Sujet : Analyse, Séries entières, Rayon et domaine de convergence

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Rayon et domaine de convergence Exercice 7 [ 03309 ] [correction]P nSoit a z une série entière de rayon de convergence R> 0.n Déterminer le rayon de convergence deExercice 1 [ 00971 ] [correction] XDéterminer le rayon de convergence des séries entières : an nz 2 nX X X X n!n +1 2 lnn nn −n n 2n 3na) z b) e z c) z d) z n 23 n n! n>0 n>0 n>1 n>0 Exercice 8 [ 03484 ] [correction] Soit (a ) une suite de réels tous non nuls.n Exercice 2 [ 03054 ] [correction] Quelle relation lie les rayons de convergence des séries entières ci-dessous Déterminer le rayon de convergence de : X X 1 ! n na z et znX X X X2n √ √ (3n)! n+1 an n n n n na) n!z b) z c) z d) n+1− n z 3n (n!) n>0 n>0 n>0 n>0 Exercice 9 [ 00975 ] [correction]p n +On suppose que |a |→‘∈R ∪{+∞}.nExercice 3 [ 00972 ] [correction] P nDéterminer le rayon de convergence de a z .nDéterminer le rayon de convergence des séries entières : X X X 2 sin(n)n n na) z b) sin(n)z c) z 2n Exercice 10 [ 00976 ] [correction]n>0 n>0 n>1 P nSoit a z une série entière de rayon de convergence R. On posen an Exercice 4 [ 00973 ] [correction] b =n 1+|a |nDéterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes : PX X 0 net on note R le rayon de convergence de b z .n n nd(n)z et s(n)z 0a) Montrer que R > max(1,R) n>1 n>1 0 0b) Etablir que si R > 1 alors R =R. 0où d(n) et s(n) désignent respectivement le nombre de diviseurs supérieurs à 1 de c) Exprimer alors R en fonction de R.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

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• Licence : En savoir +
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• Langue: Français

Extrait

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Rayon et domaine de convergence

Exercice 1[ 00971 ][correction]
Déterminer le rayon de convergence des séries entières :
a)Xn23n+ 1znb)Xe−n2znc)Xlnn2nz2nd)Xnnn!z3n
n>0n>0n>1n>0

Exercice 2[ 03054 ][correction]
Déterminer le rayon de convergence de :
n>0n>02nn!znc)nX>0(!(3n)3znd)nX>0n+1√n+ 1−n√nzn
a)Xn!znb)Xn)!

Exercice 3[ 00972 ][correction]
Déterminer le rayon de convergence des séries entières :
a)Xzn2b)Xsin(n)znc)Xsinn(2n)zn
n>0n>0n>1

Exercice 4[ 00973 ][correction]
Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :
Xd(n)znetXs(n)zn
n>1n>1

Enoncés

oùd(n)ets(n)le nombre de diviseurs supérieurs à 1 dedésignent respectivement
l’entiernet la somme de ceux-ci.

Exercice 5[ 00974 ][correction]
SoitPanznune série entière de rayon de convergenceR.
Déterminer le rayon de convergence de la série entièrePanz2n.

Exercice 6[ 03310 ][correction]
SoitPanznune série entière de rayon de convergenceR.
Déterminer le rayon de convergence de
Xa2nzn

Exercice 7[ 03309 ][correction]
SoitPanznsérie entière de rayon de convergenceune R >0.
Déterminer le rayon de convergence de
ann
Xn!z

Exercice 8[ 03484 ][correction]
Soit(an)une suite de réels tous non nuls.
Quelle relation lie les rayons de convergence des séries entières ci-dessous
X1zn
anznetXan

Exercice 9[ 00975 ][correction]
On suppose quenp|an| →`∈R+∪ {+∞}.
Déterminer le rayon de convergence dePanzn.

Exercice 10[ 00976 ][correction]
SoitPanznsérie entière de rayon de convergenceune R. On pose
bn=an
1 +|an|
et on noteR0le rayon de convergence dePbnz.
n
a) Montrer queR0>max(1 R)
b) Etablir que siR0>1alorsR0=R.
c) Exprimer alorsR0en fonction deR.

Exercice 11[ 00977 ][correction]
SoientPanznsérie entière de rayon de convergenceune Retz0∈C. On
n>0
suppose quePanz0nest semi-convergente. DéterminerR.
n>0

Exercice 12[ 00978 ][correction]
Montrer que pour toutα∈Rles séries entièresPanznetPnαanznont mme
rayon de convergence.

1

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Enoncés

Exercice 13[ 00979 ][correction]
SoientPanznetPbnzndeux séries entières de rayon de convergenceRaetRb.
On suppose que pour toutn∈N,anbn= 0.
Montrer que le rayon de convergence deP(an+bn)znestR= min(Ra Rb)

Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02841 ][correction]
On noteanlan-ième décimale de√3.
+∞
Quel est l’intervalle de définition dePanxn?
n=1

Exercice 15Mines-Ponts MP[ 02842 ][correction]
Quel est le rayon de convergence de
Xπ√n2+2nx2n?

Exercice 16Mines-Ponts MP[ 02843 ][correction]
Soitα∈RQuel est le rayon de convergence de.
Xcos(nα)xn?

n
n>1

Exercice 17Mines-Ponts MP PC[ 02855 ][correction]
Pourn∈N?, on pose
+∞
In=Ze−tn
dt
1
a) Déterminer la limite de(In).
b) Donner un équivalent de(In).
c) Déterminer le rayon de convergenceRde la série entière de terme généralInxn.
Etudier sa convergence enRet en−R.

