Sujet : Analyse, Séries numériques, Application des séries à l'étude de suites

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Application des séries à l’étude de suites Exercice 5 [ 01074 ] [correction] nn!eMontrer que u = a une limite non nulle.n n+1/2n Exercice 1 [ 01070 ] [correction] Calculer la limite de Exercice 6 [ 01075 ] [correction] Soit1 1 1 1 1 n ku = 1 + +··· + − + +··· + Yn (−1)22 n n + 1 n + 2 n √P = 1 +n k k=2 Montrer qu’il existe λ∈R tel queExercice 2 [ 01071 ] [correction] λSoit a> 0. e P ∼√na) Déterminer la limite de la suite de terme général n a(a + 1)... (a +n− 1) u =n n! Exercice 7 [ 01076 ] [correction] Soit (u ) une suite complexe terme général d’une suite absolument convergente.nb) Quelle est la nature de la série de terme général u ?n nQ a) Montrer que P = (1 +|u|) convergen k k=1 nQExercice 3 [ 01072 ] [correction] b) Montrer que Π = (1 +u ) converge en exploitant le critère de Cauchy.n kPour tout n∈N, soit k=1 (2n)! u =n n 2(2 n!) Exercice 8 [ 01077 ] [correction] a) Déterminer un équivalent de Etudier la limite de Z 1 n(1−u) − 1 lnu − lnun+1 n u = du + lnnn u0 En déduire que u → 0.n √ b) En s’inspirant de ce qui précède, établir que nu →C > 0 (on ne chercheran Exercice 9 [ 01078 ] [correction] pas expliciter la valeur de C). Soient 0 0 tel quen 2 n n n(2 n!) Aa) Déterminer un équivalent de lnu − lnu . En déduire que u → 0.n+1 n n u ∼P n b−anb) Montrer que nu → +∞. En déduire la nature de la série u .n n unc) On pose v = . En observant et en sommant les égalitésn c) On suppose b−a> 1.
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Application des séries à l’étude de suites

Exercice 1[ 01070 ][correction]
Calculer la limite de
1
1+12+∙ ∙ ∙nn1++1n1+2+∙ ∙ ∙+n12
un= +−

Exercice 2[ 01071 ][correction]
Soita >0.
a) Déterminer la limite de la suite de terme général

un=a(a+ 1)  (a+n−1)
n!

b) Quelle est la nature de la série de terme généralun?

Exercice 3[ 01072 ][correction]
Pour toutn∈N, soit
2n)!
un2(=(nn!)2

a) Déterminer un équivalent de

lnun+1−lnun

Enoncés

En déduire queun→0.
b) En s’inspirant de ce qui précède, établir que√nun→C >0(on ne cherchera
pas expliciter la valeur deC).

Exercice 4[ 01073 ][correction]
Pour toutn∈N, on pose
(2n)!
un2(=nn!)2
a) Déterminer un équivalent delnun+1−lnun. En déduire queun→0.
b) Montrer quenun→+∞. En déduire la nature de la sériePun.
c) On posevn=nu+n1. En observant et en sommant les égalités
n
(2k+ 4)vk+1= (2k+ 1)vkcalculerTn=Pvken fonction denetvn+1. En
k=0
déduire la valeur de
+∞
un
n=X0n+ 1

Exercice 5[ 01074 ][correction]
n!enmite non nulle.
Montrer queun=nn+12a une li

Exercice 6[ 01075 ][correction]
Soit
k
Pn=kYn=21 + (√−1k)
Montrer qu’il existeλ∈Rtel que
λ
Pn∼e√n

Exercice 7[ 01076 ][correction]
Soit(un)suite complexe terme général d’une suite absolument convergente.une
n
a) Montrer quePn=Q(1 +|uk|)converge
k=1
n
b) Montrer queΠn=Q(1 +uk)converge en exploitant le critère de Cauchy.
k=1

Exercice 8[ 01077 ][correction]
Etudier la limite de
uZ10(1−uu)n−1du+ lnn
n=

1

Exercice 9[ 01078 ][correction]
Soient0< a < bet(un)une suite strictement positive telle que pour toutn∈N,
un+1n+a
=
unn+b
a) Montrer queun→0. On pourra considérerlnun.
b) Soientα∈Retvn=nαun. En étudiant(vn), montrer qu’il existeA >0tel que
A
un∼nb−a
c) On supposeb−a >1. En écrivant

calculer

(n+ 1)un+1−nun=aun+ (1−b)un+1

+∞
Xun
n=0

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Exercice 10[ 01079 ][correction]
Pourα∈RZ−?, on considère(un)n>1définie par

u1= 1etun+1= (1 +αn)un

a) Pour quel(s)β∈Ry a-t-il convergence de la série de terme général
vn= ln(n+n1β)unβun+1
?

b) En déduire qu’il existeA∈R+?pour lequelun∼Anα.

