Sujet : Analyse, Séries entières, Développement en séries entières

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Développement en séries entières Exercice 6 [ 00991 ] [correction] Pour α∈ ]0,π[, former le développement en série entière en 0 de la fonction Exercice 1 [ 00986 ] [correction] 1+x α Former le développement en série entière en 0 de la fonction f :x7→ arctan tan 1−x 2 2x7→ ln(x −5x+6) Exercice 7 Centrale MP [ 00995 ] [correction] R+∞ dtRéaliser le développement en série entière en 0 de x7→ et reconnaîtreExercice 2 [ 00987 ] [correction] 2 2t +x1 cette fonction.Former le développement en série entière en 0 de la fonction 2x7→ ln(x +x+1) Exercice 8 [ 00937 ] [correction] Former le développement en série entière en 0 de Exercice 3 [ 00988 ] [correction] Z +∞Soient a,b> 0 avec a =b. 2−tx7→ e sin(tx)dtCalculer c , le n-ièmeème coefficient du développement en série entière en 0 den 0 1 a) en procédant à une intégration terme à terme.x7→ (1−ax)(1−bx) b) en déterminant une équation différentielle dont la fonction est solution.
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Développement en séries entières

Exercice 1[ 00986 ][correction]
Former le développement en série entière en 0 de la fonction

x7→ln(x2−5x+ 6)

Exercice 2[ 00987 ][correction]
Former le développement en série entière en 0 de la fonction

x7→ln(x2+x+ 1)

Exercice 3[ 00988 ][correction]
Soient >a b0aveca6=b.
Calculercn, len-ièmeème coefficient du développement en série entière en 0 de

Exprimer

1
x7→(1−ax)(1−bx)

+∞
Xc2nxn
n=0

Exercice 4[ 00989 ][correction]
Pourt∈]0 π[, former le développement en série entière en 0 de la fonction

1−x2
x7→2
1−2xcost+x

Exercice 5[ 00990 ][correction]
Former le développement en série entière de

pour|z|<1ett∈]0 π[.

1−zcost
1−2zcost+z2

Enoncés

Exercice 6[ 00991 ][correction]
Pourα∈]0 π[, former le développement en série entière en 0 de la fonction
f:x7→arctan11−+xxt2naα

Exercice 7Centrale MP[ 00995 ][correction]
Réaliser le développement en série entière en 0 dex7→R+1∞t2d+tx2
cette fonction.

Exercice 8[ 00937 ][correction]
Former le développement en série entière en 0 de
x7→Z+∞e−t2sin(tx) dt
0

et reconnaître

a) en procédant à une intégration terme à terme.
b) en déterminant une équation différentielle dont la fonction est solution.

Exercice 9Mines-Ponts MP[ 02848 ][correction]
Pourx∈]−11[etα∈R, établir

n=+X∞1nxnsin(nα) = arctanxsinαα
1−xcos

Exercice 10Mines-Ponts MP[ 02857 ][correction]
Développer en série entière

x7→Z−x∞1 +tdt+t2

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02858 ][correction]
Développer en série entièref:x7→px+√1 +x2au voisinage de 0.

1

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Exercice 12Mines-Ponts MP[ 02859 ][correction]
a) Montrer, sit∈R:
n(it)k6(|tn|+n+11)!
eit−Xk!
k=0
b) Soitf∈ C0(RR)telle queR−+∞∞|tn| |f(t)|dtn>0soit bornée.
Montrer queF:x7→R−+∞∞eitxf(t)est développable en série entière en 0.

Enoncés

Exercice 13X MP[ 02975 ][correction]
Etant donné une suite complexe(an)n∈N?de carré sommable, on pose

f(t) =Xna−nt
n=1
où la variabletest réelle.
a) Préciser le domaine de définition def.
b) Montrer quefest développable en série entière autour de 0.
c) Montrer que sifest identiquement nulle sur[−1212], la suite(an)n∈N?est
identiquement nulle.

