Sujet : Analyse, Séries entières, Séries entières et équations différentielles

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Séries entières et équations différentielles Exercice 6 [ 01018 ] [correction] Former le développement en série entière en 0 de Exercice 1 [ 01013 ] [correction] x7→ sh(arcsinx) Soient p∈N et ! +∞X n+p nf(x) = x Exercice 7 CCP MP [ 03694 ] [correction]p n=0 a) Etudier la parité de Z xa) Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissant cette fonction. 2 2x /2 −t /2 0 f :x7→ e e dtb) Calculer f(x) en étudiant (1−x)f (x). 0 b) Montrer que f est solution d’une équation différentielle à déterminer. c) Justifier que f est développable en série entière et donner ce développement.Exercice 2 [ 01014 ] [correction] Soit f définie sur ]−1,1[ par arcsinx f(x) =√ Exercice 8 Mines-Ponts PC [ 01019 ] [correction] 21−x Former de deux façons le développement en série entière en 0 de a) Justifier que f est développable en série entière sur ]−1,1[. Z x 2 22 0 −x tb) Montrer que f est solution de l’équation différentielle (1−x )y −xy = 1. f :x7→ e e dt 0c) Déterminer le développement en série entière de f sur ]−1,1[. En déduire la relation ! ! nX k nn 2nExercice 3 CCP MP [ 03699 ] [correction] (−1) 4 = a) Quel est l’ensemble de définition de 2k+1 k n (2n+1) k=0 arcsinx f(x) =√ ? 21−x Exercice 9 Centrale MP [ 02481 ] [correction] On considère une suite réelle (u ) vérifiantb) Montrer que f est solution d’une équation différentielle linéaire du premier n n>0 ordre avec pour condition initiale f(0) = 0.
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Séries entières et équations différentielles

Enoncés

Exercice 1[ 01013 ][correction]
Soientp∈Net
f(x) =n+X=∞0n+p!xn
p
a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissant cette fonction.
b) Calculerf(x)en étudiant(1−x)f0(x).

Exercice 2[ 01014 ][correction]
Soitfdéfinie sur]−11[par
f(x a) =√nsirc1xx2

a) Justifier quefest développable en série entière sur]−11[.
b) Montrer quefest solution de l’équation différentielle(1−x2)y0−xy= 1.
c) Déterminer le développement en série entière defsur]−11[.

Exercice 3CCP MP[ 03699 ][correction]
a) Quel est l’ensemble de définition de

f(x arcsin) =x?
√1−x2

b) Montrer quefest solution d’une équation différentielle linéaire du premier
ordre avec pour condition initialef(0) = 0.
c) Trouver ce développement en série entière et en donner le rayon de convergence.

Exercice 4[ 01015 ][correction]
Former le développement en série entière en 0 de la fonction
x
f:x7→a√1rcc−osx2

Exercice 5[ 01017 ][correction]
Soientα∈Ret
f:x7→cos(αarcsinx)
a) Déterminer une équation différentielle d’ordre 2 dontfest solution.
b) En déduire un développement en série entière def.

Exercice 6[ 01018 ][correction]
Former le développement en série entière en 0 de

x7→sh(arcsinx)

Exercice 7CCP MP[ 03694 ][correction]
a) Etudier la parité de
x
2
f:x7→ex 2Z0e−t22dt
b) Montrer quefest solution d’une équation différentielle à déterminer.
c) Justifier quefest développable en série entière et donner ce développement.

Exercice 8Mines-Ponts PC[ 01019 ][correction]
Former de deux façons le développement en série entière en 0 de
x
f:x7→e−x2Zetdt
2
0
En déduire la relation

n
X(2k−+1)k1kn! 2nn!2=(n4n+ 1)
k=0

Exercice 9Centrale MP[ 02481 ][correction]
On considère une suite réelle(un)n>0vérifiant

un+2= (n+ 1)un+1−(n+ 2)unetu0=u1=−1
a) Calculer, avec un logiciel de calcul formel, les 10 premiers termes de la suite.
+∞
b) On posef(x) =Punxn. Trouverfà l’aide d’une équation différentielle.
n=0
+∞
c) On poseg(x) =Pnu!nxn. Trouvergà l’aide d’une équation différentielle.
n=0

Exercice 10[ 03659 ][correction]
a) Former une équation différentielle vérifiée par
f:x >−17→Z+∞dt
e−t
1x+t
b) En déduire le développable en série entière en 0 def.

