Sujet : Analyse, Primitivation de fonctions périodiques

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Intégration. Espaces vectoriels.

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Primitivation de fonctions périodiques

On considère=0(ℝ,ℝ) leℝ-espace vectoriel formé des fonctions réelles définies et continues surℝ.
On introduit les sous-ensembles desuivants :

·f n
0 o ctionsformé destelles que0()=0 ,
·  formé des fonctions constantes,
· 2 formé des fonctionsπpériodiques,


· 0formé des fonctionstelles que∈et0()=0 .

1.a Montrer que0etsont des sous-espaces vectoriels.
1.b Montrer que0etsont supplémentaires dans.
1.c Montrer queest un sous-espace vectoriel
1.d Etablir, par unargument rapide, que0est aussi un sous-espace vectoriel de.

2.a Soit∈donnée.

Montrer quepossède une et une seule primitive:ℝ→ℝtelle que
Nous noterons désormais( primitive.) cette


()=0 .
0

2.b L’application:→est-elle injective, surjective, bijective ?

3. Soit∈.
+2π∫2π
3.a Observer que∀∈ℝ,()=().
0
3.b Montrer quepossède une primitive 2πpériodique ssi∈0
3.c Observer que, si tel est le cas,()∈0.
On note:0→0la restriction deà0, puis pour tout∈ℕ∗, on pose :=…(produit à
termes)
La suite de l’étude a pour objectif d’exprimer( tout) pour∈0, à l’aide d’une seule intégrale.


4.

4.a

4.b


5.

5.a

5.b
5.c

On définit par récurrence sur∈ℕ, des fonctions polynomiales: 0,2π→ℝde la manière
suivante :
on pose0 2: 0,π→ℝla fonction polynomiale constante égale à 1,
puis pour tout∈ℕ, on pose+1=() .
Expliciter() pour=1 et=2 .
Montrer que∀∈ℕtel que≥2 ,(0)=(2π) .

Pour tout∈0et tout∈ℕ, on définit une fonctionϕ:

,ϕ=   + .
∀∈ℝ()() (−2)112π )( ) (
π0
Montrer queϕ( 2 une fonction) estπpériodique.
Montrerϕ1()=() .
Etablir que pour tout≥1 :ϕ+1()=ϕ(()) .

ℝ→ℝpar :

5.d

En déduire que pour tout≥1

()=() .

:ϕ

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