Sujet : Analyse, Séries de Fourier, Noyau de Poisson

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Noyau de Poisson Exercice 4 Mines-Ponts MP [ 02887 ] [correction] Soient r∈ ]0,1[ et E l’espace des fonctions continues 2π-périodiques deR dansC. a) Montrer qu’il existe une fonction P ∈E telle que : pour tout f∈E et x∈R,rExercice 1 [ 03093 ] [correction] Z[Noyau de Poisson] πX 1|n| inxSoient r∈ [0,1[ et θ∈R. r c (f)e = f(t)P (x−t)dtn r 2π −πa) Calculer n∈Z +∞X inθ |n|e r b) Calculer Z π n=−∞ P (t)dtr −πb) Déterminer la série de Fourier trigonométrique de la fonction c) Calculer1 X f :t7→ |n| inxr 2 lim r c (f)en1−2rcost+r −r→1 n∈Z Exercice 2 [ 00963 ] [correction] a) Soit x∈ ]0,π[. Former le développement en série entière en 0 de Exercice 5 [ 03328 ] [correction] Pour r∈ ]0,1[, on définit la fonction k :R→R par 21−t t7→ 2 +∞1−2tcosx+t X pk(x) = 1+2 r cos(px) b) En déduire le développement en série de Fourier de p=1 cosα x7→ a) Montrer que la fonction k est définie et continue surR. 1−sinαcosx On note E l’espace des fonctions continues 2π-périodique. Pour f∈E, on pose pour α∈ ]−π/2,π/2[. Z 2π1 F(x) = k(x−t)f(t)dt 2π 0 Exercice 3 [ 03102 ] [correction] b) Exprimer F(x) à l’aide des coefficients de Fourier de f. Soit f :R→C une fonction 2π-périodique et continue de coefficients de Fourier En déduire que F est élément de E et exprimer ses coefficients de Fourier en exponentiels c , n∈Z.n fonction de ceux de f. a) Soit r∈ ]0,1[.
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Noyau de Poisson

Exercice 1[ 03093 ][correction]
[Noyau de Poisson]
Soientr∈[01[etθ∈R.
a) Calculer
+∞
Xeinθr|n|
n=−∞
b) Déterminer la série de Fourier trigonométrique de la fonction

1
fr:t7→1−2rcost+r2

Exercice 2[ 00963 ][correction]
a) Soitx∈]0 π[. Former le développement en série entière en 0 de

1−t2
t7→2
1−2tcosx+t

b) En déduire le développement en série de Fourier de

pourα∈]−π2 π2[.

cosα
x7→
1−sinαcosx

Exercice 3[ 03102 ][correction]
Soitf:R→Cune fonction2π-périodique et continue de coefficients de Fourier
exponentielscn,n∈Z.
a) Soitr∈]01[. Déterminer une fonctiongr:R→Cvérifiant
+∞1Z20πf(t)gr(t) dt
Xr|n|cn=2π
n=−∞

b) Montrer que la fonctiongrest à valeurs réelles positives.
c) On suppose
∀n∈Z cn∈R+
Montrer que la série de Fourier defconverge. Que vaut sa somme ?

Enoncés

1

Exercice 4Mines-Ponts MP[ 02887 ][correction]
Soientr∈]01[etEl’espace des fonctions continues2π-périodiques deRdansC.
a) Montrer qu’il existe une fonctionPr∈Etelle que : pour toutf∈Eetx∈R,
π
n∈XZr|n|cn(f)einx12=πZ−π
f(t)Pr(x−t) dt

b) Calculer

c) Calculer

Z−ππPr(t) dt

rl→i1mXr|n|cn(f)einx

n∈Z

Exercice 5[ 03328 ][correction]
Pourr∈]01[, on définit la fonctionk:R→Rpar

+∞
k(x) = 1 + 2Xrpcos(px)
p=1

a) Montrer que la fonctionkest définie et continue surR.
On noteEl’espace des fonctions continues2π-périodique. Pourf∈E, on pose
F(x21=)πZ02πk(x−t)f(t) dt

b) ExprimerF(x)à l’aide des coefficients de Fourier def.
En déduire queFest élément deEet exprimer ses coefficients de Fourier en
fonction de ceux def.