Exercice 14[ 03346 ][correction]
[Développement en série entière de la fonction tangente]
Soit(an)n∈Nla suite réelle déterminée par les conditions
n
a0= 1et∀n>1 an+Xank!−k= 0
k=0
a) Calculera1 a2 a3.
b) Montrer que le rayon de convergenceRde la série entièrePanznest au moins
égal à 1.
c) Etablir que pour tout|z|< R,

+X∞anzn= 2
=0ez+ 1
n
d) En déduire que pour toutx∈]−R2 R2[,

e) Etablir

+∞
tanx=X(−1)p+1a2p+122p+1x2p+1
p=0

R=π

Exercice 15[ 03485 ][correction]
Former le développement en série entière de
f:x7→r11+−xx

Exercice 16CCP MP[ 03707 ][correction]
a) Pour quel réelx, l’intégrale suivante existe-t-elle
+∞
Z0x+dtet?

b) Donner alors sa valeur.
c) Montrer que
f(x) =Z+∞dt
0x+ et
est développable en série entière et exprimer ce développement.
Exercice 17CCP MP[ 00078 ][correction]
Soientx∈Retθ∈]0 π2[.
a) Calculer la partie imaginaire du complexe

sinθeiθ
1−xsinθeiθ

b) En déduire le développement en série entière de
f(x) = arctanx−nta1θ

Exercice 18CCP MP[ 02512 ][correction]
a) Quel est le domaine de définition de

S(x) =+X∞an
n
n=0x+

poura∈]−11[?
b) Déterminer la limite et un équivalent deSen+∞.
c) Développer en série entière
S(x)−1x

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Exercice 19CCP MP
Montrer que

[ 02525 ][correction]

f(x) = arctan(1 +x)

est développable en série entière au voisinage de 0 et donner son rayon de
convergence. Calculer cette série entière.

Exercice 20CCP MP[ 02506 ][correction]
Soita∈]−11[. On pose
+∞
f(x) =Xsin(anx)
n=0
a) Montrer quefest définie surR.
b) Montrer quefest de classeC∞et que pour toutk∈Net toutx∈R,

f(k)(x) 1|
61− |a

c) Montrer quefest développable en série entière.

Enoncés

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
En dérivant et en décomposant en éléments simples
(ln(x2−5x+ 6))0=(x−22x)(−x5−3) =x1−2 +x−=31−121−1x2−131−1x3

donc
−5x+ 6) = ln 6−n+X=∞1n31nxn
ln(x2211n+
avec un rayon de convergenceR= 2.
On peut aussi trouver ce développement en série entière en factorisant

ln(x2−5x+ 6) = ln(2−x) + ln(3−x)

Exercice 2 :[énoncé]
On peut écrire
ln(1−x3) = ln(1−x) + ln(1 +x+x2)

donc sur]−11[,

avec

+∞+∞
ln(1 +x+x2) =−+X∞1n x3n+Xn1xn=Xanxn
n=1n=1n=1

1
an= 1nsi[3]n+13n=−23n
n6= 0eta3n=−

Exercice 3 :[énoncé]
Par décomposition en éléments simples

(1−1a(a−b)+b(1b−ab)+∞bn+1−an+1n
ax)(1−bx) = 1−ax−xXb−a x
=
n=0

avecR= min (1a1b).
On a alors

+∞+∞
n=X0c2nxn(=b−1a)2X=0(b2n+2−2an+1bn+1+a2n+2)xn
n

4

donc
2ab a2bx
n=+X∞0c2nxn=(b−1a)21−b2b2x−1−abx+1−a2x1(=−a2x11)+(−xaba)(1−b2x)

Exercice 4 :[énoncé]
Par décomposition en éléments simples

donc

1−x21 1
1−2xcost+x2=− 11 +−xeit+1−xe−it

pour toutx∈]−11[.

1−x2 +∞
1−2xcost+x2= 1 + 2Xcos(nt)xn
n=1

Exercice 5 :[énoncé]
Par décomposition en éléments simples
1−zcost
1−2zcost+z212=1−(e1itz+)1−1e(−itz)

donc

puis

1−12z−czoscot+szt21=2+X∞(eint+ e−int)zn
n=0

+∞
1−12z−czscoot+szt2=Xcos(nt)zn
n=0

Exercice 6 :[énoncé]
En dérivant
f0(x) = (1−x)2tan(1+2+2αx)2tan22α
Par les formules de trigonométrie relatives à la tangente de l’angle moitié

f0(x) = 1−2xsisocnαα+x2

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Par décomposition en éléments simple
f0(x21==)ix−e1iα−x−e1−iα

Pourx∈]−11[, on obtient
f0(x2)=1in+=X∞0ei(n+1)αxn−n+X=∞0e−i(n+1)αxn!=n+X=∞xnsin(n+ 1)α
0

Enfin, en intégrant ce développement en série entière sur]−11[,

f(x) =+∞sin(nα)xn
2α+Xn
n=1

Corrections

Exercice 7 :[énoncé]
+∞
R+1∞t2d+tx2u==1tR110d+(uux)2=R01n=P0(−1)nu2nx2ndu. Pour|x|<1, il y a
arctanx
+∞(2−n1)+1nx2n=x
convergence normale pouru∈[01]doncR1+∞t2d+tx2=n=P0
.

