Sujet : Analyse, Séries de Engel

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Séries deEngel

On notel’ensemble formé des suites de nombres entiers=()∈ℕvérifiant :
0> pour tout1 et≥0 ,≤+1.
1. Etant donnée une suite=()∈ℕde (, on forme une suite réelle) en posant pour tout∈ℕ:
 1 11 1
=∑= + +⋯+
=001…00101…

1.a

1.b

Calculer (quand la suite) est constante égale à∈ℕ\{0,1}.
Quelle est alors la limite de la suite () ?
On revient au cas général.
Montrer que la suite ( vers un réel) converge∈0,1 .

On pose alors()=ce qui définit une application:→0,1

2.

2.a

2.b

3.

3.a

3.b

3.c

4.

Soit=()∈ℕet=()∈ℕdeux suites de.
On suppose0>0. Etablir que()<() .
Montrer queest injective.

Soitun réel de l’intervalle On définit une suite ( 0,1 . suit :) comme

0=∈ pour tout0,1 puis≥0

+1=−1 avecla partie entière de 1+−1.

Justifier que la suite () est bien définie et que c’est une suite décroissante d’éléments de 0,1 .

Exprimeren fonction0,1,…,et de.
Conclure que la fonctionest surjective.

Soit 0,1 etun réel de l’intervalle=( suite de) l’uniquetelle que()=.
Montrer que :
∈ℚ⇔ ∃∈ℕ,∀

≥,

=

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