Sujet : Analyse, Séries numériques, Calculs de sommes

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Calculs de sommes Exercice 6 [ 01050 ] [correction] +∞P 1Sachant = e, calculern! n=0Exercice 1 [ 03633 ] [correction] Existence et calcul de +∞ +∞ 2 X X+∞ n+1 n −2X 1 et ln 1− n! n!2n n=0 n=0 n=2 Exercice 7 [ 01051 ] [correction] Exercice 2 [ 01046 ] [correction] Soit x∈ ]−1,1[. Calculer +∞Existence et calcul de X k+∞X kx1 k=0 n(n+1)(2n+1) n=1 Exercice 8 [ 01052 ] [correction] Soit α> 0. MontrerExercice 3 [ 01047 ] [correction] Z+∞ k 1 α−1X+∞ (−1) xP 21 π = dxOn donne = . Calculer2k 6 k+α 1+x0k=1 k=0 +∞X 1 2 2 Exercice 9 [ 01053 ] [correction]k (k+1) k=1 On pose Z 1 naprès en avoir justifier l’existence. u = x sin(πx)dxn 0 P Montrer que la série u converge et que sa somme vautn ZExercice 4 [ 01048 ] [correction] π sint dtNature puis somme de tX 01 n(n+1)(n+2) n>1 Exercice 10 [ 01054 ] [correction] On rappelle l’existence d’une constante γ telle qu’on ait nExercice 5 [ 01049 ] [correction] X 1 Après en avoir justifié l’existence, calculer = lnn+γ +o(1) k k=1 +∞ +∞ 2X X1 1 π n−1sachant = a) Calculer la somme de la série de terme général u = (−1) /n.n2 2(2n+1) n 6 n=0 n=1 b) Même question avec u = 1/n si n = 0 [3] et u =−2/n sinon.n n Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD 6 [http://mp.cpgedupuydelome.
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Calculs de sommes

Exercice 1[ 03633 ][correction]
Existence et calcul de
n+X=∞2ln1−12
n

Exercice 2[ 01046 ][correction]
Existence et calcul de

+∞1
n=X1n(n+ 1)(2

Exercice 3[ 01047 ][correction]
+∞
On donnePk12=π62. Calculer
k=1

n+ 1)

+∞1
Xk2
k=1(k+ 1)2

après en avoir justifier l’existence.

Exercice 4[ 01048 ][correction]
Nature puis somme de
X11
n>1n(n+ )(n+ 2)

Exercice 5[ 01049 ][correction]
Après en avoir justifié l’existence, calculer

+∞1π2
=
n+X=∞0(2n+1)12sachantn=X1n26

Enoncés

Exercice 6[ 01050 ][correction]
+∞
SachantPn1!= e, calculer
n=0

+
X∞nn!+1et+X∞n2n−2!
n=0n=0

Exercice 7[ 01051 ][correction]
Soitx∈]−11[. Calculer

+∞
Xkxk
k=0

Exercice 8[ 01052 ][correction]
Soitα >0. Montrer
+X∞(k−1)+αk=Z101xα+−x1dx
k=0

Exercice 9[ 01053 ][correction]
On pose
un=Z01xnsin(πx) dx
Montrer que la sériePunconverge et que sa somme vaut
πsintdt
Z0t

Exercice 10[ 01054 ][correction]
On rappelle l’existence d’une constanteγtelle qu’on ait

n
Xk ln1 =n+γ+o(1)
k=1

a) Calculer la somme de la série de terme généralun= (−1)n−1n.
b) Mme question avecun= 1nsin6 [3]= 0etun=−2nsinon.

1

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Exercice 11[ 01055 ][correction]
Justifier et calculer
+∞
nX=1n(2n1−1)

Exercice 12[ 01057 ][correction]
+∞p exprimerM uisap
Pourp∈N, on poseap=P2nn. ontrer queapexiste p
n=0
fonction dea0     ap−1. En déduire queap∈N.

Exercice 13[ 01058 ][correction]
Calculer
+∞
X(−1)nln(1 + 1n)
n=1
Indice : utiliser la formule de Stirling.

Exercice 14[ 02354 ][correction]
Existence et calcul de

+∞5n+ 6
a)Xn
n=1(n+ 1)(n+ 2)

b)n+=X∞21 + (−n1)n
ln

Exercice 15Mines-Ponts MP[ 02801 ][correction]
SoientαdansR?,aetbdansRN. On pose

−a
u0=αet∀n∈N,un+1=ubnn
n−

en

Etudier la nature de la série de terme généralunet calculer éventuellement sa
somme.

