Sujet : Analyse, Séries de Fourier, Développement en série de Fourier

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Développement en série de Fourier Exercice 4 [ 03176 ] [correction] Soit f :R→R la fonction paire, 2π-périodique, définie par Exercice 1 [ 00951 ] [correction] 2 24x −π si x∈ [0,π/2] f(t) =Soit f une fonction continue 2π périodique. 2 28xπ−3π −4x sinon On suppose que la série de Fourier de f converge uniformément. Montrer que cette convergence a lieu vers la fonction f. 1a) Montrer que f est de classeC et calculer exprimer sa dérivée. b) Calculer les coefficients de Fourier trigonométrique de la fonction f. c) En déduire la valeur de +∞ nX (−1)Exercice 2 [ 00952 ] [correction] 3(2n+1)Soit f :R→R la fonction régularisée, 2π périodique, impaire, constante égale à 1 n=0 sur ]0,π[. a) Calculer ses coefficients de Fourier trigonométriques. b) Etudier la convergence simple ou uniforme de la série de Fourier vers f. Exercice 5 [ 00954 ] [correction] c) En déduire Soit f :R→R la fonction 2π périodique définie par +∞ +∞pX X(−1) 1 et f(x) =|cosx|22p+1 (2p+1) p=0 p=0 a) Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques de f. d) Calculer b) En déduire la valeur +∞ +∞ n−1 +∞X X n+1X1 (−1) (−1) et 2 2 2n n 4n −1n=1 n=1 n=1 Exercice 6 [ 00955 ] [correction]Exercice 3 [ 00953 ] [correction] Soit f :R→C, 2π-périodique, impaire et vérifiantSoit f :R→R l’application 2π périodique, paire, telle que π−t f(t) = sur ]0,π]∀x∈ [0,π],f(x) =x 2 a) Préciser la convergence de la série de Fourier de f.
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Développement en série de Fourier

Exercice 1[ 00951 ][correction]
Soitfune fonction continue2πpériodique.
On suppose que la série de Fourier defconverge uniformément. Montrer que
cette convergence a lieu vers la fonctionf.

Enoncés

Exercice 2[ 00952 ][correction]
Soitf:R→Rla fonction régularisée,2πpériodique, impaire, constante égale à 1
sur]0 π[.
a) Calculer ses coefficients de Fourier trigonométriques.
b) Etudier la convergence simple ou uniforme de la série de Fourier versf.
c) En déduire
+∞1
p=+X∞02(p−+1)p1etpX=0(2p+ 1)2

d) Calculer

+∞1+∞(−1)n−1
Xn2etXn2
n=1n=1

Exercice 3[ 00953 ][correction]
Soitf:R→Rl’application2πpériodique, paire, telle que

∀x∈[0 π] f(x) =x

a) Calculer la série de Fourier def.
b) Etudier la convergence simple ou uniforme de la série de Fourier de
c) Déterminer
k=+X∞0(2k1)+12etk=+X∞0(2k)+114

d) En déduire

+X∞1et+X∞n14
n2
n=1n=1

f.

Exercice 4[ 03176 ][correction]
Soitf:R→Rla fonction paire,2π-périodique, définie par
f(t) =48xx2π−−π32π2−4x2sinisxon∈[0 π2]

a) Montrer quefest de classeC1et calculer exprimer sa dérivée.
b) Calculer les coefficients de Fourier trigonométrique de la fonctionf.
c) En déduire la valeur de
+∞n
n=X02((n−)+11)3

Exercice 5[ 00954 ][correction]
Soitf:R→Rla fonction2πpériodique définie par

f(x) =|cosx|

a) Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques def.
b) En déduire la valeur

+X∞4(n12)−n+11
n=1

Exercice 6[ 00955 ][correction]
Soitf:R→C,2π-périodique, impaire et vérifiant

f(t) =π2−tsur]0 π]

a) Préciser la convergence de la série de Fourier def. La convergence est-elle
uniforme ?
b) Calculer la série de Fourier def.
c) En déduire la convergence et la valeur de

d) Calculer

+X∞sinn
n
n=1

+X∞12
n
n=1

1

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Exercice 7CCP MP[ 00956 ][correction]
Soit la fonctionf:R→R2πpériodique définie par

∀x∈]−π π],f(x) = ex

a) Calculer les coefficients de Fourier exponentiels def.
b) En déduire la valeur des sommes

