Sujet : Analyse, Séries entières, Etude de la somme d'une série entière

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Etude de la somme d’une série entière Exercice 5 [ 00984 ] [correction] +∞P nSoit S(x) = a x de rayon de convergence R> 0.n Exercice 1 [ 00980 ] [correction] n=0 P n On suppose qu’il existe α> 0 tel que sur [0,α] on ait S(x) = 0.Soit a z une série entière de rayon de convergence R> 0 et de somme f.n +∞ Montrer que S = 0.P 2na) Exprimer a z en fonction de f pour|z| 0 et de somme f(z).nb) Pour tout x∈ ]−1,1[, exprimer g(x) en fonction de f(x). n=0 a) Montrer que pour 00 n>0 former une relation entre leur somme. Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 02856 ] [correction] Soient B ={z∈C,|z|6 1} et f une fonction continue de B dansC dont la ◦restriction à B est somme d’une série entière. Montrer qu’il existe une suite Exercice 4 [ 00983 ] [correction] (P ) de polynôme convergeant uniformément vers f sur B.k k>0 ?Soit (a ) une suite non nulle et T périodique (avec T∈N ).n P na) Déterminer le rayon de convergence de la série entière a x .n n>0 Exercice 9 [ 03067 ] [correction] nT−1 +∞P P k n Soit (u ) une suite réelle bornée et pour n∈Nnb) Simplifier a x . En déduire que a x est, pour tout x∈ ]−1,1[, unek n k=0 n=0 nXfraction rationnelle en x. S = un k k=0 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.
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Etude de la somme d’une série entière

Exercice 1[ 00980 ][correction]
SoitPanznune série entière de rayon de convergenceR >0et de sommef.
+∞
a) ExprimerPa2nz2nen fonction defpour|z|< R.
n=0
+∞
b) Mme question avecPa3nz3n.
n=0

Exercice 2[ 00981 ][correction]
+∞
Soitf(x) =Panxnla somme d’une série entière de rayon de convergence 1.
n=0
On pose pour toutn∈N

n+∞
Sn=Xaketg(x) =XSnxn
k=0n=0

a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissantg.
b) Pour toutx∈]−11[, exprimerg(x)en fonction def(x).

Enoncés

Exercice 3[ 00982 ][correction]
n
Soit(an)une suite de réels strictement positifs. On poseSn=Paket on suppose
k=0

Sn→+∞etanSn→0
Déterminer le rayon de convergence des séries entièresPanxnetPSnxnpuis
n>0n>0
former une relation entre leur somme.

Exercice 4[ 00983 ][correction]
Soit(an)une suite non nulle etTpériodique (avecT∈N?).
a) Déterminer le rayon de convergence de la série entièrePanxn.
n>0
nT−1 +∞
b) SimplifierPakxk. En déduire quePanxnest, pour toutx∈]−11[, une
k=0n=0
fraction rationnelle enx.

Exercice 5[ 00984 ][correction]
+∞
SoitS(x) =Panxnde rayon de convergenceR >0.
n=0
On suppose qu’il existeα >0tel que sur[0 α]on aitS(x) = 0.
Montrer queS= 0.

Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02844 ][correction]
a) Soit(an)une suite complexe. On suppose quePanxna pour rayon de
convergenceR. Déterminer les rayons de convergence de
anlnn)xnetanX
X(Xkn=1k1!xn

+∞
b) Donner un équivalent simple dePlnn xnquandx→1−.
n=1

1

Exercice 7Mines-Ponts MP[ 02854 ][correction]

Soit une série entièrePanznde rayon de convergenceR >0et de sommef(z).
n=0
a) Montrer que pour0< r < R,
2
nX∞=0|an|r2n=12πZ20πf(reiθ)2dθ
b) Que dire defsi|f| ?admet un maximum local en 0
c) On suppose maintenant queR= +∞et qu’il existeP∈RN[X]tel que
|f(z)|6P(|z|)pour toutzcomplexe. Montrer quef∈CN[X].

Exercice 8Mines-Ponts MP[ 02856 ][correction]
SoientB={z∈C|z|61}etfune fonction continue deBdansCdont la
restriction àB◦série entière. Montrer qu’il existe une suiteest somme d’une
(Pk)k>0de polynôme convergeant uniformément versfsurB.