1

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Enoncés

Exercice 11CCP MP[ 03301 ][correction]
Développerf(x) =ch(x) cos(x)en série entière en l’exprimant à l’aide de
fonctions exponentielles.
Retrouver le résultat en remarquant quefest solution de l’équation différentielle
y(4)+ 4y= 0.

Exercice 12CCP MP[ 02500 ][correction]
Soientk >0et
1
f(x) =Ztksin(xt)dt
0
a) Montrer quefest continue surR.
b) Montrer quefest dérivable surRet vérifie

∀x∈R xf0(x) + (k+ 1)f(x) = sinx

c) Déterminer toutes les fonctions développables en série entière en 0 solutions de
xy0+ (k+ 1)y= sinxen précisant le rayon de convergence.

Exercice 13CCP MP[ 02498 ][correction]
On considère l’équation différentielle

(E) :ty0+y= 3t2cos(t32)

a) Montrer qu’il existe une unique solutionvde(E)développable en série entière
sur un voisinage de 0.
b) Trouver l’ensemble des solutions de(E)surR+?et en déduire une expression
plus simple dev.

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) On a
1
n+pp!=n(n−1)p!(n−p+ 1)∼p!np

donc le rayon de convergence defvaut 1.
b) Sur]−11[fest de classeC∞et
pxn−1
f0(x) =n=+X∞1n+p!n

Corrections

Donc
(1−x)f0(x) =n+X=∞0(n+ 1)n+pp+ 1!xn−n+X=∞0nn+pp!xn=n+X=∞0αnxn

avec

qui donne

Par suite

p
αn= (n+ 1)n+pp+ 1!−npn+!

αn= (n+p+ 1)n+pp!−nn+pp!= (p+ 1)n

(1−x)f0(x) = (p+ 1)f(x)

Les solutions de l’équation différentielle linéaire d’ordre 1

sur]−11[sont

avecC∈R.
Sachantf(0) = 1, on obtient

(1−x)y0= (p+ 1)y

C
y(x (1) =−x)p+1

1
f(x) =
(1−x)p+1

+pp!

3

Exercice 2 :[énoncé]
a)x7→√112est développable en série entière sur]−11[et par suite la primitive
−x
x7→arcsinxl’est aussi. Par produit de fonctions développable en série entière sur
]−11[,fl’est aussi.
b)fest dérivable sur]−11[et

donc

1xarcsinx
f0(x) = 1−x2+1(−x2)32

(1−x2)f0(x)−xf(x) = 1

c) Puisquefest impaire, le développement en série entière defest de la forme
+∞+∞
f(x) =Panx2n+1. On af0(x) =P(2n+ 1)anx2npuis
n=0n=0

+∞+∞+∞
(1−x2)f0(x)−xf(x) =X(2n+ 1)anx2n−X(2n+ 1)anx2n+2−Xanx2n+2
n=0n=0n=0

donc

+∞
(1−x2)f0(x)−xf(x) =a0+X((2n+ 3)an+1−(2n+ 2)an)x2n+2= 1
n=0

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière

d’où

Puisque pourx

6= 0

on obtientR= 1.

= 1et∀n∈N2n+ 2
a0 an+1=2n+ 3an

22n(n!)2
an=2(n+ 1)!

ana+n1xx2n2n1+3+2=(n+(4n3)(2)1+n2x+22)→x2

Exercice 3 :[énoncé]
a) La fonctionfest définie sur]−11[.
b) On vérifie(1−x2)f0(x)−xf(x) = 1etf(0) = 0.

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Corrections

c)x7→√11x2est développable en série entière sur]−11[et par suite la primitive

x7→arcsinxl’est aussi.
Par produit de fonctions développable en série entière sur]−11[,fl’est aussi.
Puisquefest impaire, le développement en série entière defest de la forme

+∞
f(x) =Xanx2n+1
n=0

+∞
On af0(x) =P(2n+ 1)anx2npuis
n=0

+∞+∞+∞
(1−x2)f0(x)−xf(x) =X(2n+ 1)anx2n−X(2n+ 1)anx2n+2−Xanx2n+2
n=0n=0n=0

donc

+∞
(1−x2)f0(x)−xf(x) =a0+X((2n+ 3)an+1−(2n+ 2)an)x2n+2= 1
n=0

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière

d’où

Puisque pourx6= 0

on obtientR= 1.

