Sujet : Analyse, Séries entières, Rayon et domaine de convergence

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Rayon et domaine de convergence Exercice 7 [ 03309 ] [correction]P nSoit a z une série entière de rayon de convergence R> 0.n Déterminer le rayon de convergence deExercice 1 [ 00971 ] [correction] XDéterminer le rayon de convergence des séries entières : an nz 2 nX X X X n!n +1 2 lnn nn −n n 2n 3na) z b) e z c) z d) z n 23 n n! n>0 n>0 n>1 n>0 Exercice 8 [ 03484 ] [correction] Soit (a ) une suite de réels tous non nuls.n Exercice 2 [ 03054 ] [correction] Quelle relation lie les rayons de convergence des séries entières ci-dessous Déterminer le rayon de convergence de : X X 1 ! n na z et znX X X X2n √ √ (3n)! n+1 an n n n n na) n!z b) z c) z d) n+1− n z 3n (n!) n>0 n>0 n>0 n>0 Exercice 9 [ 00975 ] [correction]p n +On suppose que |a |→‘∈R ∪{+∞}.nExercice 3 [ 00972 ] [correction] P nDéterminer le rayon de convergence de a z .nDéterminer le rayon de convergence des séries entières : X X X 2 sin(n)n n na) z b) sin(n)z c) z 2n Exercice 10 [ 00976 ] [correction]n>0 n>0 n>1 P nSoit a z une série entière de rayon de convergence R. On posen an Exercice 4 [ 00973 ] [correction] b =n 1+|a |nDéterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes : PX X 0 net on note R le rayon de convergence de b z .n n nd(n)z et s(n)z 0a) Montrer que R > max(1,R) n>1 n>1 0 0b) Etablir que si R > 1 alors R =R. 0où d(n) et s(n) désignent respectivement le nombre de diviseurs supérieurs à 1 de c) Exprimer alors R en fonction de R.
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Rayon et domaine de convergence

Exercice 1[ 00971 ][correction]
Déterminer le rayon de convergence des séries entières :
a)Xn23n+ 1znb)Xe−n2znc)Xlnn2nz2nd)Xnnn!z3n
n>0n>0n>1n>0

Exercice 2[ 03054 ][correction]
Déterminer le rayon de convergence de :
n>0n>02nn!znc)nX>0(!(3n)3znd)nX>0n+1√n+ 1−n√nzn
a)Xn!znb)Xn)!

Exercice 3[ 00972 ][correction]
Déterminer le rayon de convergence des séries entières :
a)Xzn2b)Xsin(n)znc)Xsinn(2n)zn
n>0n>0n>1

Exercice 4[ 00973 ][correction]
Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :
Xd(n)znetXs(n)zn
n>1n>1

Enoncés

oùd(n)ets(n)le nombre de diviseurs supérieurs à 1 dedésignent respectivement
l’entiernet la somme de ceux-ci.

Exercice 5[ 00974 ][correction]
SoitPanznune série entière de rayon de convergenceR.
Déterminer le rayon de convergence de la série entièrePanz2n.

Exercice 6[ 03310 ][correction]
SoitPanznune série entière de rayon de convergenceR.
Déterminer le rayon de convergence de
Xa2nzn

Exercice 7[ 03309 ][correction]
SoitPanznsérie entière de rayon de convergenceune R >0.
Déterminer le rayon de convergence de
ann
Xn!z

Exercice 8[ 03484 ][correction]
Soit(an)une suite de réels tous non nuls.
Quelle relation lie les rayons de convergence des séries entières ci-dessous
X1zn
anznetXan

Exercice 9[ 00975 ][correction]
On suppose quenp|an| →`∈R+∪ {+∞}.
Déterminer le rayon de convergence dePanzn.

Exercice 10[ 00976 ][correction]
SoitPanznsérie entière de rayon de convergenceune R. On pose
bn=an
1 +|an|
et on noteR0le rayon de convergence dePbnz.
n
a) Montrer queR0>max(1 R)
b) Etablir que siR0>1alorsR0=R.
c) Exprimer alorsR0en fonction deR.

