ 2bnde sorte que

3bn1+2−an21+=−a2n+ 3b2n=−1

Récurrence établie.
b)an−16bn√3< andonc2an−16(2 +√3)n<2andonc
E((2 +√3)n) = 2an−1

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Exercice 8 :[énoncé]
Soitpun entier strictement supérieur à√n+√n+ 1. On a
2n+ 1 + 2pn2+n < p2

donc

4(n2+n)<p2−(2n+ 1)2

Puisque les nombres comparés sont des entiers, on a aussi
4(n2+n) + 16p2−(2n+ 1)2

c’est-à-dire

et on en déduit

(2n+ 1)26p2−(2n+ 1)2

4n+ 26p2

Corrections

Or le carré d’un entier ne peut qu’tre congru à 0 ou 1 modulo 4. On en déduit

4n+ 2< p2

et donc
√4n+ 2< p
Ainsi, il n’existe pas d’entiers compris entre√n+√n+ 1et√4n+ 2donc
√n+√n+ 1=√4n+ 2

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