a0= 1et∀n∈N an+122=nn+3+2an

an= 22n(n!)2
(2n+ 1)!

an+1x2n+3= 4(n+ 1)2x2→x2
anx2n+1(2n+ 3)(2n+ 2)

Exercice 4 :[énoncé]
fun développement en série entière en 0 par produit fonctionsadmet
développables en série entière.
De plus son rayon de convergence vérifieR>1.
On peut donc écrire
+∞
f(x) =Xanxnsur]−11[
n=0

fest dérivable etfest solution de l’équation différentielle

Or

(x2−1)y0+xy−1 = 0

+∞
(x2−1)f0(x) +xf(x)−1 =−(a1+ 1) +X(nan−1−(n+ 1)an+1)xn
n=1

Par identification
a1=−1et∀n>1 an+1=n+n1an−1
De plusa0=f(0) =π2donc
a2p= (2p2−p1)× ∙ ∙ ∙ ×1a0=2((2ppp))!!2π2eta2p+1=2p+2p1∙ ∙ ∙32a1=−(2pp!)2
2 (2p+ 1)!

Exercice 5 :[énoncé]
a)fest solution de l’équation

(1−x2)y00−xy0+α2y= 0

4

b)fest solution de l’équation différentielle ci-dessus et vérifie les conditions
initialesy(0) = 1ety0(0) = 0.
Analyse : SoitPanxnune série entière de rayon de convergenceR >0et de
sommeS.
La fonctionSvérifie sur]−R R[l’équation différentielle proposée et les conditions
initiales imposées si, et seulement si,
a0= 1 a1= 0et

On en déduit que

2 2
∀n∈Nann)−(αn+ 1)
+2(=n+ 2

)
a2p+1= 0eta2p= (4p2−α2(2)p(4!)−α2
SoitPanxnla série entière déterminée par les coefficients précédemment
proposés.
Dans le cas oùα∈2Z, les(a2p)sont nuls à partir d’un certain rang, donc la série
entièrePanxna un rayon de convergenceR= +∞.
Dans le cas oùα∈2Z, pourx6= 0etup=a2px2p, on a

up+1→ |x|2
up

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Corrections

donc la série entièrePanxna un rayon de convergenceR= 1.
Dans les deux cas, les calculs qui précèdent assure que la fonction somme de cette
série entière est solution de l’équation différentielle

(1−x2)y00−xy0+α2y= 0

vérifianty(0) = 1ety0(0) = 0. Par unicité des solutions à un tel problème
différentiel, on peut conclure quefest égale à la somme des cette série entière.

Exercice 6 :[énoncé]
Posonsf:x7→sh(arcsinx)
fvérifie l’équation différentielle

(1−x2)y00−xy0−y= 0

avec les conditions initialesy(0) = 0ety0(0) = 1.
Analyse :
SoitPanxnsérie entière de rayon de convergenceune R >0et de sommeS.
La fonctionSvérifie sur]−R R[l’équation différentielle proposée et les conditions
initiales imposées si, et seulement si,

a0= 0 a1= 1et∀n∈N an+2(=n+n22()+n+11)an

Ceci donne
p
Q (2p−1)2+ 1
a2p= 0eta2p+1=k=1(2p+ 1)!
Synthèse :
SoitPanxnla série entière déterminée par les coefficients précédemment
proposés.
Pourx6= 0etup=a2p+1x2p+1; on a

up+1 2
up→ |x|

donc le rayon de convergence de la série entière étudiée vaut 1. Par les calculs qui
précèdent on peut alors affirmer que sa sommeSest solution de l’équation
différentielle
(1−x2)y00−xy0−y= 0
vérifiant les conditions initialesy(0) = 0ety0(0) = 1. Par unicité des solutions à
un tel problème différentiel, on peut conclure quefest la somme des la série
entière introduite sur]−11[.

Exercice 7 :[énoncé]
a) La fonctionfest impaire car produit d’une fonction paire par la primitive
s’annulant en 0 d’une fonction paire.
b)fest solution de l’équation différentielle

y0=xy+ 1

5

c) La fonctiont7→e−t22est développable en série entière surR, ces primitives le
sont donc aussi et, par produit de fonctions développable en série entière, on peut
affirmer quefest développable en série entière surR. Par imparité, on peut
écrire ce développement
+∞
f(x) =Xanx2n+1
n=0
et l’équation différentielle donne

On en déduit

∀n∈N?(2n+ 1)an=an−1eta0= 1

2nn!
=
an(2n+ 1)!