Exercice 11[ 00977 ][correction]
SoientPanznsérie entière de rayon de convergenceune Retz0∈C. On
n>0
suppose quePanz0nest semi-convergente. DéterminerR.
n>0

Exercice 12[ 00978 ][correction]
Montrer que pour toutα∈Rles séries entièresPanznetPnαanznont mme
rayon de convergence.

1

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Enoncés

Exercice 13[ 00979 ][correction]
SoientPanznetPbnzndeux séries entières de rayon de convergenceRaetRb.
On suppose que pour toutn∈N,anbn= 0.
Montrer que le rayon de convergence deP(an+bn)znestR= min(Ra Rb)

Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02841 ][correction]
On noteanlan-ième décimale de√3.
+∞
Quel est l’intervalle de définition dePanxn?
n=1

Exercice 15Mines-Ponts MP[ 02842 ][correction]
Quel est le rayon de convergence de
Xπ√n2+2nx2n?

Exercice 16Mines-Ponts MP[ 02843 ][correction]
Soitα∈RQuel est le rayon de convergence de.
Xcos(nα)xn?

n
n>1

Exercice 17Mines-Ponts MP PC[ 02855 ][correction]
Pourn∈N?, on pose
+∞
In=Ze−tn
dt
1
a) Déterminer la limite de(In).
b) Donner un équivalent de(In).
c) Déterminer le rayon de convergenceRde la série entière de terme généralInxn.
Etudier sa convergence enRet en−R.

Exercice 18[ 03016 ][correction]
Soit
1
Z0
I(p q) =tp(1−t)qdt
a) CalculerI(p q).
b) La série de terme généralun=I(n n) ?est-elle convergente ou divergente
c) Donner le domaine de définition dePunxn
.

Exercice 19Centrale PC[ 03483 ][correction]
Soitαun réel irrationnel fixé. On noteRαle rayon de convergence de la série
entière
Xsinxn
n>1(nπα)

a) Démontrer queRα61.
b) On considère la suite(un)n>1définie par

u1= 2et∀n>1 un+1= (un)un

Démontrer que pour tout entiern>1

1
un6(n+ 1)n
un+1

En déduire que la série de terme général1unconverge.
Dans la suite, on pose
+∞1
α=Xu
n=1n

2

et on admet queαest irrationnel.
c) Démontrer qu’il existe une constanteCstrictement positive telle que, pour tout
entiern>1:
+∞
πunXu1k6unuCn−1
k=n+1

d) Démontrer queRα= 0
.
e) Question subsidiaire : démontrer queαest effectivement irrationnel.
Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 20CCP MP[ 03298 ][correction]
a) Déterminer les rayons de convergence des séries entières
n+ 1
XlnnxnetXsin(e−n)xn

b) Une série entière converge-t-elle normalement sur son disque ouvert de
convergence ?

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Exercice 21CCP PSI[ 03383 ][correction]
Déterminer le rayon de convergence de la série entièrePanxnoù(an
déterminée par

avec(α β)∈R2.

a0=α,a1=βet∀n∈N an+2= 2an+1−an

Enoncés

)est la suite

Exercice 22CCP MP[ 02523 ][correction]
Soit une série entièrePanznde rayon de convergence non nul.
a) Montrer qu’il existe un réelr >0tel que|an|<1rnà partir d’un certain rang.
b) Quel est le rayon de convergence de la série entièrePnan!zn?
n
c) On noteSn=Pak. Quel est le rayon de convergence de la série entière
k=0
PnS!nzn?

3

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)un(z) =n23n+1zn. Pour toutz6= 0,unun+(1z)(z)→|z3|doncR= 3.
b)un(z) =zne−n2. Pour toutz∈C,n2un(z)→0doncR= +∞.
c)un(z) =lnn2nz2n. Pour toutz6= 0uunn+(1z)(z)=nlln(nn(+1)n+n21)2|z|2→ |z|2donc
,
R= 1.
n
d)un(z) =n!nz3n. Pour toutz6= 0,uunn+(1z)(z)=(nn+n1)n|z|3→e|z|3donc
R= e−13.