Exercice 16Mines-Ponts MP[ 02804 ][correction]
Convergence puis calcul de

+X∞2+ 22+1∙ ∙ ∙+n2
1
n=1

Enoncés

Exercice 17Mines-Ponts MP[ 02805 ][correction]
Calculer
+∞(−1)n
n=X04n+ 1

Exercice 18X MP[ 02964 ][correction]
Calculer
n∞X=04n+11−4n4+2+3n4+3+1n+14

Exercice 19[ 02426 ][correction]
Calculer pourx∈]−11[
+∞xn
n=X1(1−xn)(1−xn+1)

Exercice 20X MP[ 01338 ][correction]
Calculer
+X∞1

1
n=0(4n+ )(4n+ 3)

Exercice 21[ 03448 ][correction]
Existence et valeur pourm>1de

+∞1
Sm=nX=1n(n+ 1)  (n+m)

Exercice 22[ 03622 ][correction]
Calculer la somme de la série de terme général

1
un= arctann2+ 3n+ 3

2

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Exercice 23CCP PSI[ 03796 ][correction]
Convergence et somme de la sériePk21−1.
k>2
Convergence et somme de
XE(√k+ 1k)−E(√k)
k>2

oùEdésigne la fonction partie entière.

Enoncés

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
On a
n=XN2ln1−1=N
n2X(ln(n−1) + ln(n+ 1)−2 lnn)
n=2
donc

Nl1 1=nN=X2(ln(n−1)−lnn) +nXN=2(ln(n+ 1)−lnn)
Xn−n2
n=2

Après télescopage

N
Xln1−n12= lnNN+ 1−ln 2→ −ln 2
n=2

On en déduit que la série converge et
1
n+X=∞ln1−2=−ln 2
n
2

Exercice 2 :[énoncé]
Par décomposition en éléments simples

Sachant

on obtient

1 1 1 4
n(n+ 1)(2n+ 1) =n+n+ 1−2n+ 1

NX2n1=12NX+11n−XN12n
n=1+n=2n=1

N1N N12N+11
X−
n=1n(n+ 1)(2n+ 1) =nX=1n+3n=X1n+ 1 4nX=2n

Or on sait que

XN1 = lnN+γ+o(1)
n
n=1

Corrections

donc on conclut que la série converge et

n=+X∞1n(n(21)+1n =+ 1) 3−4 ln 2

Exercice 3 :[énoncé]
k2(k1)1+2∼k14donc la série converge.
k2(k1+)12=k12+(k+11)2+k2+1−2kdonc
kPN=1k2(k+)112=PNk12+NP+1k12−1 + 2NP1+1k−2PNk1=π23

3.
k=1k=1k=2k=1

Exercice 4 :[énoncé]

1 1

n(n+ 1)(n+ 2)n3
donc la série converge
Par décomposition en éléments simples

1 1 +2 1 12
=−
n(n+ 1)(n+ 2)n n+ 1n+ 2

puis après télescopage

+∞1
=
nX=1n(n1)(1+n 4+ 2)

Exercice 5 :[énoncé]
+∞+∞+∞
nP1P)1+12+nP=1 (2n)12doncn=+P∞0 (2n1+1)2=34n=+P∞1n12=π82.
n2=2n
=1n=0 (

Exercice 6 :[énoncé]
D’une part
+∞1
n+=X∞0nn=!1+n=+X∞1(n−+)!11Xn 2e! =
n=0

D’autre part

n−! =X
+X∞n22n+=∞0n(n−1)n+!n−=2n+X=∞2(n−1)2+!+X∞(n−11)!−2+X∞n1!0=
n=0n=1n=0

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Corrections

Exercice 7 :[énoncé]
Tout d’abord la série converge en vertu de la règle de d’Alembert (en traitant
x= 0séparément)
Puisque
k=nX0kxk=xddxkXn=0xk!=x11−−xnx+10→(1−xx)2
on obtient
+∞
x
=
k=X0kxk(1−x)2

Exercice 8 :[énoncé]
Par sommation géométrique

−α−1+
1xα+−x1=nkX0( 1)kxk+1xn++αx
=

donc
Z101xα+−1xdx=k=Xn0Z0(−1)kxk+α−1dx+Z01xn++k=0k+αn
11αxdx=Xn(−1)k+ε
avec
06εn6Z1xn+αdx=n1+α−1→0
0

d’où la conclusion.

