Sujet : Analyse, Séries numériques, Séries à termes de signes quelconques

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Séries à termes de signes quelconques Exercice 6 [ 01038 ] [correction] a) Justifier la convergence de la série numérique Exercice 1 [ 01033 ] [correction] kX (−1) Montrer que la somme d’une série semi-convergente et d’une série absolument kconvergente n’est que semi-convergente. k>1 On pose +∞ kX (−1)Exercice 2 [ 01034 ] [correction] P R =n Déterminer la nature de u pour : kn k=n+1 n n(−1) (−1) b) Montrer que a) u = b) u =√n n +∞2 kXn +1 n+1 (−1) n p R +R =(−1) n n+1 2 k(k+1)c) u = ln 1+ d) u = cos π n +n+1n n k=n+1n+1 c) Déterminer un équivalent de R .n d) Donner la nature de la série de terme général R .n Exercice 3 [ 01035 ] [correction] Déterminer la nature de X n(−1) Exercice 7 [ 01039 ] [correction]√ n n! Déterminer la nature den>1 X π sin nπ+ n n>1 Exercice 4 [ 01036 ] [correction] Montrer que +∞ n nX Exercice 8 [ 03772 ] [correction](−1) 8 Donner la nature de la série de terme général(2n)! n=0 2u = cos n πln(1−1/n)est un réel négatif. n Exercice 9 [ 01040 ] [correction]Exercice 5 [ 01037 ] [correction] njOn rappelle la convergence de l’intégrale de Dirichlet √Donner la nature de la série des . n Z +∞ sint I = dt t0 Exercice 10 [ 01045 ] [correction] Déterminer la nature de la série de terme général :En observant Z+∞ πX sint nn (−1)I = (−1) dt u =nπ+t n n0 Pn=0 1 n−1√ +(−1) kdéterminer le signe de I.
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Séries à termes de signes quelconques

Exercice 1[ 01033 ][correction]
Montrer que la somme d’une série semi-convergente et d’une série absolument
convergente n’est que semi-convergente.

Exercice 2[ 01034 ][correction]
Déterminer la nature dePunpour :

a)un= (n2−+)1n1
c)un= ln1 + (n−+1)1n

Exercice 3[ 01035 ][correction]
Déterminer la nature de

Exercice 4[ 01036 ][correction]
Montrer que

est un réel négatif.

b)un=√(−n1)n
+ 1
d)un= cosπpn2+n+ 1

(−1)n
n>X1n√n!

+∞n
X(−2()1nn!)8
n=0

Exercice 5[ 01037 ][correction]
On rappelle la convergence de l’intégrale de Dirichlet
∞si
I=Z0+tntdt

En observant

déterminer le signe deI.

+∞
I=X(−1)n
n=0Z0πnsπin+ttdt

Enoncés

Exercice 6[ 01038 ][correction]
a) Justifier la convergence de la série numérique

On pose

(−1)k
Xk
k>1

nX
R=+∞(−k1)k
k=n+1

b) Montrer que
+∞( 1)k
Rn+Rn+1=X−1
k=n+1k(k+ )
c) Déterminer un équivalent deRn.
d) Donner la nature de la série de terme généralRn.

Exercice 7[ 01039 ][correction]
Déterminer la nature de
Xsinnπ+nπ
n>1

Exercice 8[ 03772 ][correction]
Donner la nature de la série de terme général
un= cosn2πln(1−1n)

Exercice 9[ 01040 ][correction]
Donner la nature de la série desj√nn.

Exercice 10[ 01045 ][correction]
Déterminer la nature de la série de terme général :

u= (−1)n
nn
k=P1√1k+ (−1)n−1

1

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Exercice 11[ 02351 ][correction]
Déterminer la nature dePunpour :
a)un=pn+ (−1)n−√nb)un(n(+−1)(−n1)n)
n=l

−1)n
c)un=(lnn()+(−1)n

Enoncés

Exercice 12Centrale MP[ 02443 ][correction]
a) Existence de
A=xl→i+m∞Zxsin(t2) dt
0
+∞
b) Montrer queAse met sous la formeA=P(−1)nunavecun>0. En déduire
n=0
A>0.
c) Mmes questions avec

B=xl→i+m∞Z0xcos(t2)dt

d) Comment retrouver ces résultats avec un logiciel de calcul formel

Exercice 13Mines-Ponts MP[ 02793 ][correction]
Convergence de la série de terme généralun= sinπ√n2+ 1.

Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02794 ][correction]
Nature de la série de terme général
un= sinπ(2 +√3)n

Exercice 15X MP[ 02962 ][correction]
Donner un exemple de série divergente dont le terme général tend vers 0 et dont
les sommes partielles sont bornée.

Exercice 16X PSI[ 03097 ][correction]
On dit que la série de terme généralunenveloppe le réelAsi, pour tout entier
natureln, on a :

un6= 0et|A−(u0+u1+∙ ∙ ∙+un)|6|un+1|

On dit qu’elle enveloppe strictement le réelAs’il existe une suite(θn)n>1
d’éléments de]01[telle que pour tout entier natureln:

A−(u0+u1+∙ ∙ ∙+un) =θn+1un+1

2

a) Donner un exemple de série divergente qui enveloppeA >0.
Donner un exemple de série convergente qui enveloppe un réel.
Donner un exemple de série convergente qui n’enveloppe aucun réel.
b) Démontrer que, si la série de terme généralunenveloppe strictementA, alors
elle est alternée.
Démontrer queAest alors compris entre deux sommes partielles consécutives.
c) Démontrer que, si la série de terme généralunest alternée et que, pour tout
entiern∈N?
A−(u0+u1+∙ ∙ ∙+un)est du signe deun+1, alors, elle enveloppe strictementA.
d) Démontrer que, si la série de terme généralunenveloppeAet si la suite de
terme général|un|est strictement décroissante, alors, la série est alternée et
encadre strictementA.

Exercice 17[ 03236 ][correction]
Montrer la divergence de la série

Xcos(nlnn)

Exercice 18X MP[ 01335 ][correction]
Etudier la série de terme général

un= (−1)nsin(lnnn)

Exercice 19X PC[ 03207 ][correction]
SoitEl’ensemble des suites réelles(un)n>0telles que

un+2= (n+ 1)un+1+un

a) Montrer queEun espace vectoriel de dimension 2.est
b) Soientaetbdeux éléments deEdéterminés par
a0= 10= 0
(a1= 0et(bb1= 1

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Montrer que les deux suites(an)et(bn)divergent vers+∞.
c) Calculer
wn=an+1bn−anbn+1
d) On posecn=anbnlorsque l’entiernest supérieur ou égal à 1. Démontrer
l’existence de
`= limcn
n→+∞
e) Démontrer l’existence d’un unique réelrtel que

lim (an+rbn) = 0
n→+∞

Exercice 20[ 03208 ][correction]
αdésigne un réel strictement positif.
Déterminer la nature de la série de terme général
nα|x|
un=Z0(−1)n1p+xdx

Exercice 21CCP MP[ 03371 ][correction]
a) Déterminer la limite de la suite définie par :

n
e−u
u0>
0et∀n∈N un+1=n+ 1

b) Déterminer la limite de la suite définie par

vn=nun
c) Donner la nature de la sériePunet celle de la sérieP(−1)nun

Enoncés

Exercice 22CCP MP[ 02538 ][correction]
Soitfde classeC2sur[0+∞[telle quef00est intégrable sur[0+∞[et telle que
l’intégraleR0+∞f(t)dtsoit convergente.
a) Montrer que
limf0(x) = 0etxl→i+mf(x) = 0
x→+∞ ∞
b) Etudier les séries
X X

f(n)et

f0(n)

3

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
SoientPunune série semi-convergente etPvnune série absolument
convergente. La sériePun+vnest convergente et si celle-ci était absolument
convergente alorsPunle serait aussi car|un|6|un+vn|+|vn|. La série
Pun+vnn’est donc que semi-convergente.

Exercice 2 :[énoncé]
a)|un| ∼1n2donc la sériePunest absolument convergente donc convergente.
b) On applique le critère spécial et on conclut quePunconverge.
c)un=(n−)1+1n+On12et on peut conclure quePunconverge.
d)
un= cosnπ+π2+38πn+On12= (−8)1nn+13π+On12
doncPunconverge.

Exercice 3 :[énoncé]
Il s’agit d’une série alternée.

n
lnn√n! =n1Xlnk
k=1
et ainsilnn√n!est la moyenne arithmétique deln 1ln 2    lnnet donc
lnn√n!6lnn+1p(n+ 1)!

puis
1 1
>
n√nn+1p(n+ 1)!
De plus par la croissance de la fonctionx7→lnx,
1n
k=1>1Z1nlnxdx= lnn−1→+∞
nXlnkn

et donc
1
n√n!→0
Finalement on peut appliquer le critère spécial des séries alternées et conclure.

