Sujet : Analyse, Séries entières, Sommation de séries entières

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Sommation de séries entières Exercice 6 [ 00999 ] [correction] Rayon de convergence et somme de Exercice 1 [ 00996 ] [correction] 2nX x Rayon de convergence et somme de 2n+1 n>0Xn−1 nx n! n>0 Exercice 7 [ 01000 ] [correction] Rayon de convergence et somme de Exercice 2 [ 03648 ] [correction] n nXRayon de convergence et somme de (−1) x 2n+1X n>0n+1 2n+1(−1) nx n>0 Exercice 8 [ 01001 ] [correction] Rayon de convergence et somme deExercice 3 [ 00997 ] [correction] Soit 2nX+∞ xnX (−1) n 2f :x7→ x 4n −1 n>0n(n−1) n=2 a) Déterminer l’intervalle de convergence de f. b) Exprimer la fonction f à l’aide des fonctions usuelles sur ]−1,1[ Exercice 9 Centrale MP [ 02448 ] [correction]c) Calculer f(1) et f(−1). Pour n> 0, on pose Z π/4 na = tan tdtn 0Exercice 4 [ 00998 ] [correction] Rayon de convergence et somme de a) Trouver la limite de (a ).n b) Trouver une relation simple entre a et a .n+2 nX (n+1)(n−2) n c) On posex n! ann>0 nu (x) = xn αn Donner la nature de la série de terme général u (x) en fonction de x et de α.n Exercice 5 Mines-Ponts MP [ 02845 ] [correction] d) On pose +∞Rayon de convergence et somme de X n f(x) = a xn +∞ 2n+1X n=1x 3n+2 Exprimer f à l’aide des fonctions usuelles.n=0 Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.
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Exercice 7[ 01000 ][correction]
Rayon de convergence et somme de

(−1)nxn
nX>02n+ 1

Exercice 6[ 00999 ][correction]
Rayon de convergence et somme de

Xx2n
n>02n+ 1

Sommation de séries entières

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Exercice 8[ 01001 ][correction]
Rayon de convergence et somme de

Xx2n
4n21

n>0

Exercice 5Mines-Ponts MP[ 02845 ][correction]
Rayon de convergence et somme de

+X∞x2n+1
n=03n+ 2

Xn−1n
n!x
n>0

Exercice 1[ 00996 ][correction]
Rayon de convergence et somme de

X(−1)n+1nx2n+1
n>0

Exercice 2[ 03648 ][correction]
Rayon de convergence et somme de

Exercice 4[ 00998 ][correction]
Rayon de convergence et somme de

n
X(n+ 1)n(!n−2)x
n>0

1

Enoncés

a) Trouver la limite de(an).
b) Trouver une relation simple entrean+2etan.
c) On pose
un(x) =naαnxn
Donner la nature de la série de terme généralun(x)en fonction dexet deα.
d) On pose
+∞
f(x) =Xanxn
n=1

Exercice 9Centrale MP
Pourn >0, on pose

[ 02448 ][correction]

an=Zπ4tanntdt
0

a) Déterminer l’intervalle de convergence def.
b) Exprimer la fonctionfà l’aide des fonctions usuelles sur]−11[
c) Calculerf(1)etf(−1).

Exercice 3[ 00997 ][correction]
Soit

+Xn(−1)nxn
f:x7→n=2(n−1)

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Exprimerfà l’aide des fonctions usuelles.

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Exercice 10Centrale MP[ 02449 ][correction]
Soit(an)la suite définie par
a0= 1etan=n!1Z10nk−=Y10(t−k) dtpourn∈N?
a) Rayon de convergence dePanxn.
b) Somme dePanxn.

Exercice 11Centrale MP[ 02454 ][correction]
Convergence et calcul de la série entière+P∞anxnoùan=R01(1−t2)ndt.
n=0

Exercice 12Centrale MP[ 02482 ][correction]
On considère les sommes :
S1 1 1 1= 1
1×31+5×+79×1+11∙ ∙ ∙etS21=×3−5×7+9×11− ∙ ∙ ∙

a) Calculer la première somme avec Maple. Constater qu’il ne calcule pas la
deuxième.
b) On cherche à calculerS2. On noteanle terme général de cette série.
Calculer le rayon de convergenceRdePanzn.
c) Exprimer
+∞(−1)nx4n+1et+X∞(−41)nn+x43n+3
X4n1
n=0+n=0
pourx∈]−R R[.
d) ExprimerS2à l’aide d’une intégrale que l’on calculera avec Maple.

