Sujet : Analyse, Séries numériques, Condensation

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Condensation Exercice 1 Mines-Ponts MP [ 02796 ] [correction] Soit (u ) une suite réelle décroissante et positive. On posen nv = 2 u nn 2 P P Déterminer la nature de v en fonction de celle de u .

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Condensation

Exercice 1Mines-Ponts MP[ 02796 ][correction]
Soit(un)une suite réelle décroissante et positive. On pose

vn= 2nu2n
Déterminer la nature dePvnen fonction de celle dePun.

Enoncés

Exercice 2[ 03676 ][correction]
[Critère de condensation de Cauchy]
a) Soient(un)n∈Nune suite réelle décroissante, positive etp∈Ntel quep>2. On
pose
vn=pnupn

Montrer que

Xunconverge si, et seulement si,

b) Application : Etudier la convergence des séries

Xvnconverge

Xnnl1netXnlnn(nl1lnn)

Exercice 3[ 03677 ][correction]
Soit(un)n∈Nune suite réelle décroissante et positive etp∈Ntel quep>2. On
pose
vn=nun2
Montrer que

Xunconverge si, et seulement si,Xvnconverge

Exercice 4Mines-Ponts MP[ 02797 ][correction]
Soit(un)une suite décroissante d’éléments deR+, de limite 0. Pourn>1, on pose

vn=n2un2

Y a-t-il un lien entre la convergence des séries de termes générauxunetvn?

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
On remarque

de sorte que

vn>u2n+u2n+1+∙ ∙ ∙+u2n+1−1

Corrections

n2n+1−1
Xvk>Xuk
k=0k=1
Ainsi, siPundiverge alorsPvnaussi par comparaison de séries à termes positifs.
Aussi
1

u2n+∙ ∙ ∙+u2n+1−1>2vn+1

donc
2n−11n
Xuk>2Xvk
k=1k=1
Ainsi, siPunconverge alorsPvnaussi par comparaison de séries à termes
positifs.

Exercice 2 :[énoncé]
a) On remarque

et donc

pn+1−1
pn(p−1)upn+16Xuk6pn(p−1)upn
k=pn

p−1n+X1v`6pn+X1−1uk6(p−1)Xnv`
p
`=1k=1`=0

SiPunconverge alors la première inégalité donne

n+1 +∞
v`6−p1Xuk
`=X1pk=1
ce qui assure la convergence de la sériePvncar c’est une série à termes positifs
aux sommes partielles majorées.

SiPvnconverge alors la deuxième inégalité de l’encadrement précédent donne

2

pn+1−1 +∞
Xuk6(p−1)Xv`
k=1`=0
et puisque les sommes partielles de la sériePunsont croissantes et que ce qui
précède permet de les majorer, on peut conclure à la convergence de la sériePun.
b) Prenonsp= 2et
1
un=
nlnn
La suite(un)est décroissante positive et

1
n=
vn= 2nu2nln 2
PuisquePvndiverge,Pundiverge aussi.
Prenons toujoursp= 2et cette fois-ci

1
un=
nlnnln(lnn)

La suite(un)est décroissante positive et

1
vn= 2nu2n=nln 2 ln(nln 2)∼ln21nln1n
et à nouveau nous pouvons conclure à la divergence dePun.

Exercice 3 :[énoncé]
On remarque
(n+1)2−1
(2n+ 1)u(n+1)26Xuk6(2n+ 1)un2
k=n2

et donc
n+1 (n+1)2−1n
X(2`−1)u`26Xuk6X(2`+ 1)u`2
`=1k=1`=0
SiPunconverge alors la première inégalité donne

n+1n+1n+1 +∞
Xv`=X`u`26X(2`−1)u`26Xuk
`=1`=1`=1k=1

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Corrections

ce qui assure la convergence de la sériePvncar c’est une série à termes positifs
aux sommes partielles majorées.
SiPvnconverge alors la sériePun2converge aussi car

06un26nun2=vn
On en déduit la convergence deP(2n+ 1)un2et la deuxième inégalité de
l’encadrement précédent donne

pn+1−1 +∞
Xuk6X(2`+ 1)u`2
k=1`=0

Puisque les sommes partielles de la sériePunsont croissantes et que ce qui
précède permet de les majorer, on peut conclure la convergence de la sériePu
Exercice 4 :[énoncé]
Supposons quePvnconverge. Pourn26k <(n+ 1)2,
06uk6un26vnn2
donc

(n+1)21(n+ 1)2−n2
06Xuk6vnn2
k=n2
ce qui permet d’affirmer que les sommes partielles de la série à termes positifs
Punsont majorées et doncPunconverge.
Inversement, pourun=n312on avn=1nde sorte quePunconverge etPvn
diverge.

n.

3

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