Exercice 11[ 01080 ][correction]
Soit(un)une suite de réels strictement positifs telle que
un+1
= 1 +α+On12, avecα∈R
unn

a) Pour quel(s)β∈Ry a-t-il convergence de la série de terme général

vn= ln (n+n1β)uβun+1?
n

b) En déduire qu’il existeA∈R+?pour lequel

un∼Anα

Exercice 12Centrale MP[ 02429 ][correction]
On fixex∈R+?. Pourn∈N?, on pose

n!nnYln1 +kx
un=
x
k=1

a) Etudier la suite de terme généralln(un+1)−ln(un).
En déduire que la suite(un)n>1converge et préciser sa limite.
b) Etablir l’existence deα∈Rtel que la série de terme général :
ln(un+1)−ln(un)−αln 11 +n
converge.
c) Etablir l’existence deA∈R?tel queun∼Anα.
d) Etudier la convergence de la série de terme généralun.

Enoncés

Exercice 13Mines-Ponts MP[ 02784 ][correction]
Soitu0∈]02π[puis
∀n∈N un+1= sin (un2)
a) Montrer que(un)tend vers 0.
b) Montrer quelim(2nun) =Apour un certainA >0.
c) Trouver un équivalent simple de(un−A2−n).

Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02809 ][correction]
On pose
1 1 1
an=n+ 1 +n ++ 2∙ ∙ ∙+3n
a) Montrer que la suite(an)converge et trouver sa limiteλ.
b) Trouver un équivalent simple dean−λ.

Exercice 15X MP[ 03047 ][correction]
Soit(un)une suite complexe telle que pour toutp∈N?,upn−un
affirmer que la suite(un)converge ?

→0. Peut-on

2

Exercice 16Centrale MP[ 02418 ][correction]
Former un développement asymptotique à trois termes de la suite(un)définie par

u1= 1et∀n∈N?un+1= (n+unn−1)1n
,

Exercice 17X MP[ 02949 ][correction]
Etudier la limite quandn→+∞de
kXn=1nkn

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Posons
1
Hn+=12+∙ ∙ ∙+ 1 = lnn+γ+o(1)
n
On observe

un= 2Hn−Hn2= 2(lnn+γ+o(1))−ln(n2)−γ+o(1)→γ

Exercice 2 :[énoncé]
a)un>0et

lnun=Xnln1 +ka−1

k=1
Sia= 1alorsun= 1→1,.

Sia >1alors
−1a−1
ln1 +kak

donclnun→+∞puisun→+∞.
Sia <1alorslnun→ −∞et doncun→0.
b) Sia>1il y a divergence grossière de la série.
Sia∈]01[alors
lnunn (1 =
Xa−k a−1)
∼lnn
k=1
et donc
ln(kun) = lnk+ (a−1) lnk+o(lnk)∼alnk→+∞
Ainsikun→+∞et à partir d’un certain rangun>1k.
La série de terme généraluns’avère divergente

Exercice 3 :[énoncé]
a) On a
lnun+1−lnun= lnuun+n122nl=nn=l+21+1−2n2+11
n∼ −
2n
La sériePlnun+1−lnuntend vers−∞donclnun→ −∞puisun→0.
b) Posonsvn=√nun.

Corrections

lnvn+1−lnvnnl=211 + 1n+ lnun+1−lnun=On12
La sériePlnvn+1−lnvnconverge et donc la suitelnvnaussi.
En posant`sa limite, on obtient√nun→CavecC= e`>0.
Notons qu’évidemment, on aurait aussi pu résoudre cet exercice à l’aide de la
formule de Stirling.