Exercice 13Centrale MP[ 02484 ][correction]
a) Décomposer
1

1−X6

en éléments simples surR.
b) Calculer
Z0x1−dtt6
quand cette intégrale est bien définie.

Enoncés

c) Calculer, pourx∈]01[,

d) Que vaut

+∞xn
n=X06n+ 1

+X∞(6n−)1+n1?
n=0

Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02847 ][correction]
a) Déterminer le rayon de convergenceRde

n>X01×3× ∙ ∙ ∙n!×(2n+ 1)xn

b) Pourx∈]−R R[calculer la somme précédente.

Exercice 15Mines-Ponts MP[ 02846 ][correction]
Pourn∈N, on pose
n!
an=1×3× ∙ ∙ ∙ ×(2n+ 1)

+∞
Rayon de convergence et somme de la série entièrePanxn?
n=0

Exercice 16CCP MP[ 02559 ][correction]
a) Montrer que le rayon de convergence de la série entière de terme général
n(−1)nxnest 1.
b) Calculer sa somme.

Exercice 17[ 03791 ][correction]
Etude et expression de la série

+∞
Xn(−1)nxn
n=0

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Exercice 18CCP MP[ 00075 ][correction]
Calculer
+∞x3n
S0(x) =n=X0(3n)!
(on pourra calculerSk(x) =+P∞(3nx3n++kk)!pourk∈ {012})
n=0

Enoncés

Exercice 19CCP MP[ 02414 ][correction]
SoientPanxnetPbnxndeux séries entières de rayons de convergenceRetR0.
a) Déterminer le rayon de convergence et la somme dePcnxnavec
n
cn=Pakbn−k.
k=0
b) Déterminer le rayon de convergence et la somme de
X
n>1121+3++1∙ ∙ ∙+ 1nxn

Exercice 20CCP MP[ 02565 ][correction]
Trouver le rayon de convergence de
shn
nX>1n(n+ 1)xn

Calculer la somme dans le bon intervalle.

Exercice 21CCP MP[ 02551 ][correction]
Calculer
1
=Z0(1−t)ndt
antn
pourn∈N?.
Calculer le rayon de convergence de la série entièrePanxn.
Calculer la somme de cette série entière sur l’intervalle ouvert de convergence.

Exercice 22[ 02607 ][correction]
Pourn>0, on pose
π
an=Z04tanntdt

a) Trouver la limite de la suite(an).
b) Donner une relation simple entrean+2etan.
c) On posef(x)la somme de la série entière

+∞
Xanxn
n=0

Déterminer l’intervalle de définition def.
d) Exprimerfà l’aide des fonctions usuelles.

3

Exercice 23CCP MP[ 02534 ][correction]
On pose
∀θ∈R,∀n∈N,an= cos(nθ)
+∞
a) CalculerPanxnpour toutx∈]−11[.
n=0
b) Montrer que pour toutθ6=kπ,Pan+n1converge et exprimer sa somme à l’aide
d’une intégrale.
c) Calculer cette intégrale pourθ∈]0 π[.

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Corrections

donc

Z

Donc

puis

+∞−1)n+1nx2n+1=x×(1 +x2x2)2x3
X + (1( =x2)2
n=0

+∞
=X(−1)nnxn
xf0(x) =−(1 +xx)2n=0

f(x+11=)x=n+=X∞0(−1)nxn

ln(1 +x)dx= (1 +x) ln(1 +x)−x+C

Puisquef(0) = 0, on conclut

f(x) = (1 +x) ln(1 +x)−x

or

doncR= +∞.
Pourx∈R,

Exercice 1 :[énoncé]
Pourx6= 0,

n xn+1 n−1→0
(n+ 1)!xnn!

Corrections

(−)1(−n1+)2n(+n1n+ 1)xx22nn+31+→x2
 

Exercice 2 :[énoncé]
Pourx6= 0,

doncR= 1.
Pourx∈]−11[

+∞
+∞xn n
+X∞nn−!1xn=X−Xxn (! =x−1)ex
n=0n=1(n−1)!n=0

Exercice 5 :[énoncé]
.
Pourx6= 0, posonsun=x32nn++21.unu+n1→x2doncR= 1
La fonction sommeSest impaire, on se limite alors àx >0.