+∞
e
n+X∞0(n2−+1)n1tnX=0n2+11
=

Exercice 8[ 00957 ][correction]
Soientα∈RZetf:R→Rla fonction2πpériodique définie par

f(x) = cos(αx)sur]−π π]

a) Déterminer les coefficients de Fourieranetbndef.
b) En déduire les valeurs des sommes

+X∞(n−21−)nα−12et+X∞n21−α2
n=1n=1

c) En déduire enfin la valeur de

+∞1
Xn2
n=1

Exercice 9CCP MP[ 03695 ][correction]
Soitαun réel non entier etfla fonction2π-périodique donnée par

∀t∈]−π π] f(t) = cos(αt)

a) Montrer quefest égale à sa somme de Fourier en précisant le type de
convergence de celle-ci.
b) Calculer la somme de Fourier def.

Exercice 10CCP MP[ 03598 ][correction]
Soientα∈RZetf:R→Rla fonction2πpériodique définie par

f(t) = cos(αt)sur]−π π]

Enoncés

a) Montrer quefadmet une série de Fourier convergente surR.
Quel type de convergence est-ce ?
b) Expliciter les coefficients de Fourier def.
c) Pour toutx ∈πZ, montrer l’égalité

1∞2x
xXx2−(nπ)2
cotanx= +
n=1

Exercice 11[ 00958 ][correction]
Soientα∈R?etf:R→Rla fonction2πpériodique définie par

f(x) =ch(αx)sur]−π π]

a) Déterminer les coefficients de Fourieranetbndef.
b) En déduire les valeurs des sommes

+∞
n+X=∞1n(2−+1)αn2etX=1n2+1α2
n

Exercice 12CCP MP[ 00959 ][correction]
a) Domaine de définition de

S(t) =+X∞1?
k2−t2
k=0

b) Calculer les coefficients de Fourieranetbndef(x) = cos(αx)définie sur
[−π π]avecα∈RZ.
c) Sur quel domainef ?coïncide avec son développement en série de Fourier
d) En déduire une expression deS(t).

Exercice 13[ 00960 ][correction]
Existe-t-il une suite(αn)de réels telle que

+∞
∀t∈[0 π],sint=Xαncos(nt)?
n=0

2

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Exercice 14[ 00961 ][correction]
La série de Fourier de la fonctionfpaire2π-périodique qui vaut√xpour
x∈[0 π] Que vaut sa somme ?converge-t-elle uniformément ?

Enoncés

Exercice 15Mines-Ponts MP[ 02883 ][correction]
Soitαun réel non entier.
a) En utilisant la fonction2π-périodique coïncidant avecx7→cos(αx)sur[−π π],
calculer
n
1 + 2α2+∞1)
Xα(2−−n2
n=1
b) En déduire

c) Ici0< α <1. Montrer qu

+∞(−1)n
Xn2
n=1
e
Z0+∞1tα+−1tdtnis=απ
π

Exercice 16Mines-Ponts MP[ 02884 ][correction]
Soientα∈RZetfαl’unique fonction2π-périodique deRdansRtelle que pour
toutx∈[−π π],
fα(x) = cos(αx)
a) Calculer les coefficients de Fourier defα.
b) Montrer que
απ1 + 2α2+X∞(−1)n−1
=
sin(απ)n=1n2−α2
c) Si0< α <1, montrer que

Z+∞tα−1π
dt=
01 +tsin(απ)

Exercice 17Mines-Ponts MP[ 02885 ][correction]
Soita >0,xréel. On pose

+∞1
f(x) =n=X−∞a2+ (x−2nπ)2

a) Montrer quefest définie surRet étudier sa parité.
b) Montrer quefest développable en série de Fourier.
c) Calculer, en utilisant un logiciel de calcul formel, l’intégrale
Z−+∞∞b2cso+tt2dt

d) En déduire les coefficients de Fourier def.
e) Exprimerfà l’aide des fonctions usuelles.