Exercice 8 :[énoncé]
a) On a
sin(tx) =+X∞(−1)k)!t2k+1x2k+1
k=0(2k+ 1
A l’aide d’intégration par parties
Z+0∞t2k+1e−t2=k2!

Or
Z+0∞2((k−1+)1k)!t2k+1x2k+1dt62(2kk1+!)!|x|2k+1
qui est terme général d’une série convergente.
On peut donc appliquer le théorème d’intégration terme à terme de Fubini et
affirmer

Z+0∞et2sin(tx) dt=k+X=∞0(22(−k1)+kk!)1!x2k+1

pour toutx∈R.
2
b) La fonctiont7→e−tsin(tx)est continue et intégrable surR+et
ddxe−t2sin(tx)6te−t2

avect7→te−t2intégrable surR+.
La fonction
→Z+0∞e−t
f:x72(t) dt
sinx

est de classeC1et
x)+∞tet2cos(tx) d
f0( =Z0t

A l’aide d’une intégration par parties
f0(x12)=−21xf(x)
et ainsifest solution surRde l’équation différentielle

2y0+xy= 1

5

De plusfvérifie la condition initialef(0) = 0.
Si une somme de série entière est solution de l’équation différentielle2y0+xy= 1
et vérifianty(0) = 0, c’est, après calculs, la fonction

+∞
g:x7→X2(−1)kk!
k=0(2k+ 1)!x2k+1

de rayon de convergenceR= +∞.
Puisquefetgsont solutions surRà l’équation différentielle linéaire2y0+xy= 1
vérifiant la condition initialey(0) = 0et puisque le théorème de Cauchy assure
l’unicité d’une solution à un tel problème, on peut identifierfetg.
Finalement
+∞−1)kk!k+1
f(x) =kX=02(2(k+ 1)!x2
pour toutx∈R.

Exercice 9 :[énoncé]
Pour|x|<1
ddxarctan1−xsxincoαsα=1−2xnsiscoαα
+x2

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Corrections

Après décomposition en éléments simples
inα1
ddxarctan1−xsxcosα2i1−eixαeiα−1−e−xieα−iα=n+X=∞1sin(nα)xn−1
=
Par intégration de série entière, on obtient la relation proposée.

Exercice 10 :[énoncé]
Posons

fest dérivable et

f(x) =Z−x∞1 +tdt+t2

f0(x + 1) =x+1x2

Pour|x|<1,

f0(x=)11−xx3= (1−x)+X∞x3n=+X∞anxn
n=0n=0
aveca3n= 1,a3n+1=−1eta3n+2= 0.
En intégrant,
+∞
f(x) =f(0) +Xanxn+1
n=0n+ 1
avec
f(0) =Z−0∞1 +tdt+t2
Après calculs
f(0)=43√π3

Exercice 11 :[énoncé]
La fonctionfest de classeC∞sur un voisinage de 0 avec

ce qui donne

f0(x) = 2√11+x2f(x)

f00(x 2(1 +) =−xx2)32f(x) + 2√+11x2f0(x)

(1 +x2)f00(x) +xf0(x)−14f(x) = 0

La démarche classique donne

1 (2n+ 1)(2n−1)
an+2=−4 (n+ 2)(n+ 1)an

aveca0= 1eta1= 12.
En exploitant la relation de récurrence, on obtient
(−1)p(4p−2)!)!etap+1= (−241p)p(4p−1)!
a2p2=4p−1((2p)!)((2p−1)2(2p+ 1)!(2p−1)!

6

Exercice 12 :[énoncé]
a) Appliquer l’inégalité de Taylor-Lagrange à la fonctiont7→eitqui est de classe
Cn+1surR.
b) La convergence de l’intégrale définissantFprovient de la convergence supposée
deR−+∞∞|f(t)|dt.
On a
F(x) =Z−+∞∞nkX=0(xkit!)kf(t) dt+Z−+∞∞eitx−k=Xn0(ktxi!)k!f(t) dt
avec
Z+∞n(itx)kf(t) dt=XnZ+∞(it)kk!f(t)dtxk
Xk!

et

−∞k=0k=0−∞

Z−+∞∞eitx−k=nX0(kxti!)k!f(t) dt6(n+11!)Z−+∞∞|t|n+1|f(t)|dt→0

compte tenu des hypothèses.
On peut alors affirmer
F(x) =k=+X∞0Z−+∞∞(tik!)kf(t) dtxk

avec convergence surRde la série entière considérée.