S(x+3X∞x3n+2
√x2) =n=03
n+ 2

n>X0(n+ 1)n(!n−2)xn=Xxn−n2)!−2Xnxn (! =x2−2)ex
n>2(n>0

donc

n
f0(x) =+X∞(n−−11)xn−1=+X∞(−1n)n+1xn= ln(1 +x)
n=2n=1

Exercice 3 :[énoncé]
a) NotonsDl’intervalle de convergence de cette série entière.
Le rayon de convergence étant1on en déduit :]−11[⊂ D ⊂[−11].
De plusn((−n1−)n1)∼n12doncf(1)etf(−1)existe. AinsiD= [−11].
b) Sur]−11[,fest de classeC∞et

+∞x3n+2
X03n+ 2 =Z0nx=+X∞0t3n+1dt=Z0x1−tt3dt
n=

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sur]−11[.
c)
1 1
∀x∈[−11]n((−n1−)n1)xn6∼
n(n−1)n2
donc la série de fonctions définissantfconverge normalement sur[−11]et par
suitefest continue.

et

Exercice 4 :[énoncé]
ClairementR= +∞.
n(n−1)−2
X(n+ 1)n(!n−2)xn=Xn2−nn!−2xn=Xn!xn
n>0n>0n>0

f(1) =xli→m1−f(x) =xli→m1−((1 +x) ln(1 +x)−x ln 2) = 2−1

f(−1) =x→li−m1+f(x) =xl→i−m1+((1 +x) ln(1 +x)−x) = 1

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Corrections

doncS(x) =x413R0x231−tt3dtet il ne reste plus qu’à décomposer en éléments
simples etc.
(x 6) =x43lnxx4433−2+xx22331+1+−x431√3arctan2x2√3+13−π6
S1

Exercice 6 :[énoncé]
Pourx6= 0, posons

2xn2+n16= 0
un=

Puisque
un+1→ |x|2
un
on obtientR= 1.
PosonsS(x) =+P∞2xn2+n1définie et de classeC∞sur]−11[.

n=0
On a
S(x) =+X∞x2n+1
x
2n+ 1
n=0
Puisque cette somme est aussi la somme d’une série entière de rayon de
convergence 1, on peut dériver terme à terme et affirmer sur]−11[

(xS(x)+∞1
0
) =Xx2n1=−x2
n=0

Par intégration, on obtient sur]−11[ {0}

S(x+1l12)=x
n
x1−x

en prenant soin d’étudier les valeurs en 0 du premier membre et du prolongement
par continuité du second.

Exercice 7 :[énoncé]
Par la règle de d’Alembert, on obtientR= 1.
Posons
S(x) =+X∞(−1)nx1n
2n+
n=0

On a

On en déduit

xS(x2) = arctanx

arctan√x
S(x) =√pourx >0

x
On a aussi
+∞1
xS(−x2) =X2nx2n++nl+1=1211−xx
n=0
donc
1
S(x2)√−x11+ln−√−√−xxsix <0
=
Enfin, pourx= 0,S(0) = 1.

Exercice 8 :[énoncé]
ClairementR= 1.
Posons

+∞x2n
S(x) =X4n2−1
n=0
Par décomposition en éléments simples
1
4n2−1122n1−1−2n+11
=

On en déduit

x2−1x
+∞x2 +X∞2xn2n1 =−4+21x1nl1−+x
S(x12)=n=X02n−n1−21n=0+

Exercice 9 :[énoncé]
a) Par convergence dominée par la fonctionϕ:t7→1, on obtientan→0.
b) On a
41
an+an+2=Zπ(tant)0(tant)ndt=
0n+ 1
c) Par monotoniean+an+262an6an+an−2. On en déduitan1puis

2n
un(x)∼2nxnα+1.
Le rayon de convergence de la série entièrePanxnest donc égale à 1.
Pourx= 1,Pun(x)converge si, et seulement si,α >0.

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Corrections

puis

6

doncR>1.