Exercice 18[ 03227 ][correction]
Soitf:R→C,2π-périodique, impaire et vérifiant

a) Calculer

0< x < π⇒f(x) =π2−x

+∞sin( )
S(x) =Xnxn
n=1

b) Soitg:R→C,2π-périodique, impaire, continue et définie par

Démontrer

c) Que vaut

gest affine sur[01]et∀x∈[1 π] g(x) =S(x)

s
n=+X∞1sin2 +∞innn
nn=X
n=1

n
+X∞sin24n?
n=1

Exercice 19CCP PSI[ 03811 ][correction]
Former le développement en série de Fourier de la fonction2π-périodique donnée
par
f(t) =|sint|

en précisant la nature de la convergence de cette série.

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Enoncés

Exercice 20Centrale PC[ 03617 ][correction]
Soitf:R→Cune fonction2π-périodique etklipschitzienne. Pourn∈Z, on pose
cn(f2=1)πZ20πf(t)e−intdt

a) Pour touth∈R, on définit la fonction

fh:R→C x7→f(x+h)−f(x)

Calculercn(fh)pour toutn∈Z.
b) En déduire que
∈XZsin2n2h|cn(f)|26(k4h)2
n
c) En utilisant la concavité de la fonction sinus, montrer que
Xn2|cn(f)|2
n∈Z

converge.
d) Que peut-on en conclure ?
Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 21[ 02510 ][correction]
On considère la fonctionfdéfinie surRpar

f(t) sint+|sint|
=
2

a) Préciser le mode de convergence de la série de Fourier def.
b) En déduire
+∞+∞1
nX=14n21−1etnX=1(4n2−1)2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
NotonsSla série de Fourier defetSples sommes partielles.
Puisque la fonctionfest continue, il y a convergence en moyenne quadratique de
(Sp)versf.
21πZ20π|Sp(t)−f(t)|2dt→0
Par hypothèse, il y a convergence uniforme de(Sp)vers sa limite que nous avons
notéeSet donc il y a aussi convergence en moyenne quadratique
21πZ02π|Sp(t)−S(t)|2dt→0
Par unicité de la limite pour la convergence en moyenne quadratique, on peut
affirmerf=S.

Exercice 2 :[énoncé]
a)fimpaire donc
∀n∈N an= 0
Pourn∈N?,
bn=π1Z−ππf(t) sin(nt)dt 1= 2−n(π−1)n
doncb2p0etb2p+ 4 )π.
=1=(2p+1
On a aussic0= 0et pourn∈Z,n6= 0.
nt(1−
dt= (−1)n)
=21πZ−ππf(t)e−i
cninπ

b) La fonctionfétantC1morceaux, la série de Fourier converge simplementpar
vers la régularisée def.
La convergence ne peut pas tre uniforme car la fonction limite n’est pas continue.
c) La convergence simple de la série de Fourier versf(x)enx=π2donne :

d’où

= 4+∞(−1)p= 1
p+X=∞0n4si(2p(+2p12+)1π)ππp=X02p+ 1

+∞( 1)pπ
X2−=
p=0p 4+ 1

L’égalité de Parseval donne

21p+X=∞0=61Zπf(t)2dt= 1
(2p+ 1)2π22π−

donc

+∞
d)Pn12existe et
n=1

d’où

Aussi

+X∞1=π2
p=0(2p+ 1)28

n+X=∞1n12=p=+X∞0(2p+11)214++X∞1
p=1p2

+∞2
X1 = 4+∞+12=π
n=1n23pX=0(2p1) 6

+∞1+
n=X1(−1n)2n−1=+X∞(2p1−pX=∞1p12=π82−π242=π122
p=1+ 1)24

Exercice 3 :[énoncé]
a) Puisquefest paire :

∀n∈N? bn= 0

Pourn∈N,
an= 1Zπf(t) cos(nt)dt= 2πZ0πtcos(nt)dt
π−π
Pourn= 0:a0=π.
Pourn >0:
an= 2πtnsin(nt)0π−n2πZπsin(nt)dt= 2((−1n2)nπ−1)
0

Aussi
21Zπdt2=π
c0=t
π−π
et pourn∈Z?:
cn21=πZ−ππf(t)e−intdt= 1πZ0πtcos(nt)dt= (−1n)2nπ−1

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Par suite

S(f)(t21=)a0++X∞ancos(nt) =π2−4+X∞cos(2k+ 1)t
n=1πk=0(2k+ 1)2

Corrections

b)fest continue etC1par morceaux, la convergence est donc normale a fortiori
simple et uniforme.
c)S(f)(t) =f(t). Pourt= 0, on obtient