Exercice 6Centrale MP[ 03742 ][correction]
On note, pourk∈ {01},Skl’ensemble des fonctions continues surR,
2π-périodiques, à valeurs complexes telles quePnkcn(f)converge (où
n∈Z
(cn(f))n∈Zla suite des coefficients de Fourier dedésigne f).
On considèrefune fonction deS1,run réel tel que0< r <1et on définirfrpar
∀x∈R,fr(x) =Xcn(f)r|n|einx
n∈Z

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a) Calculer, pourx∈R,

et en déduire que

+∞
Xrnsin(nx)
n=1

+X∞rncos(nx)=−nl11−2rcos(x) +r2
n2
n=1

b) On pose
r2
Kr(t) =−21nl1−2r2(csot) +
Montrer qu’il existe une unique fonctionudansS0telle que, pour

Kr(x−t)u(t) dt=fr(x)
−π

toutx∈R

On déterminera les coefficients de Fourier deuen fonction de ceux defet on
vérifiera queuest indépendante der.
c) Vérifier que pourt∈]0 π[,
n1−2r2oc(st) +r26ln 2−2 ln|
l sint|

d) En déduire que
1−Z−ππ(x−t)u
limKr
r→

(t) dt=−12Z−ππln (1−cos(x−t))u(t) dt

e) Pourg∈S0, on définitϕ(g)par
∀x∈R,ϕ(g)(x) =Zπln (1−cos(x−t))g(t) dt
−π

Montrer queϕest un isomorphisme deS0surS1.
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Enoncés

2

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Corrections

Corrections

Exercice 3 :[énoncé]
a) Considérons la fonction

3

Exercice 1 :[énoncé]+∞+∞
a) On agr:t7→Xr|n|eint= 1 +Xrn(eint+ e−int)
n n n1 1 1−r2n=−∞n=1
k=X−eikθr|k|=−1+k=X0eikθrk+kX=0e−ikθrnk−→−−+−∞→1−reiθ+1−re−iθ−1 = 1−2rcosnPθou+israq2eilrésaleteutpemenParrnitesuvnocgersnédtcoinfilasérge,efonriedc,einfiédneibtseteenution2isπripé-astngrconverge
nrm odique.
b)ParcequiprécèdedDeegpul,sapltsercocnn(vge)rg=enrc|en|uriedeFornorm.ffiaturemr,elaepnocieffitsenelqucoes
+∞|n|eintOn arsoralson
fr(t) =X1r−r2
n=−∞
+∞
Puisque le iern1πcn(f)cn(gr) =Xcnr|n|
s sér sn>P11−r2etn>P11r−−rn2convergent, on peut affirmer que2πZ02f(t)gr(t) dt=n=+X∞−∞n=−∞
l’écriture précédente est le développement en série de Fourier defr.
On en déduit le développement en série de Fourier trigonométrique

fr(t 1 1) =+∞2ncos(nt)
−2+X1−rr2
r
n=1

Exercice 2 :[énoncé]
a)1−2t1c−ost2x+t2=−1 +1−t1eix+1−te1−ixdonc1−2tc1−ost2x+t2= 1 + 2+P∞1cos(nx)tn
n=
pour|t|<1.
2
b)cosα=+11−tt2etsinα=21+tt2avect= tanα2∈]−11[donc

cosα1−t2
=
1−sinαcosx1−2tcosx+t2

puis
+∞
1−nisocsααcosx= 1 + 2Xcos(nx) tannα
2
n=1
pourx∈]0 π[.
Par parité cette égalité vaut aussi pourx∈]−π0[. De plus par convergence
normale de la série et donc continuité des fonctions engagées cette égalité vaut
encore sur[−π π]puis surRpar périodicité.
Enfin la convergence normale de la série de fonctions permet aussi d’assurer qu’on
a bien affaire au développement en série de Fourier recherché.

b) Par sommation géométrique

+∞+∞+∞
gr(t) =Xr|n|e−int=X(re−it)n+X(reit)n1=−21rc−osrt2+r2
n=−∞n=0n=1

Il est alors immédiat d’affirmer quegrest à valeurs réelles positives.
c) On a
1
2πZ20πf(t)gr(t) dt621πZ02πkfk∞gr(t) dt=kfk∞c0(g) =kfk∞
La sériePcnune série à termes positifs. Pour toutest N∈N,

N N
Xcn= lri→m1Xcnrn
n=0n=0

Or
N+∞
Xcnrn6Xcnr|n|6kfk∞
n=0n=−∞
donc
N
Xcn6kfk∞
n=0
Puisque les sommes partielles de la sériePcnsont majorées et puisque celle-ci est
à termes positifs, on peut affirmer qu’elle converge. Il en est de mme pour la série
Pc−n.