Exercice 13 :[énoncé]
a) Pourt∈RN?,

na−nt12a2n(+n−1t)2
6

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doncPna−ntest absolument convergente. La fonctionfest définie surRN?.
b) Pour|t|<1,
f(t) =+X∞ann1+X∞+X∞nanmt+m1
=
n=11−tnn=1m=0
m
Puisque la sérieP|namnt+1|converge pour toutn>1et puisque
m>0

nX>1m+X=∞0|annmt+m1|=Xn|a−n||t|
n>1

Corrections

converge, peut appliquer le théorème de Fubini pour intervertir les deux sommes.
f(t) =m+X=∞0n+X=∞1annm+1!tm

La fonctionfapparaît alors comme développable en série entière sur]−11[.
c) Sif(t) = 0sur[−1212]alors le développement en série entière defsur
]−11[est nul et on en déduit quefest nulle sur]−11[.
Or
+∞
f(t) = 1a−1t+Xna−nt
n=2
+∞
avect7→Pna−ntde 1. On en déduit quedéfinie et continue au voisinage a1= 0.
n=2
On peut alors reprendre l’étude du b) et, sachanta1= 0, on peut affirmer quef
est développable en série entière sur]−22[. Or ce dernier développement étant
nul, on obtient comme ci-dessusa2= 0etc.
Au final, la suite(an)n∈N?est nulle.

Exercice 14 :[énoncé]
a)2a1+a0= 0donnea1=−12.
2a2+a1+a02 = 0donnea2= 0.
2a3+a2+a12 +a06 = 0donnea3= 124.
b) Par récurrence, on montre

en exploitant

∀n∈N|an|61

n
2an=−Xank!−k
k=1

qui donne
nXe1−162
2|an|6k!6
k=1
On en déduit que le rayon de convergenceRest au moins égal à 1.
c) Par produit de Cauchy de séries absolument convergentes, on obtient
+∞+∞n
(1 + ez)Xanzn=Xan+
n=0n=0k=X0ank−!k!zn= 1
d) Pourx∈]−R2 R2[, on a|2ix|< Ret
tanx=iee(xixi−+ee−−ixix=1)i1−e2ix1+2=−i1n+X=∞1an(2ix)n

Puisque la fonctiontanà valeur réelles, on peut affirmerest

∀p∈N? a2p= 0

7

et donc
+∞
tanx=X(−1)p+1a2p+122p+1x2p+1
p=0
e) Puisque la fonction tangente ne peut tre prolongée par continuité enπ2, on a
assurémentR6π.
Par récurrence, on montre que les dérivées successives de la fonction tangente sont
des polynômes à coefficients positifs de la fonction tangente. On en déduit

∀n∈N∀x∈[0 π2[(tan)(n)(x)>0

Les coefficients du développement en série entière de la fonction tangente sont
ceux de sa série de Taylor

∀p∈N a2p+122p+1(−1)p+1)(tan2(=(p2p++11)())0>0

La formule de Taylor avec reste-intégrale donne alors
X(−1)p+1a2p+p+1+
∀x∈[0 π2[tanx=n122p+1x2Zx(x(2−nt+)21n)+1(tan)(2n+2)(t) dt
p=0 0

et puisque le reste-intégrale est positif, on obtient

n
X(−1)p+1a2p+122p+1x2p+16tanx
p=0

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Corrections

Ainsi, la série à termes positifsP(−1)p+1a2p+122p+1x2p+1converge pour tout
x∈[0 π2[de convergence de cette série entière est au. On en déduit que le rayon
moins égal àπ2puis que le rayon de convergence dePa2p+1x2p+1, qui est aussi
celui dePanxn, est au moins égal àπ.
FinalementR=π.

Exercice 15 :[énoncé]
La fonctionfest définie sur]−11[et

f(x) = (√11+−x)2
x

Pour|x|<1, on a

= (1 +u)
√1−x2
avecu=−x2∈]−11[etα=−12donc

puis

2n)!n
√11−x2=n=+X∞022(n(n!)2x2

+∞n)!
f(x) =nX=022(n(2n!)2(x2n+x2n+1)

Exercice 16 :[énoncé]
a) Six >−1, la fonctiont7→1(x+ et)est définie et continue par morceaux sur
[0+∞[et intégrable car
t2(x+ et)t−→−−+−∞→0
Six=−1, la fonctiont7→1(x+ et)n’est pas définie en 0 et

1 1

et−1t→0+t

La fonction n’est donc pas intégrable et, puisque elle est positive, son intégrale
diverge.
Six <−1, la fonctiont7→1(x+ et)n’est pas définie ent0= ln(−x)∈]0+∞[.
Par dérivabilité ent0, on obtient