Exercice 2 :[énoncé]
a)un(z) =n!zn. Pour toutz6= 0,uunn+(1z)(z)= (n+ 1)|z| →+∞doncR= 0.
b)un(z) =2nn!zn. Pour toutz6= 0,unu+n1(z()z)=(2n+(n1)+2()2n2+1)|z| →4|z|donc
R= 14.
c)un(z) =(3(n!n))3!zn. Pour toutz6= 0,uunn+(1z)(z)=(3n3()3(+nn2+)1+3)(3n+1)|z| →27|z|
doncR= 127.
d)n+1√n+ 1−n√n=en+11ln(n+1)−e1nlnn=e1nlnnln(nnl)1+nn−1or

en+1
en1lnn→1doncn+√1n+ 1−n√n∼ln(nn)+1+1−lnnn=−lnn+ln(1n+11+n)∼ −lnn2n.
n(n+1)
Par suiteR= 1.

Exercice 3 :[énoncé]
a) Posons

an=10issninérracunsteno

(an)ne tend par vers 0 doncR61mais(an)est borné doncR>1. Finalement
R= 1.
b) Posonsan= sinn.
(an)ne tend par vers 0 doncR61mais(an)est borné doncR>1. Finalement
R= 1.
c) Posonsan= (sinn)n2.
(an)est bornée doncR>1.
Pour|z|>1, la suitesinn2n|z|nn>1ne tend pas vers 0 car la suite(sinn)ne tend
pas vers 0. On en déduitR61et finalementR= 1.

4

Exercice 4 :[énoncé]
d(n)6 →0doncRd61d(n)6net le rayon de convergence dePnznétant égal à
n>1
1 on a aussiRd>1. On peut conclureRd= 1.
De mme, en exploitants(n)6 →0et

on aRs= 1.

s(n)61 + 2 +∙ ∙ ∙+n=n(n2)1+

Exercice 5 :[énoncé]
NotonsR0le rayon de convergence dePanz2n.
Pour|z|<√R,z2< Ret doncPan(z2)n=Panz2nest absolument
convergente.
Pour|z|>√R,z2> Ret doncPan(z2)n=Panz2nest grossièrement
divergente.
On en déduitR0=√R.

Exercice 6 :[énoncé]
Montrons par double inégalité que le rayon de convergenceR0dePa2nznvaut

R0=R2

Soit|z|< R.
Puisque la série numériquePanznest absolument convergente, on aanzn→0et
donca2nz2n→0.
Or pour|Z|> R0, on sait que la suite(an2Zn)n’est pas bornée. On en déduit
|z|26R0et donc
R6√R0
Soit|z|<√R0.
On a|z|2< R0et donca2nz2n→0puis|anzn| →0. On en déduit|z|6Ret donc
√R06R

Exercice 7 :[énoncé]
Soitr∈]0 R[. La série numériquePanrnest absolument convergente. Pour tout
z∈C,
ann!zn=anrnn1!zn=o(anrn)
r

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Corrections

car par croissance comparée
1
n!zrnn−→−+−−∞→0
Par comparaison de séries absolument convergentes, on peut affirmer que la série
numériquePanzn!nest absolument convergente pour toutz∈C.
Le rayon de convergence de la série entière étudiée est+∞.

Exercice 8 :[énoncé]
NotonsRetR0les deux rayons de convergence de séries entières introduites.
?
Soitz∈C.
Si|z|< Ralors la série numériquePanznconverge et doncanzn→0. On en
déduit que
1
→+∞
anzn
et donc|1z|> R0d’où|z|<1R0. On en déduitR61R0puis
RR061

On ne peut affirmer mieux puisque, pour
an=21niissnnseiaptrno

on obtientRR0= 12.