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Corrections

Il est alors facile d’établir la convergence normale de la série de Fourier defet
donc sa convergence. De plus, lorsqu’une série de Fourier converge normalement,
elle converge aussi en norme quadratique et alors sa limite ne peut que la fonction
développée.

Exercice 4 :[énoncé]
a) On a
Xr|n|cn(f)einxf(t)r|n|ein(x−t)dt
=21πn∈XZZπ
n∈Z−π
La série des intégrales des valeurs absolues converge grâce au terme géométrique
r|n|, ceci permet d’échanger somme et intégrale afin d’affirmer
Xr|n|c
n(f)einx21=πZπf(t)Pr(x−t) dt
n∈Z−π

avec

Pr(u) =Xr|n|einu
n∈Z

On a
1 1−2
Pr(u) = 1−1rei+1−r−1 = 1−2rcosur+r2
ue−iu
doncPr∈E.
b) En permutant à nouveau somme et intégrale,R−ππPr(t) dt= 2πcar
Rπeintdt= 2πδ0n.
−π
c) Par translation et2π-périodicité,
nX∈Zr|n|cn(f)einx=12πZ−ππf(x−t)Pr(t) dt

donc

Xr|n|cn(f)einx−f(x)=12πZ−π(f(x−t)−f(x))Pr(t) dt
n∈Zπ

Pourε >0, l’uniforme continuité defsur[−π π]assure l’existence d’unδ >0
vérifiant :
|x−y|6δ⇒ |f(x)−f(y)|6ε

On a alors

δ
Z(f(x−t)−f(x))Pr(t) dt6εZ−δδPr(t) dt6ε
−δ

en ayant observéPr>0.
D’autre part,
π
Z(f(x−t)−f(x))Pr(t) dtr−→−1−−→0
δ
en vertu d’une convergence dominée par21(k−cfoks∞δ)2.
De mme
Z−−δπ(f(x−t)−f(x))Pr(t) dtr−→−1−−→0
Ainsi pourrassez proche de1−,

Finalement

Xr|n|cn(f)einx−f(x)63ε
n∈Z

rl→i1m−Xr
|n|cn(f)einx=f(x)
n∈Z

Exercice 5 :[énoncé]
a) Puisque
∀x∈R|rpcos(px)|6rp
et puisque la sériePrppeut affirmer que la fonction est définie etconverge, on
continue surRcar somme d’une série normalement convergente de fonctions
continues.
b) On a
F(x12)=Z2ππ1Z02pπ=+X∞1rpco
f(t) dt+ s(p(x−t))f(t) dt
π0

Puisque
∀t∈[02π]|rpcos(p(x−t))f(t)|6kfk∞rp
Par convergence normale d’une série de fonctions continues, on peut intégrer
terme à terme
F1
(x) = 2πZ20πf(t) dt+ 1πp+X=∞1Z20πrpcos(p(x−t))f(t) dt

En développant

cos(p(x−t)) = cos(px) cos(pt) + sin(px) sin(pt)

4

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on obtient

Corrections

F(x)a0(2f)++X∞rp(ap(f) cos(px) +bp(f) sin(px))
=
p=1
Puisque les suites(ap(f))et(bp(f))sont bornées, les sériesPrpap(f)et
Prpbp(f)sont absolument convergentes et on peut, par convergence normale,
reconnaître les coefficients de Fourier deFà partir de ce développement
trigonométrique

∀p∈N ap(F) =rpap(f)etbp(F) =rpbp(f)

Exercice 6 :[énoncé]
a) La série étudiée converge en tant que partie imaginaire d’une série géométrique
convergente que nous allons calculer. . .

+∞+∞ix
Xrneinx=Xreixn1=−rereixcarreix=r <1
n=1n=1

On en déduit
n)
n+X=∞1rsin(nx 1) =−2rrcos(sni(xx) +r2
En intégrant
Z0xn=+X∞1rnsin(nt) dt=Z0x1−2rr(nisoc(st))+rdt=112ln−2rcos(x) +r2
t2(1−r)2

Par une convergence normale justifiée via|rnsin(nx)|6rn, on peut intégrer
terme à terme
+∞rn(1−cos(nx))
Z0xn+X=∞1rnsin(nt) dt=n+X=∞1Z0nx=1
rnsin(nt) dt=Xn

On peut séparer la somme en deux par convergence des nouvelles sommes écrites

Z0x+X∞+∞n+∞cos(nx)nl1(−r)−+X∞cos(nxn)
rnsin(nt) dt=Xnr−Xn=−
n=1n=1n=1n=1

et l’on en déduit la relation demandée.