−1
|an|=n1!Z01tnY(k−t) dt6n!1Z01nkY−11=kdt6n1
k=1

Exercice 10 :[énoncé]
a) On a

On en déduit

|an|>n1Z10n−11)
!t(1−t)×Y(k)d 1
k=2−1t>4n(n−

1 12 12
=−
(4n+ 1)(4n+ 3) 4n 4+ 1n+ 3

S2=n+X∞0an=12Z11−t2
= 01 +t4dt

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doncR61. FinalementR= 1.
b) Soitx∈]−11[.


S(x) =n+=X∞0anxn=+X0Z01n!1nk=Y−01(t−k)xndt
n=

or par convergence uniforme de la suite de fonctions de la variabletsur[01]
(convergence uniforme obtenue par convergence normale grâce à|x|<1) on peut
permuter somme et intégrale.
Y(t−k)xndt
S(x) =Z01n+=X∞0n!1n−1=Z01(1 +x)tdt=(1ln++1(x)xt)tt0=1=1(nl=x+x)
k=0

On en déduit

Exercice 12 :[énoncé]
a) On calculeS1
sum(1/(4*n+1)/(4*n+3), n=0..infinity);
On obtientS1=π8. On calculeS2
sum((-1)ˆn/(4*n+1)/(4*n+3), n=0..infinity);
L’expression obtenue est une expression dehypergeom.
b)an∼(−1)n16n2doncR= 1.
c) En considérant les séries entières dérivées
n+X=∞0(−1)nx4n+1Zx+dtt4etn+X=∞0(−4)1nn+x43n+3=Z0x1t2+dtt4
=
4n+ 101
d) Par un argument de convergence uniforme sur le segment[01], on obtient
n+X=∞0(4n−+)1n1 =Z01d+1tt4et+X∞(4n−1)+n3 =Z1t2dt
n=0 01 +t4
Par décomposition en éléments simples,

−xl
f(x) = n(1−xx2)+1+π4+x22nl

f(x) +f(x)−4π−l2n2xln(1−x)
=−
x2x

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+∞
Xan+2xn+anxn=−ln(1x−x)
n=0

Pourx=−1,Pun(x)diverge grossièrement siα6−1.
Pourα >−1,2Pn(−k1α)kak=α+Pn(−k1α)k(ak+ak+2) +o(1)
k=1k=1
OrPn(α−(n+1)n1)converge par application de critère spécial des séries alternées (car
nα(n+1)décroît vers 0 pournassez grand) doncPun(x)converge.
n7→1
=1a
d) Puisquean+an+2n+1, on

Exercice 11 :[énoncé]
A l’aide d’une intégration par partie :
an+1= 2(n+ 1)R10t2(1−t2)ndt= 2(n+ 1)(an−an+1)doncan+1=22nn32++an.
an6= 0etan+1→1doncR= 1.
an
+∞+∞1((1−t2
Pourx∈]−11[,Panxn=P R0)x)ndt.
n=0n=0
On peut permuter somme infinie et intégrale (par un argument de convergence
+∞
uniforme par exemple) et affirmerPanxn=Rd01t
n=0 1−x+xt2.
+∞
Pourx= 0:Panxn= 1.
n=0
Pourx >0:Panxn=
+∞1R1dt√x(11−x)arctanq1−xx.
n=0=x01−x x+t2
+∞
Pourx <0:Panxn=1xR01t2−dtx−x1=√x1(x−1)argthqx x−1.
n=0

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On calcule cette intégrale
int((1-tˆ2)/(1+tˆ4), t=0..1);
On obtient
√2 2 +
S2 2= ln−√√22
8
Par une évaluation numérique via l’instructionevalf, on peut observer
l’exactitude de cette formule.