Exercice 9 :[énoncé]
Pourz6= 0, on observe quenp|anzn| →`|z|. Or il est connu que pourPunsérie
à termes positifs, sin√un→m∈[01[alors la série converge et sin√un→m >1
alors la série diverge (ce résultat s’obtient par comparaison avec une suite
géométrique).
Si`= 0alors∀z∈C,np|anzn| →0doncPanznconverge enzet doncR= +∞.
Si`∈]0+∞[alors∀z∈Ctel que|z|<1`,Panznconverge tandis que pour
|z|>1`,Panzndiverge. On en déduitR= 1`
Si`= +∞alors∀z∈C?,Panzndiverge.

Exercice 10 :[énoncé]
a) On a|bn|6|an|doncR0>R. On a|bn|61doncR0>1
b) SiR0>1alorsbn→0et puisque|bn|=1|+a|na|n|donne|an|=1|−b|nb|n|, on obtient
an=O(|bn|)doncR>R0.
Par suiteR=R0d’oùR0= max(1 R).
c) SiR0= 1alors1>RetR0= max(1 R).

5

Exercice 11 :[énoncé]
Par la convergence dePanz0non a déjàR>|z0|. SiR >|z0|alors il y a absolue
n>0
convergence enz0ce qui est exclu par hypothèse. On conclutR=|z0|.

Exercice 12 :[énoncé]
Posonsbn=nαanet comparonsRaetRb.
Pourα= 0: ok
Pourα >0:an=o(bn)doncRa>Rb.
Pourz∈Ctel que|z|< Ra, en considérant,ρ∈]|z| Ra[,
nαanzn=anρn×nρzαnn=o(anρn)doncPbnznconverge et par suiteRb>|z|. Or
ceci pour toutztel que|z|< RadoncRb>Ra. FinalementRa=Rb.
Pourα <0:an=n−αbnet on exploite ce qui précède.

Exercice 13 :[énoncé]
Par sommation de séries entière, on sait déjàR>min(Ra Rb)
De plus, puisqueanbn= 0on peut affirmer|an|6|an+bn|et doncR6Raet de
mmeR6Rbet doncR6min(Ra Rb)puisR= min(Ra Rb).

Exercice 14 :[énoncé]
Puisque la suite(an)est bornée mais ne tend par vers 0 (car√3n’est pas un
nombre décimal).
On peut affirmerR= 1et la série entière diverge en1et−1. L’intervalle cherché
est donc]−11[.

Exercice 15 :[énoncé]
Pourx6= 0, posonsun=π√n2+2nx2n. Après calculsun+1→πx2doncR= 1√π.
un

Exercice 16 :[énoncé]
Série entière et série entière dérivée ont mme rayon de convergence. Etudions
alors le rayon de convergence dePcos((n+ 1)α)xn.(cos((n+ 1)α))est bornée
doncR>1et ne tend pas vers 0 doncR61et finalementR= 1.

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Corrections

Exercice 17 :[énoncé]
a) Pourt >1,e−tn→0avec06e−tn6e−t. Par convergence dominéeIn→0.
b) Par le changement de variableu=tnqui est unC1-difféomorphisme,
In=n1Z+1∞u1−nne−udu

Par convergence dominée,
Z+1∞u1−nne−udun−→−−−→Z+1∞eu−udu
+∞

donc
In∼n1Z+∞e−udu
1u
c) Par l’équivalent précédentR= 1et la série entière diverge en 1. Par application
du critère spécial des séries alternées, la série entière converge en−1.

Exercice 18 :[énoncé]
a) Par intégration par parties

puis

I(p)pq+ 1I(p−1 q+ 1)
q=

I(p q) = (p+qp!q+1)!!