4

Exercice 4 :[énoncé]
A partir du rangn= 2peut applique le critère spécial des séries alternées. Le, on
reste étant majorée par la valeur absolue du premier terme

avec|r|64642doncx <0.

Exercice 5 :[énoncé]
Par découpage

x=n+X∞(−1)(2nn8)!n= 1−4 +r
=0

I=+X∞Z(n+1)πsintd
t
n=0nπt
donc par translations
I=+X∞0Z0πsin(nπ+td)t
nπ+t
n=
puis la relation proposée.
Ise perçoit alors comme somme d’une série vérifiant le critère spécial des séries
alternées, sa somme est donc du signe de son premier terme à savoir positif.

Exercice 6 :[énoncé]
a) On applique le critère spécial.
b) Par décalage d’indice sur la deuxième somme

+∞
Rn+Rn+1=X(−k1)k++X∞(−k+)1k1+1=k+=Xn∞+1k((k−)+1k1)
k=n+1k=n+1

c) Puisque

on a

Or par le critère spécial

+1
Rn−Rn+1= (−n+)1n1

n+
2Rn= (−n+1)11+k+=Xn∞+1k((k−+)1k1)

+∞
k=Xn+1k((k−)+1k1) =On12

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donc

−1)n+1
Rn∼2(n

d) Comme
n+1
Rn= (−2)1n+O12
n
la sériePRnest convergente.

Exercice 7 :[énoncé]
On a
sinnπ+nπ= (−1)nsinπn= (−1nn3
)nπ+O1

donc la série est semi-convergente.

Exercice 8 :[énoncé]
On a
ln(1−1n) =−n1−2n12−3n13+On14

donc

puis

un= cosnπ+π2+3πn+On12

un= (−1)n+1sin3πn+On12= (−1)n+1π+On12
3n

Corrections

Le terme généralunest somme d’un terme définissant une série convergente par le
critère spécial et d’un terme définissant une série convergeant absolument.

Exercice 9 :[énoncé]
j√33nn+√j33nn++11+√j33nn++22=j3n(1√3+nj+j2)+On312=O12donc la série des
n3
j√33nn+√j33nn++11+√j33nn++22est absolument convergente et puisque√j33nn++11√j33nn++22→0,
la série desjn
√nest convergente.

Exercice 10 :[énoncé]
Par comparaison avec une intégrale :

On a alors

n1
kX=1√k∼2√n

(−1)n1 1
=
P1P
un=k(=nP−11)√1nk1 +(k1−Pn=11)n1−1n+n√1k2+o nkP=1√1k2
√kk=1√kk=1

La série de terme général
(−1)n
n
P√1k
k=1
converge en vertu du critère spécial.
On a

1 1 1

k=nP1√1k2+onkP=1√1k2∼4n
donc par comparaison de série à termes positifs il y a divergence de la série de
terme général
 

5

1 1
k=nP1√1k2+o k=nP1√1k2
Par sommation d’une série convergente et d’une série divergente la série de terme
général diverge.

Exercice 11 :[énoncé]
a) On a

doncPunconverge.

un(=2√−1)nn+On312

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b) On a

un=nln+((−−n11)n)n+on1 l= (−1nn)n−nnl12n+onln12n

Corrections

1
Or la série de la série de terme généralnln2nest absolument convergente (utiliser
une comparaison avec une intégrale) doncPunest convergente.
c) On a
un l= (−n1n)n1+n(ln)2+on(l1n)2
La série de terme général(l−n1n)nest convergente alors que la série de terme général
(ln1n)2+o1nl(n)2est divergente par équivalence de séries à termes positifs. On
conclut quePunest divergente.

Exercice 12 :[énoncé]
a) On a
x
Z0xsin(t2) dt=Z0πsin(tZπsin(t2) dt
2) dt+
Or
xos(t2)
Z√πxsin(t2) dt=Z√xπ22ttsin(t2) dt=−2c(sott2)√π−Z√xπ2ct2dt
donc

