Sujet : Analyse, Séries entières, Fonctions développables en série entière

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Fonctions développables en série entière Exercice 5 [ 00993 ] [correction] [Fonction absolument monotone] ∞ (n)Soit f :R→R de classeC telle que f > 0 pour tout n∈N.Exercice 1 [ 00992 ] [correction] ∞ Montrer que f est développable en série entière en 0.Soient a> 0 et f : [−a,a]→R de classeC pour laquelle il existe A,K > 0 vérifiant pour tout n∈N (n) nf 6Kn!A ∞ Exercice 6 [ 03358 ] [correction] Montrer que la fonctionMontrer que f est développable en série entière en 0. p 2f :x7→ x +x+1 admet un développement en série entière de rayon de convergence R> 1. Exercice 2 Centrale MP [ 03303 ] [correction] ∞Soit f : ]−R,R[→R (avec R> 0) de classeC vérifiant Exercice 7 Centrale MP [ 03302 ] [correction](n)∀n∈N,∀x∈ [0,R[,f (x)> 0 Etablir que la fonction 1 x7→Montrer la convergence de la série 1−shx X 1 est développable en série entière et préciser le rayon de convergence.(n) nf (0)x n! pour tout x∈ ]−R,R[. Exercice 8 [ 03687 ] [correction] Pour x∈R, on pose +∞ nX cos(2 x) f(x) =Exercice 3 Mines-Ponts MP [ 02851 ] [correction] n!∞ n=0Soient a> 0 et f∈C (]−a,a[,R) telle que ∞a) Montrer que la fonction f est définie et de classeC surR. (n)∀n∈N,∀x∈ ]−a,a[,f (x)> 0 b) Observer que le rayon de convergence de sa série de Taylor en 0 est nul. a) Si|x| 0 et f : ]−a,a[→R de classeC telle que f > 0 pour tout n∈N. Montrer que f est égale à la somme de sa série de Taylor en 0.
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Fonctions développables en série entière

Exercice 1[ 00992 ][correction]
Soienta >0etf: [−a a]→Rde classeC∞pour laquelle il existe >A K0
vérifiant pour toutn∈N
f(n)6Kn!An

Montrer quefest développable en série entière en 0.

Exercice 2Centrale MP[ 03303 ][correction]
Soitf: ]−R R[→R(avecR >0) de classeC∞vérifiant

∀n∈N∀x∈[0 R[ f(n)(x)>0

Montrer la convergence de la série
Xn1!f(n)(0)xn

pour toutx∈]−R R[.

Exercice 3Mines-Ponts MP[ 02851 ][correction]
Soienta >0etf∈ C∞(]−a a[R)telle que

∀n∈N∀x∈]−a a[ f(n)(x)>0

a) Si|x|< r < a, montrer

Xnf(kk)!)(0xk6xn+1
f(x)−k=0rf(r)

b) Montrer quefest développable en série entière sur]−a a[.
c) Montrer quex7→tanxest développable en série entière sur]−π2 π2[.

Exercice 4[ 00994 ][correction]
Soienta >0etf: ]−a a[→Rde classeC∞telle quef(n)>0pour toutn∈N.
Montrer quefest égale à la somme de sa série de Taylor en 0.

Enoncés

Exercice 5[ 00993 ][correction]
[Fonction absolument monotone]
Soitf:R→Rde classeC∞telle quef(n)>0pour toutn∈N.
Montrer quefest développable en série entière en 0.

Exercice 6[ 03358 ][correction]
Montrer que la fonction
f:x7→px2+x+ 1
admet un développement en série entière de rayon de convergenceR>1.

Exercice 7Centrale MP[ 03302 ][correction]
Etablir que la fonction
1
x7→shx
1−
est développable en série entière et préciser le rayon de convergence.

Exercice 8[ 03687 ][correction]
Pourx∈R, on pose
+∞s(2n)
f(x) =Xcon!x
n=0
a) Montrer que la fonctionfest définie et de classeC∞surR.
b) Observer que le rayon de convergence de sa série de Taylor en 0 est nul.

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
R0x(x−n!t)nf(n+1)(t)dt6|x|n+1)1!f(n+1)∞6K|xA|n+1. Pour|x|6aet
(n+
|x|<1A,R0x(x−tn)!nf(n+1)(t)dt−n−∞→0et doncfest égale à la somme de sa série
de Taylor au voisinage de 0.

Exercice 2 :[énoncé]
Pourx∈[0 R[, la sériePn1!f(n)(0)xnsérie à termes positifs. Par laest une
formule de Taylor reste intégrale
f(x) =nXf(kk))0!(xk+Z0x(x−n!t)nf(n+1)(t) dt
k=0

et puisque le reste intégrale est positif, on a

Xnf(kk)!)0(xk6f(x)
k=0

Puisque ses sommes partielles sont majorées, la série à termes positifs
Pn1!f(n)(0)xnest convergente.
Pourx∈]−R0], on a
f(nn)(0)!xn=f(n)(0)!|x|n
n
et la sériePn!1f(n)(0)xnest absolument convergente donc convergente.