+X∞1π2
=
k=0(2k+ 1)28

Par la formule de Parseval :
π
21πZ(f(t))2dt=41a0221+k=+X∞0a22k+1=π42+π82k+X=∞0(2k1+1)4
−π

Or

donc

+∞
d)Pn12existe et
n=1

d’où

De mme on obtient

Exercice 4 :[énoncé]
a) Sur[0 π2], on a

21πZ−ππ(f(t))2dt= 1π1t3π=π32
30

+∞1π4
X69=
k=0(2k+ 1)4

∞1 1
n+X=∞1n12=k=+X0(2k+ 1)24+k=+X∞1k12

+X∞1π2
=
1n26
n=

+∞1π4
X=
1n490
n=

f(x) = 4x2−π2

et doncfest de classeC1sur[0 π2]avec

Sur]π2 π], on a

f0d(0) = 0etfg0(π2) = 4π

f(x) = 8xπ−3π2−4x2

et cette relation est aussi valable pourx=π2. On en déduit quefest de classe
C1sur[π2 π]avec
fd0(π2) = 4πetf0g(π) = 0
Par parité et périodicité, on peut affirmer quefest de classeC1surR(et un
dessin serait sûrement très convainquant. . . ) etf0est une fonction impaire,
2π-périodique avec
f0(t) =88xπ−8xnisisxon∈[0 π2]

a) Puisque la fonctionfest paire, les coefficientsbnsont nuls et
an= 2πfos(nt) dt
πZ0(t) c

ce qui donne

a2n= 0eta2n+1= 3π2((2n−1)+n1+)31

après quelques calculs pénibles, ou plus simplement après exploitation de la
relation
bn(f0) =−nan(f)

voire de la relation
an(f00) =nbn(f0) =−n2an(f)
et en considérant la pseudo dérivée d’ordre 2 def.
c) Puisque la fonctionfest de classeC1, elle est égale à sa somme de Fourier et
donc

∀x∈R f(x) = 3π2n+X=∞0(2(n)1+n1+)31cos((2n+ 1)t)
En évaluant pourx= 0, on obtient

+X∞((2n−1+)1n)33=π23
n=0

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Exercice 5 :[énoncé]
a) La fonctionfest paire. On obtient pourn∈N

a2n(f) = (−1)n+14+1(f) = 0
π(4n2−1)eta2n

Corrections

etbn(f) = 0pourn∈N?.
b) La fonctionfest de classeC1par morceaux, il y a donc convergence uniforme
de la série de Fourier versf. Enx= 0, on obtient :

donc

f(=20)++∞
πX(−14n)n+14
n=1π(2−1)

+∞(−1)n+1π−2
X4n2− 41 =
n=1

Exercice 6 :[énoncé]
a)festC1par morceaux et régularisée donc la série de Fourier defconverge
simplement versfen vertu du théorème de Dirichlet.
La convergence ne peut tre uniforme car si telle est le casfserait continue en 0
en tant que limite uniforme d’une suite de fonctions continues.
b) La fonctionfest paire. On obtientan= 0et par intégration par parties
bn= 1n.
La série de Fourier defpermet d’écrire

f(t) =+X∞sin(nt)
n
n=1

b) Pourt= 1, on obtient
+∞sinn π−1
Xn2=
n=1
c) Par la formule de Parseval

donc

1+X∞211πZπ|f(t)|2dt
=
2n2π
n=1−

+X∞1n12= 2πZ0π(π−4t)2dt61=π−(π−t)3π0=π62
n=

Exercice 7 :[énoncé]
a) Par définition, pourn∈Z,
21πZ2π
cn=f(t)e−intdt
0

Après calcul, on obtient
cn(f) =shπ1(−−1)inn
π
b) La fonctionfest de classeC1par morceaux (mais pas continue) donc la série
de Fourier converge simplement vers la fonctionf?régularisée defavec
exsix∈
f?(x) =ch(π)six=]π−π π[

Ainsi

Pourx=

Or

∀x∈R f?(x) =shπ+∞(−1)n
πX1−ineinx
n=−∞
0, on obtient

shππ=+X∞(1−−1i)nn
n=−∞

+∞
n=+X−∞∞(1−−1i)nn=−1 +X=0(−1)n1−1in11++in=−1 + 2n+X=∞0(n2−)1+n1
n

Par suite
+X∞n(2−)1+n=1211 +shππ
n=0
De mme avecx=π, on obtient

+X∞n21+11=(21+πcothπ)
n=0

Exercice 8 :[énoncé]
a) La fonctionfest paire. On obtientbn= 0pourn>1et

12αsin(απ)
an= (−1)n−π(n2−α2)