Exercice 18[ 03016 ][correction]
Soit
1
Z0
I(p q) =tp(1−t)qdt
a) CalculerI(p q).
b) La série de terme généralun=I(n n) ?est-elle convergente ou divergente
c) Donner le domaine de définition dePunxn
.

Exercice 19Centrale PC[ 03483 ][correction]
Soitαun réel irrationnel fixé. On noteRαle rayon de convergence de la série
entière
Xsinxn
n>1(nπα)

a) Démontrer queRα61.
b) On considère la suite(un)n>1définie par

u1= 2et∀n>1 un+1= (un)un

Démontrer que pour tout entiern>1

1
un6(n+ 1)n
un+1

En déduire que la série de terme général1unconverge.
Dans la suite, on pose
+∞1
α=Xu
n=1n

2

et on admet queαest irrationnel.
c) Démontrer qu’il existe une constanteCstrictement positive telle que, pour tout
entiern>1:
+∞
πunXu1k6unuCn−1
k=n+1

d) Démontrer queRα= 0
.
e) Question subsidiaire : démontrer queαest effectivement irrationnel.
Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 20CCP MP[ 03298 ][correction]
a) Déterminer les rayons de convergence des séries entières
n+ 1
XlnnxnetXsin(e−n)xn

b) Une série entière converge-t-elle normalement sur son disque ouvert de
convergence ?

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Exercice 21CCP PSI[ 03383 ][correction]
Déterminer le rayon de convergence de la série entièrePanxnoù(an
déterminée par

avec(α β)∈R2.

a0=α,a1=βet∀n∈N an+2= 2an+1−an

Enoncés

)est la suite

Exercice 22CCP MP[ 02523 ][correction]
Soit une série entièrePanznde rayon de convergence non nul.
a) Montrer qu’il existe un réelr >0tel que|an|<1rnà partir d’un certain rang.
b) Quel est le rayon de convergence de la série entièrePnan!zn?
n
c) On noteSn=Pak. Quel est le rayon de convergence de la série entière
k=0
PnS!nzn?

3

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)un(z) =n23n+1zn. Pour toutz6= 0,unun+(1z)(z)→|z3|doncR= 3.
b)un(z) =zne−n2. Pour toutz∈C,n2un(z)→0doncR= +∞.
c)un(z) =lnn2nz2n. Pour toutz6= 0uunn+(1z)(z)=nlln(nn(+1)n+n21)2|z|2→ |z|2donc
,
R= 1.
n
d)un(z) =n!nz3n. Pour toutz6= 0,uunn+(1z)(z)=(nn+n1)n|z|3→e|z|3donc
R= e−13.

Exercice 2 :[énoncé]
a)un(z) =n!zn. Pour toutz6= 0,uunn+(1z)(z)= (n+ 1)|z| →+∞doncR= 0.
b)un(z) =2nn!zn. Pour toutz6= 0,unu+n1(z()z)=(2n+(n1)+2()2n2+1)|z| →4|z|donc
R= 14.
c)un(z) =(3(n!n))3!zn. Pour toutz6= 0,uunn+(1z)(z)=(3n3()3(+nn2+)1+3)(3n+1)|z| →27|z|
doncR= 127.
d)n+1√n+ 1−n√n=en+11ln(n+1)−e1nlnn=e1nlnnln(nnl)1+nn−1or
−
en+1
en1lnn→1doncn+√1n+ 1−n√n∼ln(nn)+1+1−lnnn=−lnn+ln(1n+11+n)∼ −lnn2n.
n(n+1)
Par suiteR= 1.

Exercice 3 :[énoncé]
a) Posons

an=10issninérracunsteno

(an)ne tend par vers 0 doncR61mais(an)est borné doncR>1. Finalement
R= 1.
b) Posonsan= sinn.
(an)ne tend par vers 0 doncR61mais(an)est borné doncR>1. Finalement
R= 1.
c) Posonsan= (sinn)n2.
(an)est bornée doncR>1.
Pour|z|>1, la suitesinn2n|z|nn>1ne tend pas vers 0 car la suite(sinn)ne tend
pas vers 0. On en déduitR61et finalementR= 1.

4

Exercice 4 :[énoncé]
d(n)6 →0doncRd61d(n)6net le rayon de convergence dePnznétant égal à
n>1
1 on a aussiRd>1. On peut conclureRd= 1.
De mme, en exploitants(n)6 →0et

on aRs= 1.

s(n)61 + 2 +∙ ∙ ∙+n=n(n2)1+

Exercice 5 :[énoncé]
NotonsR0le rayon de convergence dePanz2n.
Pour|z|<√R,z2< Ret doncPan(z2)n=Panz2nest absolument
convergente.
Pour|z|>√R,z2> Ret doncPan(z2)n=Panz2nest grossièrement
divergente.
On en déduitR0=√R.

Exercice 6 :[énoncé]
Montrons par double inégalité que le rayon de convergenceR0dePa2nznvaut

R0=R2

Soit|z|< R.
Puisque la série numériquePanznest absolument convergente, on aanzn→0et
donca2nz2n→0.
Or pour|Z|> R0, on sait que la suite(an2Zn)n’est pas bornée. On en déduit
|z|26R0et donc
R6√R0
Soit|z|<√R0.
On a|z|2< R0et donca2nz2n→0puis|anzn| →0. On en déduit|z|6Ret donc
√R06R

Exercice 7 :[énoncé]
Soitr∈]0 R[. La série numériquePanrnest absolument convergente. Pour tout
z∈C,
ann!zn=anrnn1!zn=o(anrn)
r