Exercice 8 :[énoncé]
Pourx∈R
n
e−x2=+X∞(−1)x2n
n!
n=0
et par intégration de série entière
x+∞12n+1
Z0et2dt=n=X0n!(2n+ 1)x

donc
x
2n+1
e−xZ0et2dt=+X∞Xn(−1)n−k
n=0k=0(n−k)!k!(2k+ 1)x2
De plusfest solution de l’équation différentielle

+∞
doncf(x) =Panxnavec
n=0

f0(x) + 2xf(x) = 1

a0= 0 a1= 1et(n+ 2)an+2+ 2an= 0

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Ceci donne
−2 (−1)n4nn!
a2n= 0eta2n+12=n+ 1a2n−1=2(n+ 1)!
Par unicité des coefficients d’un développement en série entière

d’où

n−k( 1)n4nn!

=
kX=0(n−(k−!)1k!)n(2k+ 1) (2n+ 1)!

n24n
X=02((k−+)1k1)nk!= 4n(n!)=
(2n+ 1)!
k(2n+ 1)2n!
n

puis la relation voulue.

Corrections

Exercice 9 :[énoncé]
a) On définit la suiteupar une procédure récursive
u:=proc(n);
if n<=1 then RETURN(-1) else RETURN((n-1)*u(n-1)-n*u(n-2)) fi
end;
Si l’efficacité de cette procédure est discutable (cf. suite de Fibonacci), elle permet
de calculer facilement les 10 premiers de la suite(un)
seq(u(k), k=0..9);
b) On a
un+2xn= (n+ 1)un+1xn−nunxn−2unxn
En sommant pournallant de 0 à+∞, on obtient
f(x)−(f(x02) +f0(0)x)=f0(x)−xf0(x)−2f(x)
Orf(0) =u0etf0(0) =u1.
On parvient alors à l’équation différentielle

x2(x−1)f0(x) + (2x2+ 1)f(x) =−1−x

On résout cette équation.
dsolve(xˆ2*(x-1)*D(f)(x)+(2*xˆ2+1)*f(x)=-1-x, f(x));
La portion correspondant à la solution générale homogène n’est pas développable
en série entière en 0 à cause du termee−1x.
On en déduit qu’a priori
2+ 2x−1
f(x) =−x(x−1)3

6

Cette fonction rationnelle dont 0 n’est pas pôle est développable en série entière.
Puisqu’elle est solution de l’équation différentielle proposée les coefficients de son
développement en série entière vérifie la relation de récurrence proposée ainsi que
les conditions initiales imposées.
On peut aussi corroborer l’exactitude du développement par
series(-(xˆ2+2*x-1)/(x-1)ˆ3, x=0, 10);
c) On posevn=unn!et on vérifie

(n+ 2)(n+ 1)vn+2= (n+ 1)nvn+1+ (n+ 1)vn+1−(n+ 2)vn

ce qui conduit à l’équation différentielle

(1−x)g00(x)−(1−x)g0(x) + 2g(x) = 0

On résout celle-ci
dsolve((1-x)*D(D(g))(x)-(1-x)*D(g)(x)+2*g(x), g(0)=-1, D(g)(0)=-1,
g(x));

pour obtenir
g(x) = ex(x2−1)
Par le mme raisonnement que ci-dessus on valide la solution et on peut la
corroborer par Maple.

Exercice 10 :[énoncé]
a) Posonsu(x t) = e−t(x+t)définie sur]−1+∞[×[1+∞[.
Pour chaquex >−1,t7→u(x t)est continue par morceaux sur[1+∞[et
t2u(x t)−t−→−+−∞→0.
La fonctionfest donc bien définie sur]−1+∞[.
Pour chaquet>1,x7→u(x t)est dérivable et

∂∂xu(x t) =−(x+e−tt)2

La fonction∂xu∂est continue par morceaux ent, continue enxet pour touta >−1

∞[×[1+∞[ t  ∂u)−
∀(x t)∈[a+∂x(x6(a+ett)2=ϕa(t)

avecϕa: [1+∞[→R+continue par morceaux et intégrable par des arguments
analogues aux précédents.
On en déduit quefest de classeC1et
x) =−Z+∞e−t2dt
f0(1(x+t)

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Par intégration par parties, on obtient