1 1 1
=∼
et+xet−et0t→t0(t−t0)et0

et encore une fois l’intégrale diverge.
b) Pourx= 0
Z+0∞dt=Z+0∞e−tdt= 1
x+ et
Pourx6= 0, posons le changement de variableu= etqui définit une bijection de
classeC1
Z0+∞x+dtetZ+∞u(xd+uu)
=
1
Par décomposition en éléments simples
Z+0∞xd+t=Z+1∞1xu−x+1uxdu
et

et finalement

c) Pourx∈]−11[, on a

On en déduit

Z+∞dtt= ln(1x+x)
0x+ e

+x) =+X∞(−1)n−1
ln(1xn
n
n=1

+∞( 1)n
f(x) =Xn−xn
1
n=0+

8

Exercice 17 :[énoncé]
a) Pourx∈R, on peut affirmerxsinθeiθ6= 1et par multiplication par la quantité
conjuguée
sinθeiθsinθeiθ(1−xsinθe−iθ)
=
1−xsinθeiθ|1−xsinθeiθ|2
On en déduit

Im1−sixnsθeiniθθeiθ=1−2xsinθsocsin2θθ+x2sin2θ

b) La fonctionfest définie et de classeC∞surRet, après calculs

f0( ) sinθinsoc2sθθ+x2sin2θ
x=
1−2x

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Pour|xsinθ|<1, on a

sinθiθ+∞+∞nθ)n+1ei(n+1)θxn
1−xsienθeiθ= sinθeiθX(xsinθeiθ)n=X(si
n=0n=0
On en déduit
+∞
X

f0(x (sin) =θ)n+1sin ((n+ 1)θ)xn
n=0

puis, par intégration de développement en série entière,
f(x) =f(0) ++X∞(sinθ)nnsin(nθ)xn
n=1
avec
f(0) =−arctan1ntaθ (tan(= arctanθ−π2)) =θ−π2
carθ−π2∈]−π2 π2[.

Corrections

Exercice 18 :[énoncé]
a)Sest définie surRZ−.
b) Par convergence normale sur[1+∞[, on peut intervertir limites et sommes
infinies pour justifier,
+∞
xl→i+m∞S(x) =X0 = 0
n=0
et
+X∞1

de sorte que

c) Pour|x|<1;

limxS(x=an=
x→+∞1)−a
n=0

S(x)∼(1−1a)x

1+∞xnn=+∞+X∞n
S(x)−x=Xa
n=1+n=X1m=0(−1)manm+1xm
+∞
OrP(−1)m nanm+1xmconverge etP P(−1)m nanm+1xmconverge. Par le
m=0
théorème de Fubini, on peut permuter les sommes infinies et affirmer
+
S(x)−1x=m+X=∞0(−1)mnX=∞1anmn+1!xm

Exercice 19 :[énoncé]
La fonctionfest dérivable et

f0(x=)111++(x)2=x22+1x+ 2

est une fraction rationnelle dont 0 n’est pas pôle. La fonctionf0puisfsont
développables en série entière et les rayons de convergence des séries entières
correspondantes sont égaux.
1 12i
x2+ 2x+ 2x+ 1−i x1+21i+iRex+−1i−i=Imx1+1−i
=−=

avec
1 1 1+∞(−1
=
x+ 1−i1−i1 +1x−i=n=X0(1−i))nn+1xn
avec un rayon de convergenceR=√2.
Comme1−i=√2e−iπ4on a

puis

avecR=√2.

∞(3n+1)π
x212+x =+ 2n=+X0soc2(n)+142xn

n+1)π
f(x) = 4π+n+=X∞0(n1+cos()324(n+1)2xn+1

9

Exercice 20 :[énoncé]
a)|sin(anx)|6|x| |an|a donc convergence absolue de la série définissant, il y f(x).
b)fn:x7→sin(anx)estC∞etfn(k)∞6|a|nkterme général d’une série
absolument convergente doncfest de classeC∞et

+∞
f(k)6X|a|n1 1
∞n=0k1=− |a|k61− |a|

c) Par la formule de Taylor-Laplace,
n
f(x) =Xf(k)(0)xf(n+1)(t) dt
k=0k!xk+Z0(nx−!t)n

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Corrections

avec
x(n+1)(t) dt61
Z0(x−n!t)nf1− |a|(xnn++11)!→0
Ainsi la série de Taylor defconverge surRversfet doncfest développable en
série entière.

10

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