b)
(n!2
un2(=n+)1)!etuunn+12(=n+(n2()2)+1n2+ 3)→41<1
doncPunconverge.
c) Par le calcul ci-dessusR= 4donc]−44[⊂ D ⊂[−44].
Par la formule de Stirling :
2πn2n+1e2n+1√2π2
e2np2π(2n+ 1)(2n+ 1)(2n+1)√2ne1+22n1+12nn+ 1
un∼=

et

2n2n+ 12n+1= exp(2n+ 1) ln1−2n1+1→1e

2n+1

donc
un22n√+1π√n

4nun∼ √π2√net par comparaison de séries à termes positifs,P4nundiverge.
4∈D.
vn= (−4)nun,(vn)est alternée,|vn| →0et
4(n+ 1)22n+ 2
vvnn+1(2n+ 2)(2n 2+ 3)n+ 3<1
= =
donc(|vn|)est décroissante.
Par application du critère spécial des séries alternées,Pvnconverge et donc
−4∈ D. FinalementD= [−44[. - 1 -

Exercice 19 :[énoncé]
Soulignons que les termes sommés pour définir la série entière ont un sens car
l’irrationalité deαdonne
∀n∈N?sin(nπα)6= 0

a) Puisque
1
|sin(nπα)|>1
la série entièrePsin(xnnπα)diverge grossièrement en 1 et doncRα61.
n>1
b) Par une récurrence facile, on montreun>npour toutn∈N?. On a alors
u1
unn+1=uu1n−16(n+ 1)n
n

c) On a

k=+nX∞+1u1k=un1+1++X∞+1uk1+161+X∞1 1
k=nun+1+k=n+1(k+ 1)kuk

et puisque la suite(un)est croissante
k+=X∞+u1k6un1+X∞1 1unK+1
n1 +1+k=n+1(k+ 1)kun+16
avec
+X∞1

K= 1 +k=1(k+ 1)k

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On en déduit
πun+X∞KπunKπ
uk6=
k=n+1un+1uunn−1
d) Considéronsm=un∈N?. Quandn→+∞, on a pourx >0
xm
sin(mπα)→ −∞

En effet

Or

et donc

d’où

nXu
mα=unkXn=1u1k+u+∞1
k=n+1k

n−1
uknXn=1u1k=k=nX1uunk= 1 +Xuun−1uunn−−21∙ ∙ ∙uk+1∈1 + 2N
k=1nuk
−sin(mπα) = sin"πunk+=nX∞+1u1k#

0nC−1
6−sin(mπα)6uun

Corrections

puis
xmxuun
sin(mπα)>C(unn)→+∞

On en déduit queP>1 sin(nxnπα)diverge pour toutx >0et doncRα= 0.
n
e) Par l’absurde, supposonsα∈Q. Il existe alors un entierq∈N?tel queqα∈N.
Pour toutn∈N, on a alorsqunα∈Nor

n1+X∞1
qunα=qunXuk+qunk=n+1uk
k=1

avec comme vu ci-dessus

On en déduit

n1
unX∈N
k=1uk

+∞1∈N
qunX
k=n+1uk

Or

C’est absurde.

0< qun+X∞u1k< qKun→0
k=n+1un+1

Exercice 20 :[énoncé]
a) On a
lnnn+ 1∼1
n
donc le rayon de convergence de la première série entière vaut 1.
Aussi
sin−n∼e−n
e
donc le rayon de convergence de la deuxième série entière vaute.
b) On sait qu’une série entière converge normalement sur tout compact inclus
dans son disque ouvert de convergence, mais en revanche elle ne converge pas
normalement sur ce disque. La série entièrePznest un contre-exemple car
R= 1etkz7→znk∞D(01)= 1

Exercice 21 :[énoncé]
La suite(an)est une suite récurrente linéaire d’ordre 2. Son terme général est
donné par
an=α+n(β−α)
Si(α β)6= (00)alorsR= 1
.
Si(α β) = (00)alorsR= +∞.

Exercice 22 :[énoncé]
a) Pourr∈]0 R[,Panrnconverge doncanrn→0et à partir d’un certain rang
N, on a|an|rn61.
b) Puisque
an! =Orn1n!
n
et que la série entièrePrn1n!znà un rayon de convergence+∞, on peut affirmer
quePnan!zna pour rayon de convergence+∞.
c) On a
n NN
|Sn|6X|ak|6X|ak|+nr−n
k=0k=0
et, comme ci-dessus,PnS!nzna pour rayon de convergence+∞.

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