Exercice 9 :[énoncé]
Par sommation géométrique
n11
Xsin(πx) dx
k=0uk=Z01−−xnx+1

Posons
I=Z01is(n1−xxπd)x
Cette intégrale est bien définie car la fonction intégrée se prolonge par continuité
en 1.
nkX=0uk−I6Z011is(n−xxπ)xn+1dx6Mn+ 1

avec

M= sup sin(πx)
[01]1−x
n
On conclut quePuk→Ipuis par changement de variable
k=0
Xuk→t
kn=0Z0πsitntd

Exercice 10 :[énoncé]
a) On a

−1)k−1 2n
2Xn=(Xk1−2Xn21k= ln 2n+γ+o(1)−lnn−γ= ln 2 +o(1)
k
k=1k=1k=1

et
2nX+1(−1k)k−1=2Xn(−1k)k−1+o
(1)
k=1k=1
donc la série converge et est de somme égale àln 2.
b) On a

3n n
3Xnun=X1k−3X31k 3= lnn+γ+o(1)−lnn−γ 3 += lno(1)
k=1k=1k=1
et
3n+1 3n3n+2 3n
Xun=Xun+o(1)→ln 3etXun=Xun+o(1)→ln 3
k=1k=1k=1k=1
donc la série converge et est de somme égale àln 3.

Exercice 11 :[énoncé]
Par décomposition en éléments simples
NX2n1−1) =nXN=1(2n2−1)−nXN=11n=n2X=N12m−2NnX=1n1 = 2n=2NXN+1n1
n=1n(

Or

2N
X1n=2XN1n−NX1n= ln(2N) +γ+o(1)−lnN−γ 2 += lno(1)
n=N+1n=1n=1

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puis

+∞
X2n1=
n=1n(− ln 21) 2

Exercice 12 :[énoncé]
apen vertu de la règle de d’Alembert.existe
ap=n+P=∞(0n2n++1)1p=21ap+1p!ap−1+∙ ∙ ∙+pp!a0!donc
ap=1p!ap−1+∙ ∙ ∙+pp!a0et par un récurrence aiséeap∈N.

Exercice 13 :[énoncé]

Corrections

La somme existe en vertu du critère de Leibniz.
Pour la calculer, il suffit de déterminer la limite des sommes partielles de rangs
pairs.

2N N N−1
X(−1)nln(1 + 1n) =Xln(2n+ 1)−ln(2n) +Xln(2n+ 1)−ln(2n+ 2)
n=1n=1n=0

puis
2N N
X(−1)nln(1 + 1n) = 2Xln 2n2n+ 1−ln(2N+ 1)
n=1n=1
et donc
X(−1)n) = ln
2nNln(1 + 1(2N24)!N((2NN!)+41)!
n=1
Orn!√∼2πnnne−ndonc

puis

2N
X(−1)nln(1 + 1n)→ln (2π)
n=1

+∞
X(−1)nln(1 + 1n (2) = lnπ)
n=1

Exercice 14 :[énoncé]

a) On a
n(n+5n1)(+n+2)6=On12
+∞
donc la sommeP=1n5+(n+6(1)n+2)existe.
n
n
Par décomposition en éléments simples

donc en exploitant

on obtient

b) On a

et

donc

5n 2 1 3+ 6
=− −
n(n+ 1)(n+ 2)n n+ 1n+ 2

XNn1 = lnN+γ+o(1)
n=1

n5k+ 63
kX=1k(k+ 1)(k+ 2) 3 = ( lnn+ 1)n(n+ 2)2+ 4 +o(1)→4

2NnX+1=ln (1 +−n1)n=NkX=1ln(2k+ 1)−ln(2k+ 1) = 0
2
n=2XN2ln (1 +−n1)n=2NnX1+2=ln (1 +−1)n+o(1)→0
n
n+X=∞2ln (1 +−n1)n= 0

Exercice 15 :[énoncé]
On peut supposerα >0quitte à passer la suite à l’opposé.

un+1= 1b−a
un+n−b
Posonsvn=na−bun.lnvn+1−lnvn=O1n2donc(lnvn)converge puis

un∼nbAaavecA >0

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Par conséquentPunconverge si, et seulement si,b−a >1.
(n−b)un+1= (n−a)undonc

(n+ 1)un+1−nun= (b+ 1)un+1−aun

Corrections

+∞
En sommant et en notantS=Pun, on obtient(b+ 1)(S−α)−aS= 0donc
n=0

(b+
S=b1+1−)aα

Exercice 16 :[énoncé]
On a
n
12+ 22+∙ ∙ ∙+n2=Xk2=n(n)(26+1n+ 1) =O(n3)
k=1
donc la série numériqueP12+22+1∙∙∙+n2converge absolument
Après décomposition en éléments simples