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Corrections

pourn∈N. La série de Fourier defconverge normalement versfcar celle-ci est
continue etC1par morceaux. Par suite

+∞
f(x sin) =α(αππ)+X(−1)n−1π(2nαs2in−(απα2s()co)nx)
n=1

b) Pourx= 0, on obtient

+X∞(n−21−)nα−212=α12sinα(αππ)−1
n=1

et pourx=π,
+∞
Xn2−1α2= 1−α2απc2otαπ
n=1
+∞
c) Il y a convergence normale dePn21−α2pourα∈[012]donc quand
n=1

Quandx→0,

donc quandα→0,

d’où

+∞1 = lim
Xn2α→+0X∞n2−1α2
n=1n=1

cotx= 1x−1o(x)
3x+

1−απcotαπ π2
2α2→6

+∞
Xn12=π2
n=16

Exercice 9 :[énoncé]
a) Par périodicité
f(−π) =f(π) = cos(απ) = cos(−απ)

Ainsi
∀t∈[−π π] f(t) = cos(αt)
On peut donc affirmer quefest continue et de classeC1par morceaux. On en
déduit que la série de Fourier defconverge uniformément versfsurR.

b) La fonctionfest paire. Après calculs

an= (−1)n−12αsin(απ)etbn= 0
π(n2−α2)

et donc la série de Fourier defest

sin(απ)++∞
απX(−1)n−1π(2nαs2in−(απα2)s(co)nt)
n=1

8

Exercice 10 :[énoncé]
a) La fonctionfest continue et de classeC1par morceaux surRcar elle l’est sur
[−π π]. On en déduit que la série de Fourier defconverge uniformément versf.
b) Après calculs, pourn∈N,

an= (−1)n−1π2(αn2si−nαπα2)etbn= 0

c) Pour toutt=πla convergence de la série de Fourier de, fdonne

cos(απ) = sinααππ+n+=X∞1π2(ααs2in−(απn2))

et en posantx=απon obtient

sin+∞
cosx=xx+Xx2xsinx2
n1=2−(nπ)

ce qui fournit la relation demandée.

Exercice 11 :[énoncé]
a) La fonctionfest paire. On obtientbn= 0pourn>1et

2αshαπ
an= (−1)nπ(α2+2)
n

pourn∈N. La série de Fourier defconverge normalement versfcar celle-ci est
continue etC1par morceaux. Par suite

f(x) =shαπα++X∞(−1)nπ(2αα2sh+nπα2) cosnx
π
n=1

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b) Pourx= 0, on obtient

et pourx=π,

+∞
X2
n=1n(2−+1)αn22=α1shα(παπ)−1

+∞1απcoth(απ)−1
Xn2+α22α2
=
n=1

Exercice 12 :[énoncé]
a)S(t)est définie surRZ.
b)an= (−1)n−1π2(αns2in−αα2π)etbn= 0.
c) Puisquefest continue etC1par morceaux, le théorème de convergence
normale assure que la série de Fourier defconverge versfsurR.
d) Pourx=π, on obtient :

donc

puis

∞inαπ
cosαπ= sinπαπα−n+=X1π(2nα2s−α2)

+∞1πcotαπ
Xn1=−2α
2α22α2

n=1

πcotαπ
S(t) =−2α12−

Corrections

Exercice 13 :[énoncé]
Soitfla fonction2πpériodique paire définie sur[0 π]parf(t) = sint.fest
continue etC1par morceaux. Sa série de Fourier converge donc normalement vers
fet cela permet d’écrire

+∞
∀t∈[0 π],sint=12a0(f) +Xan(f) cos(nt)
n=1

d’où le résultat.
an(f 2) =Z0πsintcos(nt) dt= 1πZ0πsin(n+ 1)t−sin(n−1)tdt
π

Sin= 1,

a1(f) = 0

Sin6= 1,
an(f) = 1 os(n
π−cn+11+)t0π−π1−cos(nn−−)11tπ0=−2(π+1(n2(−−)11)n)