5

b) Puisquef∈ S1, on a|n|cn(f)n−→−−−→0et donc a fortioricn(f)−−−−→0. On
±∞n→±∞
a alors
cn(f)rneinx=|cn(f)rn|=o(rn)
Par convergence normale, on peut donc affirmer que la fonctionfrest bien
définie, continue et l’on peut calculer ses coefficients de Fourier

cn(fr) =cn(f)r|n|
Soituune fonction deS0. Par convergence normale, la fonctionuest continue.
Considérons la fonction2π-périodique (elle aussi continue par intégration sur un
segment) définie par
π
v:x7→Z−πKr(x−t)u(t) dt
Puisque
K(x−t ln 2 +) = 1Xr|n|ein(x−t)

r2n∈Z?2|n|
on obtient après une intégration terme à terme justifiée par convergence normale
n
v(x) =πln(2)c0(u) +X?π|nr|||cn(u)einx
n∈Z

Encore une fois par convergence normale, on peut calculer les coefficients de
Fourier devet l’on obtient

|n|
c0(v) =πln(2)c0(u)etcn(v) =π|nr|cn(u)

Les fonctionsfretvétant continues, leur égalité équivaut à l’égalité de leurs
coefficients de Fourier, ce qui donne

c0(u) =cπ0(nlf)2et∀n∈Z? cn(u) =|n|πcn(f)
On vérifie que la solutionuainsi déterminée est bien élément deS0carfest
élément deS1.
On vérifie aussi que cette fonctionune dépend pas du choix der∈]01[.
c) Puisque(cos(t)−r)2>0on obtient

1−2rcos(t) +r2>sin2t

et donc
n2s(t) +r2= ln 2−ln(1−2rcos(t) +r2)6ln 2−2 ln|sint|
l 1−2rco

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Ceci vaut pour toutt∈]0 π[mais aussi, plus généralement, pourt∈RπZ.
d) Pourtfixé avect∈2πZ
rl→im1−Kr(t) =−2l12−2cos(2t)=−1l2(n1−cos(t))
n

Par changement de variable
ZπKr(x−t)u(t) dt=Z−ππKr(t)u(x−t) dt
−π

On découpe en deux
Z−ππKr(t)u(x−t) dt=Z−0πKr(t)u(x−t) dt+ZπKr(t)u(x−t) dt
0

Pourtfixé dans]0 π[

rl→im1−Kr(t)u(x−t) =−2(11−cos(t))u(x−t)
ln

Corrections

et
|Kr(t)u(x−t)|= (ln 2−2 ln|sint|) sup|u(x)|=ϕ(t)
x∈R
On vérifie que la fonctionϕest intégrable et on peut justifier par convergence
dominée
Z0πKr(t)u(x−t) dt=−12Z0πln (1−cos(t))u(x−t) dt
On fait de mme avec l’autre intégrale, on raccorde les deux et on réalise le
changement de variable inverse du précédent pour obtenir
rli→m1−Z−ππKr(x−t)u(t) dt=−21Zπ
ln (1−cos(x−t))u(t) dt
−π

e) Soitf∈S1. Fixonsx∈Ret considérons

un(r) =cn(f)r|n|einx

Il y a convergence normale de la série des fonctionsr7→un(r)car

et

|un(r)|6|cn(f)|avecf∈S1

rl→i1m−un(r) =cn(f)einx

On en déduit

Soit de plusu∈S0telle que

li1m−fr(x) =f(x)
r→

c0(u) =c0(f)et∀n∈
πln 2Z? cn(u) =|n|πcn(f)

Le résultat de la question d) donne

ϕ(u)(x) = lim1−fr(x) =f(x)
r→

Inversement, soitu∈S0etfdéterminée de sorte que

c0(u) =πc0nl(f2)et∀n∈Z? cn(u) =|n|πcn(f)

La fonctionfest dansS1et par ce qui est dit ci-dessus

ϕ(u)(x) =f(x)

6

On en déduit que la fonctionϕest bien définie deS0dansS1, elle est évidemment
linéaire mais aussi injective et surjective en vertu des affirmations qui précèdent.
En fait, la fonctionϕassocie à une fonctionu∈S0la fonctionf∈S1déterminée
par les coefficients de Fourier

πcn(u)
c0(f) =πln 2c0(u)et∀n∈Z? cn(f) =n|
|

et, en ce sens, c’est évidemment un isomorphisme.

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