Exercice 4 :[énoncé]
a)lnun+1−lnun= lnuunn+1= ln22nn1+2+= ln1−2n2+1∼ −21n. La série
Plnun+1−lnuntend vers−∞donclnun→ −∞puisun→0.
b)ln(n+ 1)un+1−lnnun= ln2n2n+1∼21n. La sériePln(n+ 1)un+1−lnnun
tend vers+∞donclnnun→+∞puisnun→+∞. A partir d’un certain rang
nun>1doncPundiverge.
c)(2k+ 4)vk+1= 2uk+1=2kk1+1+uk= (2k+ 1)vken sommant pourk∈ {0     n}
et en simplifiant, on obtient :Tn= 2−(2n+ 6)vn+1doncTn→2.

3

Exercice 5 :[énoncé]
Après calculslnun+1−lnun=O(1n2)donclnunconverge et on peut conclure.

Exercice 6 :[énoncé]
ln(Pn) =nkP=2ln1 +(√−1k)kavec
ln (1 +√−1k)k= (√−1k)k−12k+Ok1√k

donclnPn=−21lnn+λ+o(1)puisPeλ
n∼√n.

Exercice 7 :[énoncé]
n n+∞
a)(Pn)est croissante etlnPn=Pln(1 +|uk|)6P|uk|6P|uk|<+∞donc
k=1k=1k=1
(Pn)est majorée.
Par suite(Pn)convergente.
m
b)|Πm−Πn|=|Πn|Q(1 +uk)−1or|Πn|6Pnet lorsqu’on développe
k=n+1
m
l’expressionQ(1 +uk)−1on obtient une expression polynomiale en les
k=n+1

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un+1     umà coefficients positifs qui est inférieure en module à la mme
expression obtenue en les|un+1|    |um|. Ainsi :
m m
Q(1 +uk)−16Q(1 +|uk|)−1.
k=n+1k=n+1
Ainsi|Πm−Πn|6|Pm−Pn|et donc(Πn)est de Cauchy.

Exercice 8 :[énoncé]

puis

doncun→ −γ

−uu)n−1du=−Z10vvn−−1=101n−X1
Z01(1−Zk=0vkdv

Z1(1−uu)n−d1u=−kXn11k=−lnn−γ+o(1)
0
=

Corrections

Exercice 9 :[énoncé]
a)
a−b
lnun+1−lnun= ln1 +a−bn∼
n
est le terme général d’une série divergeant vers−∞. Par suitelnun→ −∞et
doncun→0.
b)
1
lnvn+1−lnvn=αlnn+ ln1 +a−bn=α+an−b+On12
1 +
donc pourα=b−a, la série deslnvn+1−lnvnconverge. Par suitevnconverge
vers un réelA >0et alors
A

c) On a


unnb−a

(b−a−1)un= (1−b)(un+1−un)−((n+ 1)un+1−nun)

donc par télescopage

+∞
Xun=bb−−a1−1u0
n=0

4

Exercice 10 :[énoncé]
Notons que les termes de la suite(un)sont tous non nuls car−α ∈N?.
a)(n+n1)ββuunn+1= 1 +α+βn+On12doncvn=α+nβ+On12.Pvnconverge si, et
seulement si,β=−α.
n−1 +∞
b)Pvk= ln(n−αun)→`=Pvk∈Rdoncn−αun→e`puisun∼Anαavec
k=0k=0
A= e`>0.

Exercice 11 :[énoncé]
a)
(n+ 1)βun+1
nβun1 +α+βn+On12
=
donc
α+Oβ12
vn= +
n n
Pvnconverge si, et seulement si,β=−α.
b)
n−1 +∞
Xvk= ln(n−αun)→`=Xvk∈R
k=0k=0
doncn−αun→e`puisun∼AnαavecA= e`>0.

Exercice 12 :[énoncé]
n
a)lnun+1−lnun∼ −12nxavecx >0doncPlnuk+1−lnuk→ −∞puisun→0.
k=1
b) Pourα=−x2,ln(un+1)−ln(un)−αln1 +n1=On12donc
Pln(un+1)−ln(un)−αln1 +1nconverge.
c) Puisqueln(un+1)−ln(un)−αln1 +n1= ln(unn++11)α−lnnα, la suite de te
unrme
générallnunnαconverge puisnuαn→AavecA >0.
d) Par comparaison de séries à termes positifs,Punconverge si, et seulement si,
α <−1i.e.x >2.