Z0xsin(t2) dtx−→−+−−∞→Z0√πsin(t2) dt−2√1π−21Z√+π∞cos(t2)dt
t2

où l’on vérifie que la dernière intégrale converge.
b) Par découpage
√(n+
A=n=+X∞0Z√nπ1)πsin(t2) dt
et par changement de variable
Z√n√π(n+1)πsin(t2) dt=Zn(nπ+1)πn2si√(uu)du= (−1)nZ0π2√svin+vdv= (−1)nun

avec

un=Z0π√sinvdv
2v+nπ

6

Aisémentun>0,un+16unetun→0donc on peut appliquer le critère spécial
qui assure queAest du signe de(−1)0u0c’est-à-dire positif.
c) La question a) est identique. Pour b) les choses se compliquent car on découpe
l’intégrale enπ2,3π2 obtenir :,. . . pour
ncosvdv
B=Z0π22oc√svvdv+n+X=∞1(−1)Z−ππ222√v+nπ

Le critère spécial des séries alternées s’applique à la série sous-jacente etBest du
signe de
Z0π2co2√svvdv−Z−ππ222√covs+vπdv+Z−ππ222√cvos+v2πdv
Or
1 1π1


√v+π√v+ 2π62 (v+π)3262√v+π
donc
cosv
Z−ππ222√cov+sπvdv−Z−ππ222√v+ 2πdv6Z−ππ224√cov+svπdv
2cosv
6Z−ππ24pπd2v=Z0π2c2posvπ2dv6Z0π2co2√svvdv
et on peut conclure.
d) on utilise l’instruction evalf.
Culture : les intégralesAetBsont en fait égales.

Exercice 13 :[énoncé]
√n2+ 1 =n+21n+On12doncun=(−21)nnπ+On12est terme général d’une
série convergente.

Exercice 14 :[énoncé]
En développant par la formule du binôme de Newton
(2 +√3)n=kXn=0kn!2n−k√3k

puis en simplifiant les termes d’indices impairs
(2 +√3)n+ (2−√3)n= 2bpn=X02c2np!2n−2p3p∈2Z

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On en déduit

un=−sin(2−√3)nπ

Puisque2√−3<1,
un∼ −(2√−3)nπ
est terme général d’une série absolument convergente.

Corrections

Exercice 15 :[énoncé]
Pourk(k2−1)< n6k(k1+2), on poseun=(−1)kk−1.
Ceci définit la suite(un)n>1de sorte que ses premiers termes sont :
1
1−−12311331−41−14−41−14   .
2
Les termes sommées tendent vers 0 et les sommes partielles oscillent entre 0 et 1.

Exercice 16 :[énoncé]
a) Pourun= (−1)n, la série de terme généralunest divergente et puisque ces
sommes partielles valent 0 ou 1, elle enveloppe tout réel de l’intervalle[01].
Pourun= (−1)n(n+ 1), la série de terme généralunsatisfait le critère spécial
des séries alternées et donc elle converge et la valeur absolue de son reste est
inférieure à son premier terme. Cette série enveloppe donc sa somme, à savoirln 2.
Pourun= 12n, la série de terme généralunconverge. Puisqueun→0, le seul
réel qu’elle peut envelopper est sa somme, or

+∞
+X∞21k−Xn21k=X21k2=1n
k=0k=0k=n+1

n’est pas inférieur àun+1. Cette série convergente n’enveloppe aucun réel.
b) Posons pour la suite de notre étude

n
Sn=Xuk
k=0

On a
θn+2un+2=A−Sn+1=A−Sn−un+1= (θn+1−1)un+1
Puisqueθn+2>0etθn+1−1<0, on peut affirmer queun+2etun+1sont de
signes opposés.
PuisqueA−Sn=θn+1un+1est du signe deun+1, les réelsA−SnetA−Sn+1
sont de signes opposés et doncAest encadré parSnetSn+1.
c) PuisqueA−Snest du signe deun+1, on peut écrireA−Sn=θn+1un+1avec
θn+1∈R+.