Corrections


f0(x)−f(x) =−xe+11
b) Analyse : SoitPanxnune série entière de rayon de convergenceR >0solution
de l’équation différentielle précédente. Pour toutx∈]−R R[, on a

+∞+∞
X((n+ 1)an+1−an)xn=X(−1)n+1e−1xn
n=0n=0

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, on a

∀n∈N(n+ 1)an+1=an+ (−1)n+1e−1

Après résolution de la relation de récurrence

e−1n−1(−1)(n−1−k)k!
an=an0! +Xn!
∀n∈N
k=0
Synthèse : SoitPanxnla série entière déterminée par les coefficients précédents.
On a
n−1( 1)!|a0|+ e−1
|an|6|a0|+ e−1Xnn−! =
k=0
La suite(an)est bornée donc le rayon de convergenceRde la série entière est au
moins égal à 1 et, par les calculs qui précédent, on peut affirmer que la sommeS
de la série entière est solution de l’équation différentielle sur]−11[. En ajoutant
la condition initialea0=f(0), on peut affirmer quef(x) =S(x)sur]−11[par
unicité d’une solution à un problème de Cauchy pour une équation différentielle
linéaire d’ordre 1.

Exercice 11 :[énoncé]
On a
f(x41=)ex+ e−x eix+ e−ix14=e(1+i)x+ e(1−i)x+ e(−1+i)x+ e(−1−i)x

donc pour toutx∈R

+∞
f(x) =X(1 +i)n+ (1−i)n+(4n!−1 +i)n+ (−1−i)nxn
n=0

7

On a1 +i=√2eiπ4etc, donc
(1+i)n+(1−i)n+(−1+i)n+(−1−i)n= 2√2ncosn4π+ cos 3n4π= 4√2ncosn4πcosn
Finalement
+X∞2pcospπ+X∞(−1)q22q

f(x) = (2p)!2x2p=x4q
p=0q=0(4q)!
Retrouvons ce résultat, en exploitant l’équation différentielley(4)+ 4y= 0.
La fonctionfest développable en série entière surRpar produit de telles
fonctions. De plus, la fonctionfest paire donc le développement en série entière
defest de la forme
+∞
f(x) =Xanxn
n=0
Par l’équation différentielley(4)+ 4y= 0, on obtient

(n+ 4)(n+ 3)(n+ 2)(n+ 1)an+4+ 4an= 0
Puisquea0= 1,a1=a3= 0(par imparité) eta2= 0(par calculs), on obtient
(−1)q4qeta4q+1=aq+2=a4q+3= 0
a4q(4=q)!4
ce qui conduit au développement précédent.

Exercice 12 :[énoncé]
I) a)(x t)7→tksin(xt)est continue surR×[01]donc, par intégration sur un
segment,fest continue.
b)(x t)7→ddx(tksin(xt))est continue surR×[01]donc par intégration sur un
segment,fest de classeC1avec
1
f0(x) =Z0xt)dt
xtkcos(
On en déduit
Z

xf0(x) + (k+ 1)f(x) =1ddttksin(xt)dt= sinx
0
c) Par analyse synthèse, on obtient une seule fonction solution :

x+∞)!+1(−1(2n)n+ 2 +k)x2n+2
7→X2n
n=0(
de rayon de convergence+∞.

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Corrections

Exercice 13 :[énoncé]
a) Soitvla somme d’une série entièrePanxnde rayon de convergenceR >0.
La fonctionvest de classeC∞sur]−R R[et

Parallèlement, surR

+∞
tv0(t) +v(t) =X(n+ 1)antn
n=0

3t2cos(t32) =X2
+∞(−)1)!n3t3n+
n=0(2n

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière,vest solution de
(E)sur]−R R[si, et seulement si,

an+1=((−12n!))nn31+

Ainsi la fonctionvest déterminée de manière unique et de plus celle-ci existe
puisque le rayon de convergence de la série entière définie par lesanci-dessus est
R= +∞.
b)(E)est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 définie sur]0+∞[.
La solution générale homogène esty(t) =λt.
Par la méthode de la variation de la constante, on peut proposer la solution
particulière
y(t cos( 2) =t32) +tt32sin(t32)

et finalement la solution générale

y(t cos() = 2t32) +tt32sin(t32)+λt

Parmi les solutions, la seule pouvant tre prolongée par continuité en 0 ,et donc
correspondre àv, est celle obtenue pourλ=−2.

8

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