+∞1
X12+ 22+∙ ∙ ∙+n2= 18−24 ln 2
n=1

Exercice 17 :[énoncé]
Par sommation géométrique

XN( 1)n11−(−t4)N+1

n=01 =nN=X0Z10(−t4)ndt=Z0
4n ++ 1t4dt

Or
−td
Z10(14+)tN4+1t6Z10t4N+4dt4=N15+→0
doncP(4−n1)+n1converge et
+∞t
n=0(4−1)nZ01
Xn1=+d1+t4

Enfin

Z01d+1tt4=14√2ln2+2√−√2+2π

7

Exercice 18 :[énoncé]
1 3 1 1 1 3 1 1 1
4n+ 1−4n4++2n+34+n+ 4 4n−4n4+n4+n+On2=On12
=
donc la série étudiée est absolument convergente.
On a
N N
n=04n+114n4++2n4+3+1n4+1=4kN=X14+n=0+ 2
X−3 1k−4X4n1

Or
NXN=12212NX+11k−2XN12k
4nX=04n=221+n=0n+k=1k=1
Par le développement
n
X1k= lnn+γ+o(1)
k=1
on parvient à
n=XN04n11+−4n+2+34n4+3+1n4+1= ln(4N+4)+γ−2 ln(2N+1)−2γ+lnN+γ+o(

Ainsi

nX∞=04n11+−4n32++4n+143+n4+1= 0
(ce qui change duln 2traditionnel. . . ;-)

Exercice 19 :[énoncé]
La convergence de la série est assurée par le critère de d’Alembert. On a
+∞xn+X∞(1−xxnn)−(1xn−+x1n+1) =n+X=∞1(1−1xn)
(1−x)nX=1(1−xn)(1−xn+1) =n=1
Après télescopage on obtient

+∞xnx
X(1−xn)(1−xn+1)=(1−x)2
n=1

−(1−1xn+1)

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Exercice 20 :[énoncé]
Introduisons la série entière de somme

+∞x4n+3
S(x) =X(4n+ 1)(4n+ 3)
n=0

Corrections

On vérifie aisément que son rayon de convergence est égale à 1 et que sa somme
est définie et continue sur[−11]par convergence normale.
Sur]−11[
+∞4n+2
S0(x) =X04nx+ 1
n=
Pourx6= 0
 0+X∞

x1S0(x) =x4n1=−1x4
n=0
On en déduit que sur]−11[
S0(x) =xZx1−dtt4
0

puis
S(x) =Z0xtZ0t1−duu4
Par intégration par parties

et ainsi

Quandx→1−

donc

On en déduit

S(x) =21(t2−1)Z0t1−duu40x21+Z0x1121−−tt24dt

x
S(x)=21(x2−1)Z0d1−tt4+12Z0x1+dtt2
Z0x1−dtt4=O(ln(1−x)) =o(x−1)

S(x)→12Z101+dtt2=8π

X
+∞1
n=0(4n+ 1)(4n =+ 3)S 8(1) =π

Exercice 21 :[énoncé]
On a

1 1 1
m×n(n+ 1)  (n+m) =n(n+ 1)  (n+m−1)−(n+ 1)  (n+m)

Après télescopage

N1 1 1
mnX=1n(n+ 1)  (n+m) =m!−(N+ 1)  (N+m)

donc, sachantm>1,

N !1 1 =S
mXn(n+ 1)  (n+m)−N−−→−+−∞→mmm
n=1

Exercice 22 :[énoncé]
Considérons

On constate

1arctann2+1∈]0 π2[
vn= arctan−
n+ 1

1
tanv=
nn2+ 3n+ 3
et doncun=vn.
En tant que somme télescopique associée à une suite convergente, la sériePun
converge et
+∞
1 =π
Xun 4= arctan
n=0

8

Exercice 23 :[énoncé]
La convergence s’obtient par équivalence de séries à termes positifs, la somme via
une décomposition en éléments simples permettant de calculer les sommes
partielles. On obtient
+∞3
Xk2=1
−1 4
k=2
Sik+ 1n’est pas le carré d’un entier
E(√k+ 1)−E(√k)0
=
k

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Sik+ 1est le carré d’un entiern,
E(√k+ 1)−E(√k)
=
k n2

1
−1

Corrections

Cela permet de calculer les sommes partielles et de conclure en faisant le lien avec
la série précédente.

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