Exercice 9[ 03067 ][correction]
Soit(un)une suite réelle bornée et pourn∈N

n
Sn=Xuk
k=0

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Enoncés

a) Quels sont les rayons de convergence des séries entières
Xun!nxnetXnS!nxn?
b) On noteuetSleurs sommes respectives. Former une relation entreS S0etu0.
c) On suppose que la suite(Sn)converge vers un réel`. Déterminer
limS
x→+∞e−x(x)
d) Dans cette question, on choisitun= (−1)n. Déterminer
lim e−xS
x→+∞(x)

Exercice 10Centrale PC[ 03201 ][correction]
Soit
n+=X∞1sin√1n
f:x7→xn
a) Déterminer le rayon de convergenceRde la série entière définissantf.
b) Etudier la convergence en−Ret enR.
c) Déterminer la limite def(x)quandx→1−.
d) Montrer que quandx→1−

(1−x)f(x)→0

Exercice 11[ 03653 ][correction]
Pourxréel, on pose
+∞
f(x) =Xx√nn
n=1
a) Déterminer le rayon de convergenceRde la série entière définissantf.
b) Etudier la convergence de la série entière en 1 et en−1.
c) Etablir la continuité defen−1.
d) Déterminer la limite defen 1.

Exercice 12[ 03663 ][correction]
On pose

=+∞ets(z) =+X∞(−1)n!z2n+1
∀z∈C c(z)nX=0((−2n!)1)nz2nn=0(2n+ 1)
Montrer que
∀z∈C c(z)2+s(z)2= 1

Exercice 13Mines-Ponts MP[ 03747 ][correction]
a) Donner l’ensemble de définition de

f(x) =n=+X∞1ln1 +n1xn
b) Calculerf(−1)etR10(−1)Ex(1x)dxoùEest la fonction partie entière.
c) Donner un équivalent defenx= 1

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
+∞+∞
a)12(f(z) +f(−z)) =21Pan(zn+ (−1)nzn) =Pa2pz2p.
n=0p=0
+∞+∞
b)13f(z) +f(jz) +f(j2z)=31Pan1 +jn+j2nzn=Pa3pz3p.
n=0p=0

Exercice 2 :[énoncé]
a) NotonsRle rayon de convergence deg.
Pourx∈]0 R[,PSnxnest absolument convergente donc la série de terme
n>0
général
anxn=Snxn−xSn−1xn−1
l’est aussi et doncx61. Par suiteR61.
Pourx∈]01[,
n
|Snxn|6X|ak|xk
 
k=0
orPakxkest absolument convergente donc(Snxn)est bornée.
k>0
Par suitex6Ret donc16R. FinalementR= 1.
b)

Corrections

N+1N+1N+1N
∀x∈]−11[,Xanxn=XSnxn−xXSn−1xn−1=SN+1xN+1+(1−x)XSnxn
n=0n=0n=1n=0

A la limite quandN→+∞, on obtientf(x) = (1−x)g(x)et donc

g(x) = 1f(−x)x

Exercice 3 :[énoncé]
PuisqueSn→+∞, on aRa61.
Commean6Sn, on a aussiRa>Rs.
EnfinSnSn+1= 1−an+1Sn+1→1permet par la règle de d’Alembert d’obtenir
Rs1.
=
On conclutRa=Rs= 1.

Pour|x|<1,

+∞+∞n+∞anxn+X∞1+∞
XSnxn=X Xakxkxn−kXxn=1−xXanxn
=
n=0n=0k=0n=0n=0n=0

Exercice 4 :[énoncé]
a)an=O(1)doncR>1.an6 →0doncR61et ainsiR= 1.
b) En réorganisant les termes sommés
nT−1
Xakxk=TX−1nX−1apT+kxpT+k=TX−1akxk11−−xxTnT
k=0k=0p=0k=0

et donc

+∞1T−1
Xanxn1=−xTXakxk
n=0k=0

Exercice 5 :[énoncé]
On aaS(n)(0)
n=n!= 0compte tenu de l’hypothèse. On peut conclure queS= 0.

3

Exercice 6 :[énoncé]
a) On sait quePanxnetPnanxnont le mme rayon de convergenceR. Puisque
an=o(anlnn)etanlnn=o(nan)on peut affirmer queP(anlnn)xna aussi
aP
pour rayon de convergenceR. De plusakn=nP1k1∼anlnndoncP kn=n11kxn
est encore de rayon de convergenceR.
b) Notons quePlnn xna pour rayon de convergenceR= 1. On sait
n n
P1k= lnn+γ+o(1)donclnn−Pk1est borné par un certainM.
k=1k=1
Par suite
+∞+∞n
Xlnn xn−X Xk1xn6n+=X∞1M xn=1M−xx=O11−x
n=1n=1k=1
quandx→1−.
Or par produit de Cauchy

+∞n1n
X Xk x=−11ln(−−xx)
n=1k=1

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donc

+∞ln(1−x)
Xlnn xn∼ −
n=1x→1−1−x

Exercice 7 :[énoncé]
a) Pour0< r < R, il y a absolument convergence dePanrn. On a