Exercice 3 :[énoncé]
a) Par la formule de Taylor avec reste intégral
f(x)−nkX=0f(kk)!(0)xk=Z0x(x−n!t)nf(n+1)(t) dtt==xuxnn!+1Z01(1−u)nf(n+1)(xu) du

Puisquex6|x|6r, on axu6rupuisf(n+1)(xu)6f(n+1)(ru)carf(n+1)est
croissante puisque de dérivéef(n+2)>0.
On en déduit

n
f(x)−Xf(k)(0)xkx|n+1
k=0k!6|rn+1f(r)−kX=n0f(kk))0(!rk

Or la sommePkdonc
nf(k))!(0rkest positive et majorée parf(r)
k=0

n
f(x)−Xf(k)(0)xkxn+1
k=0k!6rf(r)

b) Puisque|xr|<1,
nXf(kk)(0)!xnk−→−+−−∞→f(
x)
k=0
Ainsifest développable en série entière sur]−a a[car égale à la somme de sa
.
série de Taylor sur]−a a[
c) Posonsf(x) = tanx. Par récurrence surn∈N, on montrer que
f(n)(x) =Pn(tanx)avecPnun polynôme dont la parité est celle den+ 1.
On en déduit alors quef(n)(x)>0pour toutx∈[0 π2[.
En reprenant l’étude qui précède, on obtientf(x) =+P∞f(n)(0)xnpour tout
n!
n=0
x∈[0 π2[.
Par imparité def,f(2p)(0) = 0et par un argument de parité

pour toutx∈]−π2 π2[.

+∞1)(0)2
f(x) =pX=0f((22pp++ 1)!xp+1

Exercice 4 :[énoncé]
Pour toutx∈]−a a[,
n
f(x) =Xf(kk)(0)!xk+Z0x(x−n!t)nf(n+1)(t) dt
k=0
Posons
Rn(x) =Zx(x−n!t)nf(n+1)(t) dt
0
Par le changement de variablet=xu, on peut écrire
Rn(x) =xn+1Z1(1−n!u)nf(n+1)(xu) du
0

Choisissonsytel que|x|< y < a. Puisquef(n+1)est croissante, on a
∀u∈[01] f(n+1)(xu)6f(n+1)(yu)

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et donc

|Rn(x)|6|x|n+1Z10(1−n!u)nf(n+1)(yu) du6|xy|n+1Rn(y)

Corrections

De plusRn(y)6f(y)car les termes de la somme partielle de Taylor enysont
tous positifs et donc

−−−−→0
|Rn(x)|6|xy|n+1f(y)n→+∞

Finalementfest aussi égale à la somme de sa série de Taylor en 0 sur]−a a[.

Exercice 5 :[énoncé]
Pour toutaetx∈R,
f(x) =X
k=0k+Za(x−n!t)nf(n+1)(t) dt
nf(kk)(!a)(x−a)x

Pourx>a, la série numérique de terme généralf(kk)!(a)(x−a)kest une série
majorée parf(x)et à termes positifs, elle est donc convergente ce qui assure

(n
fn)(!a)(x−a)nn∞
−−→0

Pourx60,
Z0x(x−n!t)nf(n+1)(t) dt6Zx0(t−n!x)nf(n+1)(0 (−x)n+1
) dt=(n+ 1)!f(n+1)(0)−−→0
n∞

en exploitant la remarque initiale avec 0 et−xpouraetx.
Pourx>0,
Z0x(x−n!t)nf xn+1
(n+1)(t)dt6(n+ 1)!f(n+1)(x)→0

en exploitant la remarque initiale avecxet2xpouraetx.
Finalementfest égale à la somme de sa série de Taylor en 0 surR.

Exercice 6 :[énoncé]
On a

(1−x)(1 +x+x2) = 1−x3

donc pourx∈]−11[,

=√1−x3= (1−x3)12(1−x)−12
f(x)√1−x

est développable en série entière sur]−11[par produit de fonctions qui le sont.

Exercice 7 :[énoncé]
Posons
f(x 1) =−1shx
La fonctionfest définie et de classeC∞sur]−∞ R[avecR=argsh1.
Soitx∈]−R R[. Puisque|shx|<1, on peut écrire

f(x) = 1hx=+X∞shnx
1−s
n=0

3

Chacune des fonctionsx7→shnxest développable en série entière surRce qui
permet d’écrire
+∞
shnx=Xankxk
k=n
Puisque les coefficients du développement en série entière de la fonction sh sont
tous positifs, on a aussiank>0pour toutn k. Pourx∈]−R R[, on peut donc
écrire
f(x) =n=+X∞0k+=X∞nankxk!
Puisque la sériePankxk=Pank|x|kconverge et puisque la série
k>n k>n
+∞
P Pankxk=P(sh|x|)nconverge aussi, on peut par le théorème de Fubini
n>0k=n n>0
échanger les deux sommes ce qui donne
f(x) =X X
+∞kn=0ank!xk
k=0

Ainsi la fonctionfest développable en série entière sur]−R R[. Le rayon de
convergence de la série entière ainsi introduite est alors au moins égale àRet en
fait exactement égal àRcarfdiverge vers+∞enR−et ne peut donc tre
prolongée par continuité enR.

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Exercice 8 :[énoncé]
a) Posons
2nx)
un:x∈R7→cos(n!
Les fonctionsunsont de classeC∞et pour toutk∈N

2nk
u(nk)(x)6n!

Corrections

Puisque le majorant est le terme général de la série exponentielle en2k, il est
sommable et il y a donc convergence normale de la série de fonctionsPu(nk).
On en déduit que la fonctionfest définie et de classeC∞surR.
b) Par l’étude qui précède
+∞
f(k)(0) =Xu(nk)(0)
n=0
Sikest impair,u(nk)(x)s’exprime en fonction desin(2nx)et doncu(nk)(0) = 0puis
f(k)(0) = 0.
Sikest pair, on peut écrirek= 2pet alors

s(2nx)
u(n2p)(x) = (−1)p2npcon!

puis
+∞22np
f(2p)(0) =X(−1)pn (! =−1)pe22p
n=0
La série de Taylor defen 0 est alors

Pourx6= 0, posons

X(−e22p
1)p( )!x2p
2p

p
up(x) = (−1) e22p)!6= 0
(2p

On a
up+1(x) e322p+2
=
up(x)(2p+ 1)(2p+ 2)→+∞
Le rayon de convergence de la série de Taylor étudiée est donc nul.

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