Corrections

Exercice 13 :[énoncé]
a) On obtient la décomposition en éléments simples par
convert(1/(1-Xˆ6), parfrac, X);
b) On peut calculer l’intégrale par
int(1/(1-tˆ6), t=0..x);
Le résultat obtenu est cependant décevant car présente un nombre complexe et un
logarithme calculé sur un réel strictement négatif.
En décomposant le calcul par la décomposition en éléments simples précédente et
en isolant le problème ci-dessus, on obtient
R0x1−dtt6=6ln11−+xx+√63arctan2x√13++ arctan2x√−31.
1
c) PosonsS(x) =+P∞xnOn a(xS(x6))0=+P∞x6n=1−1x6sur]−11[.
n=0n+1.n=0
6
doncS(x) =6√1xR06√x1−dtt6pourx∈]01[.
d) En écrivantnPN6=0(−n+11)n=R10nPN=0(−1)nt6ndt=R0d1+1tt6+ (−1)NR01t6(N)61+dt
1+t
avec06R10t61(+Nt+1)6dt6R01t6(N+1)dt→0, on obtient+P∞(6−n1)1+n=R+d011tt6.
n=0
On obtient la valeur de cette intégrale en écrivant
int(1/(1+tˆ6), t=0..1);

Exercice 14 :[énoncé]
a) Posonsan=1×3×∙∙∙n×!(2n+1)6= 0.anan+1=2nn3++1→12.R= 2.
b) On sait que
2n
π2sin2n+1(t)dt=n!
Z01×3× ∙ ∙ ∙ ×(2n+ 1)
donc

+∞n+=X∞0Zπ2xnn2n+1(t)dt
Xanxn=02nsi
n=0

Par convergence uniforme,
2 +∞nint
n+X=∞0Z0π22xnnsin2n+1(t)dt=Z0nπ=02n+1( )dt=Z0π2 s
Xxnsin2t2n2dt
2−xsit

Ainsi
X=
+∞anxnZ0π2(2−x)+sinxtcos2tdt=Z01(2−xd)u+xu2
n=0
puis
six >0alors
n+X=∞0anxn=px2(2−xanctar)r2−xx

Six <0alors

th−x
n=+X∞0anxn=p−x(22−x)argr2−x

7

Exercice 15 :[énoncé]
On aan+1=2nn+1+3an. Par application de la règle de d’Alembert, on obtientR= 2.
La relation(2n+ 3)an+1−(n+ 1)anaveca0= 1permet d’affirmer que la somme
Sde la série entièrePanxnest solution sur]−22[de l’équation différentielle

x(x−2)S0(x) + (x−1)S(x) + 1 = 0

La recherche de solution définie et continue en 0 donne
S(x) = arcsipn(xx(2−−1x)+)2πpourx >0

et

1
S(x) = arpgcxh((−x)pourx <0
x−2)

Exercice 16 :[énoncé]
a)n(−1)n6 →0doncR61etn(−1)n=O(n)doncR>1. AinsiR= 1.
b) Sur]−11[,
+∞+∞+∞
Xn(−1)nxn=X2px2p+X1x2p+1
n=0p=1p=02p+ 1
avec absolue convergence des séries engagées.

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Puisque

on a

De plus

donc

Exercice 17 :[énoncé]
Posons

101
p+X=∞1pyp−11−y(1−y)2
= =

+∞
X2px2p= 2x2
p=1(1−x2)2

+∞
x2p+1
pX=02p1+=1argthx

+∞2x2
n
=
n=X0n(−1)nx(1−x2)2+argthx

un(x) =n(−1)nxn

Corrections

Pourx∈[01[, on aun(x)→0et pourx=±1,(un(x))ne tend pas vers 0.
Le rayon de convergence de cette série entière vaut doncR= 1et l’intervalle de
convergence est]−11[.
Pourx∈]−11[, on peut décomposer la somme en deux

D’une part

et d’autre part

+∞+∞+∞1
x2p+1
nX=0un(x) =p=X0(2p)x2p+pX02p+ 1
=

+∞
=
pX02p1+1x2p+1argth(x)
=

p+=X∞0(2p)x2p=x1−1x20=(1−2xx22)2

Exercice 18 :[énoncé]
Les séries entières définissantS0 S1etS2sont de rayons de convergenceR= +∞.