+∞+∞
f(reiθ)2=XanrneinθXanrne−inθ
n=0n=0

Par produit de Cauchy de séries absolument convergentes, on obtient

Corrections

+∞n
f(reiθ)2=X Xakan−kei(2k−n)θrn
n=0k=0
PuisqueP|anrn|etP|anrn|sont absolument convergentes, par produit de
n
Cauchy, on peut affirmer queP P|ak| |an−k|rnconverge. On en déduit que la
k=0
n
série des fonctions continuesθ7→Pakan−kei(2k−n)θrnest normalement
k=0
convergente et donc on peut permuter somme et intégration :
Z20πf(reiθ)2dθ=n=+X∞0Z20πkXn=0akan−kei(2k−n)θrndθ
OrR20πeipθdθ= 0pour toutp∈Z?donc, après simplification des termes nuls,
21πZ2π2dθ=m+X=∞0|am|2r2m
f(reiθ)
0

b) Pour0< r < Rsuffisamment petit
n+=X∞1|an|2r2n=n=X∞0|an|r2n− |a0|212=πZ2πf(reiθ)2− |f(0)|2dθ
0

Par intégration, d’une fonction négative, on obtient+P∞|an|2r2n60. Or il s’agit
n=1
d’une somme de termes positifs, ils sont donc tous nuls et on en déduit

∀n∈N? an= 0

4

La fonctionfest alors constante.
c) Posons
N
fN(z) =Xanzn
n=0
Pour toutr >0,
+∞N
n=+XN∞+1n=0n=0an|2r2n=πZ20π
|an|2r2n=X|an|2r2n−X|21f(reiθ)−fN(reiθ)2dθ
Pourp>N+ 1, on obtient
+∞
X1|an|2rr22np1=2πZ20πf(reiθ)−r2fNp(reiθ)2dθ
n=N+

Or
20|an|rn2O(r2N)
06Z0πf(reiθ)−r2fNp(reiθ)2dθ62π(P(r))2+r2np=PNr2p
=
donc
1Z2πf(reiθ)−f(reiθ)2

Pourp=N+ 1,

avec


2π r2Npdθ−−−−0
0r→+∞

+X∞|an|2rr22np=|aN+1|2++X∞|an|2r2(n−N−1)
n=N+1n=N+2

06X1)6
+∞|an|2r2(n−N−r1+2X∞|an|2r−→−+−−∞→0
n=N+2n=N+2
On en déduitaN+1= 0puis, en reprenant la démarche avecp=N+ 2   , on
obtient successivementaN+2= 0   et finalementf=fN∈CN[X]

Exercice 8 :[énoncé]
NotonsPanznla série entière dont la somme est égale àfsurB◦
.
La fonctionfest continue sur un compact donc uniformément continue.
Pour toutε >0, il existeδ >0vérifiant

∀z z0∈B|z−z0|6δ⇒ |f(z)−f(z0)|6ε

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Corrections

Considérons alorsr= 1−δetgr:z7→f(rz).
Pour toutz∈B,|z−rz|=δ|z|6δdonc|f(z)−g(z)|6ε. Ainsikf−gk∞B6ε
Puisque la série entièrePanznconverge uniformément versfsur tout compact
inclus dansB◦, la série entièrePanrnznconverge uniformément versgsurB. Il
existe donc un polynômePvérifiantkP−gk∞B6εpuiskf−Pk∞B62εce
qui permet de conclure.

Exercice 9 :[énoncé]

a)un=O(1)doncunn! =O(1n!).
Or la série entière exponentiellePnx!nest de rayon de convergenceR= +∞.
On en déduit que la série entièrePunn!xnest aussi de rayon de convergence+∞.
Puisqueun=O(1),Sn=O(n)et doncSnn! =O(1(n−1)!).
Comme ci-dessus, on peut conclure quePSnn!xnest de rayon de convergence+∞.
b) Pourx∈R,S0(x) =+P∞Snn+!1xndonc
n=0

S0(x)−S(x) =+X∞Sn+1n!−Snxn=+X∞unn!+1xn=u0(x)
n=0n=0

c) Pour toutx∈R,

e−xS(x)−`= e−xn=+X∞0Snn!−`xn!

Soitε >0, il existeN∈Ntel que pour toutn>N,|Sn−`|6ε.
On a alors, pourx>0
e−xS(x)−`6ex"NnX=−10|Snn!−`|xn!+n+=X∞Nnε!xn!#

Or
+∞
n=XNnε!xn!6εex
et
NX−1|Snn!−`|xn!x→=+∞(x)
oe
n=0
donc pourxassez grand


exS(x)−`6e−x[εex+εex] = 2ε

Ainsie−xS(x)−−−−→`.
x→+∞
d) Siun= (−1)nalors

Par suite

et donc

Exercice 10 :[énoncé]
a) Posons

S1sinest pair
n=0sinon

S(x) =p+X=∞1(2p)!x2p=chx
0

e
−xS(x)x−→−+−−∞→21

1
an= sin√n

Puisquean+1an→1, on peut affirmerR= 1.
b) La suite(an)décroît vers 0 donc par le critère spécial des séries alternée, la
série entière converge enx=−1.
Puisquean∼1√n, par équivalence de séries à termes positifs, la série entière
diverge enx= 1.
c) Par positivité des termes sommés, on a pourx∈[01],