Exercice 14 :[énoncé]
Le problème est qu’icifn’est pas de classeC1par morceaux puisqu’elle n’admet
de dérivée à droite et à gauche en 0.
Pourn >0, on abn= 0et
an= 2πZ0π√xcos(nx) dx=π2n√xsin(nx)π0−n1πZ0πsin√(xnx)dx

9

donc
d 1nπ
an=−n1πZ0πsin√(xxn)n32πZ0sin√(uu)du
x=−
Or l’intégrale
Z+0∞si√nuudu
est convergente comme on peut le vérifier à l’aide d’une intégration par parties sur
[1+∞[
Par conséquent,an=O1n32donc la série de Fourier defest normalement
convergente.
Etant continue, la série de Fourier converge en moyenne quadratique versfet
donc sa somme est égale àf.

Exercice 15 :[énoncé]
a) La fonction2π-périodique étudiée est continue et de classeC1par morceaux
dont développable en série de Fourier.
2α(−1)nsin(απ)etbn0
an= =
π(α2−n2)

La valeur en 0 de ce développement permet d’établir :

1 + 2α+2X∞(−1)nsin=απαπ
n=1α2−n2( )

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Corrections

+∞n
b) Par convergence normale, la fonctionα7→Pn(2−−1)α2est continue sur[012].
n=1

Pourx= 0, on obtient

+∞

10

)n−1
En passant à la limite quandα→0, on obtient1 = sinαπαπ+ 2α2sinαπαπX(n−21−α
2
+∞(−n12)n= lαi→m012α2παπα)−1=−1π22n=1
Xsipuis la relation voulue.
n=1n(c) La fonctionf:t7→t1α+−t1est définie et continue par morceaux sur]0+∞[. On
c)vérifief(t)∼tα−1etf(t)t→∼+t21−αce qui assure l’intégrabilité def.
t→0∞
Z01t1α+−1tdt=Z10n+Z=X0∞0+(∞−11t)αn+−t1αt−d1t+=ndZt01=1tNnα+=X−01tZd0t1+(−Z11)+nt∞α−t1α1++−1ntddtt+Z+01X∞(−1)ntα−1+Zn01dtt1α+−1tdt=Z01n+X=∞0(−1)ntn+α−1dt=Z10nXN=0(−1)t+Z1n=+N∞+1(−1)ntn+α−1
ntn+α−1d0X
Par le critère spécial des séries alternées,n=N+1Z1N=0(−1)ntn+α−1dt=NnX=0(n−+)1αn−N−−→−+−∞→n=+X∞0(n−1+)αn
0nX
1∞de la série étant acquise par le critère spécial des séries alternées.la convergence
Z+0X(−1)ntα−1+ndt6Z10tα+Ndt=N+1α+ 1→0
+∞
X(−1)ntn+α−1
doncn=N+1Z01n=N+1dt6Z[01[tN+αdt=N+11+α
+∞
Z01t1α+−1tdt=n+X=∞0Z01(−1)ntα−1+n=X(n−1)+αnobtenue par le critère spécial des séries alternées.la majoration du reste étant
n=0On peut alors affirmer
Paru= 1t,Z1tα−1dt=+X∞(−1)n

Z+1∞t1α+−1tdtZ10uu+−α1 du=n=+X∞1(−n1−)nα−1
=
par la mme démarche qu’au dessus.
Par suite
+∞(−1)nπ
Z0t1α+−1tdt= 1α+ 2αn+=X∞α2−n2sin(απ)
=
1

Exercice 16 :[énoncé]
a)bn= 0pourn>1etan= (−1)n−1π(2nαs2i−nαα2π)pourn∈N.
b) La série de Fourier defconverge normalement versfcar celle-ci est continue
etC1par morceaux. Par suite


nαπ
f(x sin) =παπα+n=+X1(−1)n−1π(2nαsi−α2) cos(nx)
2

01 +tn=0n+α
Puisque

on a aussi

On en tire

puis

Z+1∞t1α+−1tdtu==1tZ10uu−+α1 du
=X−
Z+1∞tα−1dt+∞n1(+)1(−nα)
1 +tn=0

1
Z+0∞tα−dt= 1α+n+X=∞0(n−)1+αn+n=+X∞1(−n1−)nα−1
1 +t

Z0+∞1tα+−1tdt=α 21 +α+X∞(n−21−)nα−21is(n=παπ)
n=1

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