Exercice 13 :[énoncé]
a) Par récurrence06un6u02n.
b)ln(2n+1un+1)−ln(2nun) = lnsinu(unn22)1u2n3est terme général d’une
∼ −
6
série convergente donc la suite(ln(2nun))converge et finalement(2nun)converge
vers un réelAstrictement positif.

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+∞
c)un−A2−n= 2−nP2kuk−2k+1uk+1. Or
k=n
2kuk−2k+1uk+1∼2k6+1u2k3∼24A232k.
Par comparaison de reste de série convergente à termes positifs,
un−A2−n∼2−n A243+P∞212k=18A23−3n.
k=n

Exercice 14 :[énoncé]
a) On sait

donc

Hn=nX1k= ln(n) +γ+o(1)
k=1

an=H3n−Hn→ln(3) =λ

b) Si on sait
Hn= ln(n) +γ21+n+on1
les choses vont assez vites. . . mais sans doute l’examinateur souhaitera la
démonstration de ce résultat.
an=k3Xn ln1 +1−1k−k=nX11k+ ln1−k1+k3=nXn+1lnkk−1
k
=1

avec

k=3nXn+1lnk−k1= ln 3

donc
a−λ=3Xnk ln1 +1−1k−nkX=11k+ ln1−1k
n
k=1
OrPk1+ ln1−1kest absolument convergente car
1
k ln1 +1−k1∼ −2k2

doncan−λ=Rn−R3navec
Rn=k=+nX∞+11k+ ln1−1k

Corrections

Or par sommation d’équivalent sur des restes de séries convergentes à termes de
signe constant,
Rn+∞121
∼X−2k2∼ −n
k=n+1
(le dernier équivalent s’obtenant, soit par comparaison série intégrale, soit par
k12∼k(k1−1)et sommation télescopique).
Au final
an−λ=−12n+16+on1∼ −13n
n

Exercice 15 :[énoncé]
Non, en effet considérons
n1
un=Xkln
k
k=2
np
Pour toutp∈N?, on aunp−un=Pkln1k
k=n+1

On en déduit

alors que

−1
06unp−un6np−(nn+lnn =1) + 1plnn→0

n
un>X2Zkk+1tnldtt=Z2n+1tnldtt= [ln(lnt)]n+12→+∞
k=

Exercice 16 :[énoncé]
On observe queunn+1−unn−1=n.
PuisquePnune série à termes positifs divergente on peut, par sommation de
relation de comparaison, affirmerunn+1∼21n2. En composant avec le logarithme
népérien cet équivalent de limite infini, on obtient

puis

Par suiteun+1→1puis

nlnun+1∼2 lnn

l
lnun+1∼2 nn
n

n+1 ln= 1 + 2nn+olnnn
u

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Posons

L’égalité

donne

Or2un1d
nn2+1→onc

vn=un+11 lnn
− −2
n
unn+1= expnln1 + 2 lnnn+vn



unn+1= exp2 lnn+nvn+O(lnn)2n

puisnvn→ −2. Ainsi

exp2 +nvn+O(lnn)2n→1

un+1= 1 + 2 lnnln 2n1
−+o
n n

Exercice 17 :[énoncé]
On peut écrire
n
knX=1nkn=kn=X−011−knn=Xuk(n)
k=0
avecuk(n)−−−−→e−k.
n→+∞
On peut alors présumer
n+∞
kXn=1kn−−−−∞→kX=0e−k1=−11=ee−e1
n→+

Il ne reste plus qu’à l’établir. . .
Puisqueln(1 +x)6xpour toutx >−1, on a
1−nkn= exp (nln(1−kn))6e−k

et donc on a déjà
knX=1knn1
61−1e
De plus, pourN∈N, on a pour toutn>N
k
k=nX1nn>NnX=−101−knn−
−−
n→+

N−1
−∞→Xe−k
k=0

Corrections

Pourε >0, il existeN∈Ntel que

N−1
Xe−k>e−1e−ε
k=0

et pour ceNfixé, il existeN0∈Ntel que pourn>N0
,
−1 1
k=nX1knn>NX=01−nkn>NX−e−k−ε
n k=0

On a alors pour toutn>N0

On peut donc conclure

n
kX=1knn>e−1e−2ε

nX knn→ee−1
k=1

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