Or

f(x)>n=XN1sin√1nxn

nN=X1sin√1xnx−→−1−−→nNX=1sin√1n
n

Puisque
N
Xsin√1n−−−−−→+∞
1N→+∞
n=
Pour toutM∈R, il existe un rangNtel que

nN=X1√1n>M+ 1
sin

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et pourxau voisinage de1−

puis

On peut donc affirmer que

N
Xsin√1nxn>M
n=1

f(x)>M

f(x)−−−→+∞
x→1−

d) On a
+∞
(1−x)f(x) =Xsinxn
n=1√1nxn−n=+X∞1sin√1n+1
et par décalage d’indice

(1−x)f(x) = sin(1)x+n+X=∞2sin√1n−sin√n1−1xn

Corrections

Puisque
sin√1n−sin√n1−1=On312
la série entière en second membre est définie et continue en 1 par convergence
normale de la série de fonctions associée. On en déduit
X
(1−x)f(x)x−→−1→sin(1) +n=+∞2sin√1n−sin√n1−1= 0

Il est aussi possible de procéder par les enεexploitant

et

1
sin
√n6εpournassez grand

+∞xn1
X1=−x
n=0

Exercice 11 :[énoncé]
a) Pourx6= 0, posonsun=xn√n6= 0. On a|un+1un| → |x|doncR= 1.
b) Enx= 1,fn’est pas définie car il y a divergence de la série de Riemann
P1√n.

6

Enx=−1,fest définie car il y a convergence de la série alternéeP(−1)n√n
satisfaisant le critère spécial.
c) Posonsun(x) =xn√npourx∈[−10].
Chaque fonctionunest continue et la série de fonctionsPunconverge simplement
sur[−10]en vertu du critère spécial des séries alternées. On a de plus

|Rn(x)|6|un+1(x)|=√|nx|n++116√n1+1
→0
et il y a donc convergence uniforme de la série de fonctionsPunsur[−10].
On en déduit que sa somme est continue sur[−10]et doncfest notamment
continue en−1.
d) Pour toutn>1, on a√n6ndonc pour toutx∈[01[

+∞n
−x+∞
f(x)>nX=1xn=−ln(1 )x−→−1−−→

Doncftend vers+∞en1−.

Exercice 12 :[énoncé]
Les rayons de convergences des séries entières définissantscetssont infinis et on
reconnaît
∀x∈R,c(x) = cosxets(x) = sinx

de sorte qu’on a déjà

∀x∈R c(x)2+s(x)2= 1

Par opérations sur les séries entières, on sait qu’il existe une suite(an)∈CNtelle
que
+∞
∀z∈C,c(z)2+s(z)2=Xanzn
n=0
et l’on peut donc écrire
+∞
X

∀x∈R anxn= 1
n=0
Par unicité des coefficients d’un développable en série entière

donc

a0= 1et∀n∈N? an= 0

∀z∈C c(z)2+s(z)2= 1

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Corrections

Exercice 13 :[énoncé]
a)fest la somme d’une série entière de rayon de convergenceR= 1.
Puisqueln(1 + 1n)∼1n, la série n’est pas définie pourx= 1. En revanche, on
vérifie aisément la convergence de la série enx=−1en vertu du critère spécial
des séries alternées. Finalementfest définie sur[−11[.
b) Calculons la somme partielle
n2X=N1ln 11 +n(−1)n=p=XN1ln2p2p+ 1−ln2p2−p1= ln(2N+[2N1)N!]([24N)!]2!

Par la formule de Stirling
f(1) = ln 2
π
Par le changement de variableu= 1xC1bijectif, on ne modifie par la nature de
l’intégrale et on a
Z10(−1)xE(1x)dx=Z+1∞(−1)uE(u)du
Puisque
ZxZx

(−1)E(u)du6du−−−−→0
E(x)uE(x)ux→+∞
la nature de l’intégrale et sa valeur sont données par la limite de
Z1n+1(−1)uE(u)du=kXn1Zkk+1(−u1)kdu=k=nX1(−1)kln1 +k1
=

On peut conclure

c) On peut écrire

On a alors

D’une part

ln

Z1(−1)E(1x)dx= ln 2
0x π

1 +n1=n+1εnavecεn=On12

n
f(x) =+X∞xn+Xεnxn
n
n=1n=1

+X∞nxn=−ln(1−x)x−→−1−−→+∞
n=1

et d’autre part

On peut donc conclure

+∞+∞
Xεnxn6X|εn|<+∞
n=1n=1

f(∼ −
x)x→1−ln(1−x)

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