Pourx∈C, on a

On a aussi

+∞n
S0(x) +S1(x) +S2(x) =Xnx exp(! =x)
n=0

+∞(jx)n
S0(x) +jS1(x) +j2S2(x) =Xn exp(! =jx)
n=0

et
+∞j2x)n
S0(x) +j2S1(x) +jS2(x) =X(n! exp(j2x)
=
n=0
En sommant ces trois relations, on obtient
S0(x31=)exp(x) + exp(jx) + exp(j2x)

Exercice 19 :[énoncé]
a) Par produit de Cauchy de séries absolument convergentes, pour
|x|<max(R R0),Pcnxnest absolument convergente et
n+=X∞0cnxn=n+X=∞0anxn! n+X∞bnxn!
=0
Ainsi le rayon de convergenceR00dePcnxnvérifieR00>min(R R0).
En revanche, on ne peut facilement rien dire de plus de façon générale. Par
exemple1−xet1se développent en série entière de rayons de convergence
1−x
+∞et 1 et leur produit de Cauchy est de rayon de convergence+∞. . .
b) Puis1∼llementR= 1.
Sil’onpquosee1ak+21=+1k∙p∙o∙u+rnk>n1ent,bokn=ob1fanptoieturkci>0alors

n n1
Xakbn−k=Xk
k=1k=1

Par suite, pour|x|<1,
n=+X∞12++1∙ ∙ ∙+ 1nxn=n=+X∞1nxnn+=X∞1xn=−1(nl1−−xx)
1

8

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Exercice 20 :[énoncé]
Par la règle de d’Alembert,R= 1e.
Sur[−1e1e],
n+=X∞1n(snh+n1)xn=21n+=X∞1n((nex+)n1)−n=+X∞1(xe)n)!
n(n+ 1

Or sur]−11[,

+∞yn
+X∞yn=X−n+X=∞1ny+n1 =−ln(1−y) + 1y(ln(1−y) +y)
n=1n(n+ 1)n=1n

Cette identité pouvant tre prolongée en−1et en 1 par continuité.
Cela permet alors d’expliciter la somme cherchée.

Exercice 21 :[énoncé]
Par intégration par parties successives
1
an=Ztn(1−t)ndt2(=(nn+)!21)!
0

Puisqueana+n1→14on aR= 4.
Pour|x|<4, par convergence normale
f(x) =Z011−t(1dt−t)x=Z10xt2−dtxt+ 1

Six∈]04[,

Six∈]−20[,

Six= 0,f(x) = 1.

f(x) =px4(4−xnatrc)ar4−xx

f(x) =px(x4−4)argthrxx−4

Exercice 22 :[énoncé]
a) Par convergence dominée par la fonctionϕ:t7→1, on obtientan→0.

Corrections

b) On a
π
an+an+2=Z04(tant)0(tant)ndt=n+11
c) Par monotoniean+an+262an6an+an−2. On en déduit
1
an∼2n
Le rayon de convergence de la série entièrePanxnest donc égale à 1.
Pourx= 1,Pande l’équivalent précédent et par comparaisondiverge en vertu
de séries à termes positifs.
Pourx=−1,P(−1)nanen vertu du critère spécial des séries alternées, la suite
(an)étant notamment décroissante.
Ainsi la fonctionfest définie sur[−11[.
d) Puisquean+an+2=n1+1, on a

+∞
+X∞an+2xn+1+anxn+1=Xxnn=−ln(1−x)
n=0n=1

pourx∈[−11[. Or

+X∞an+2xn+1+anxn+1=x1(f(x)−a0−a1x) +xf(x)
n=0

donc
π
f(x) =x21+142n2+lx−xln(1−x)
pourx6= 0et aussi pourx= 0par continuité.
On peut aussi procéder à une permutation somme intégrale pour parvenir à
4dt
Z0π1−xtant

9

Exercice 23 :[énoncé]
a)
cosθ
n+X=∞0anxn=Ren=+X∞0xeiθn!=Re1−1xeiθ=1−12x−cxosθ+x2
b)
+∞
nXN=0con(s+nθ1)=Z10nN=X0cos(nθ)xndx=Z011−12x−cxocosθs+θx2dx−Z10Xcos(nθ)xndx
n=N+1

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

avec
Z01n=+NX∞+1cos(nθ)xndx6Z1|1x−Nx+e1iθ|dx
0
doncPcon(s+n1θ)converge et

Z1|sxinNθ|dx
6
0

1
6(N+ 1)|sinθ|

n=+X∞0con+(sn1θ)=Z101−21x−cxosocθs+θx2dx

c) Par les démarches classiques

+X∞cons(+nθ=1)π2−θ
n=0

sinθ−cosθln2 sinθ2

Corrections

→0

10

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