Sujet : Analyse, Séries numériques, Produit de Cauchy

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Produit de Cauchy Exercice 1 [ 01044 ] [correction] Pour n>1, on pose n(−1) u =v = √n n n P P a) Montrer que les séries u et v convergent.n n P P b) Montrer la divergence de la série produit de Cauchy des séries u et v .

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Exercice 4
Etablir

[ 03637 ][correction]

n−1
+∞+∞Hn
eX(−=1)X
nn!n!
n=1n=1

avec

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Hn=nX1k
k=1

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1

PunetPv

n.

Exercice 1[ 01044 ][correction]
Pourn>1, on pose
(−1)n
un=vn=√n
a) Montrer que les sériesPunetPvnconvergent.
b) Montrer la divergence de la série produit de Cauchy des séries

Enoncés

Exercice 2[ 03445 ][correction]
Existence et calcul de

+∞
X(n+ 1)3−n
n=0

Produit de Cauchy

vn21=nXn2kuk
k=0
a) On suppose dans cette question la sériePunabsolument convergente.
En observant un produit de Cauchy, montrer que la sériePvnconverge et
exprimer sa somme en fonction de celle dePun.
b) On suppose dans cette question que la suite(un)tend vers 0. Déterminer la
limite de(vn)
c) On suppose dans cette dernière question la sériePunconvergente.
Montrer la convergence dePvnet déterminer sa somme en fonction de celle de
Pun.

Exercice 3[ 03446 ][correction]
Soit(un)une suite numérique. Pour toutn∈N, on pose

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) par application du critère de Leibniz. . .
b) On a

wn=n−X1ukvn−k= (−1)nnX11
k=1k=1√k√n−k
or
1 1

donc

et par suitewn

√k√n−k>
n

n−1
X√k√1n−1
k=1n−k>n
→0etPwndiverge grossièrement.

Exercice 2 :[énoncé]
Par produit de Cauchy

+∞
+X∞(n+ 1)3−n=XnX13k3n1−k
n=0n=0k=0

=n+X=∞013n! m+X=∞013m!=

9
4

Corrections

Exercice 3 :[énoncé]
a) On a
n1
vn=Xuk×2n−k
k=0
La sériePvnest donc la série produit de Cauchy dePunetP21n. Puisqu’elles
sont toutes deux absolument convergentes, la sériePvnest absolument
convergente, donc convergente et
n=+X∞0vn=n+X=∞0un! n=+X∞012n!= 2n=+X∞0un

b) Soitε >0. Il existeN∈Ntel que

∀n>N|un|6ε

On a alors

N−1

|P2k|uk|n2kCte
vn|6k=02n+εX2n62n+ 2ε
k=N
puis pournassez grand
|vn|63ε
On peut donc affirmer que la suite(vn)converge vers 0.
c) En permutant les sommes

N
XNvn=XNXn2nu−kk=NXukX2n1−k
n=0n=0k=0k=0n=k
En évaluant la somme géométrique

NXvn=NX1N N2Nuk−k
2uk(1−2N−k+1) = 2Xuk−X
n=0k=0k=0k=0

et compte tenu du résultat de la question précédente

N+∞
Xvn→2Xuk
n=0k=0
On en déduit à nouveau que la sériePvnconverge et

+∞+∞
Xvn= 2Xun
n=0n=0

Exercice 4 :[énoncé]
Par produit de Cauchy de série convergeant absolument

e+∞−1)n−1
X(nn! =+X∞n1!+X∞(−n1)nn!−1=+∞n1k−1
n=1n=0n=1n=X1k=X1(n−k)!(−k1)k!

Or
n
X=1(n−1k!()−k1)kk!−1=n1!nkX=1nk!(−1k)k−1
k
Il reste à montrer par récurrence surn>1que
n n1
k=1nk!(−1k)k−1=k=1
X Xk

2

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ce qui se fait par
kn=+X11(−1k)k−1nk+ 1!=nk+X11=(−1k)k−1nk!+nk+=X1(
1

Or
nk+X1=1(−1k)k−1

donc

−1)k−1
k

n
k−1

!

Corrections

X−
n1!=n+1(n+1)k1−1kn+ 1!=n11+−(1n−1+)1n+1=n1+1

kk=1

n+1(−1)k−1
Xk
k=1

1
nk+ 1!=nk+X11=k

3

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