7

PuisqueA−Sn+1= (θn+1−1)un+1est du signe deun+2et puisqueun+1etun+2
sont de signes opposés, on aθn+1−160et doncθn+1∈[01].
On ne peut rien dire de plus, sauf à savoir queA−Snest non nul pour toutn∈N.
En effet pourun= (−1)netA= 1, la série de terme généralunest alternée et
pournpair :A−Sn= 1−1 = 0est du signe deun+1.
pournimpair :A−Sn= 1−0 = 1est du signe deun+1.
Si en revanche, on supposeA−Sn6= 0pour toutn∈N, obtenirθn+1∈]01[est
désormais immédiat.
d) Par l’absurde, supposonsun+1 un+2>0.
On aA−Sn6un+1doncA−Sn+160puisA−Sn+26−un+2et donc
|A−Sn+2|>|un+2|. Or|A−Sn+2|6|un+3|et|un+3|<|un+2|, c’est absurde et
doncun+1etun+2ne sont pas tous deux strictement positifs. Un raisonnement
symétrique établit qu’ils ne sont pas non plus tous deux strictement négatifs et
donc la série de terme généralunest alternée à partir du rang 1 (on ne peut rien
affirmer pour le rang 0).
PuisqueA−Sn+1=A−Sn−un+1, on a
− |un+1| −un+16A−Sn+16|un+1| −un+1.
Siun+1>0alorsA−Sn+160et donc du signe deun+2.
Siun+1<0alorsA−Sn+1>0et donc à nouveau du signe deun+2.
EnfinA−Sn+1n’est pas nul, car sinon
A−Sn+3=A−Sn+1−(un+2+un+3) =−(un+2+un+3)est de signe strict
opposé àun+2et n’est donc pas du signe deun+4.
On peut alors exploiter le résultat du c) et affirmer que la série de terme général
unencadre strictementA.

Exercice 17 :[énoncé]
Posons

n(lnk)
Sn=Xcosk
k=1

Pour les entierskappartenant à l’intervalle
he−π4+2nπeπ4+2nπi

on a

Posons

cos(lnk)>12π41+2nπ
k√e

an=Ee−π4+2nπetbn=Eeπ4+2nπ

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Corrections

On a
bn
San−Sbn=Xcos(klnk)>bn√−2aneπ41+2nπ
k=an+1
Or, par encadrement,
b

enπ4−+2anπn→(1−eπ2)
donc(San−Sbn)ne tend pas vers 0. Oran bn→+∞donc la série étudiée ne
peut converger.

Exercice 18 :[énoncé]
Puisqueun→0, il revient au mme d’étudier la nature de la série de terme
général
vn=u2n+u2n+1

Or

sin(ln(2n+ 1−sin(ln 2n)
vn2=sn(lin2(nn2+n)2)1+n+1))

D’une part
2snin(l2(n+2nn=)1)On12
et d’autre part en vertu du théorème des accroissements finis, il existeccompris
entreln 2netln(2n+ 1)tel que
)
sin(ln(2n2+n)1)+1−sin(ln 2n) = cos(c) (ln(2n+ 1)−ln 2n=On12
2n+ 1
On en déduit quevn=O1n2et donc la série de terme généralvnest
absolument convergente donc convergente.

Exercice 19 :[énoncé]
a) Il est immédiat de vérifier queEest un sous-espace vectoriel de l’espaceRNdes
suites réelles. L’application
ϕ:E→R2définie parϕ(u) = (u0 u1)étant un isomorphisme (car un élément de
Epar la donnée de ses deux premiers termes), onest déterminé de façon unique
peut affirmer que l’espaceEest de dimension 2.
b) Il est immédiat de vérifier que les suites(an)et(bn)sont formés d’entiers
naturels, qu’elles sont croissantes à partir du rang 1 et qu’elles sont à termes
strictement positifs à partir du rang 2.

Ainsi

∀n>2 an bn>1

et donc
an+2>n+ 1etbn+2>n+ 1
Ainsi les deux suites(an)et(bn)tendent vers+∞en croissant (seulement à
partir du rang 1 pour la première)
c) On a

wn+1= ((n+ 1)an+1+an)bn+1−an+1((n+ 1)bn+1+bn)

Après simplification, on obtient

et donc

wn+1=−wn

wn= (−1)nw0= (−1)n+1

8

d) On a
wn(−1)n+1
cn+1−cn= =
bnbn+1bnbn+1
Puisque la suite de terme généralbnbn+1croît vers+∞, on peut appliquer le
critère spécial des séries alternées et affirmer que la série numériqueP(cn+1−cn)
converge. Par conséquent la suite(cn)converge.

e) On a
+∞
`−cn=X(ck+1−ck)
k=n
Par le critère spécial des séries alternées, on peut borner ce reste par la valeur
absolue de son premier terme

1
|`−cn|6bnbn+1

On peut ainsi écrire
cn=`+Obnb1n+1
On a alors
an+rbn=bn(cn+r) =bn(`+r) +Obn1+1
Sachantbn→+∞, on peut affirmer

an+rbn→0⇔r=−`

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Exercice 20 :[énoncé]
Quandx→0, on a
1p+|xx|=p|x| −xp|x|+ox32
On en déduit
un=Z(0−1)nnαp|Z(0−1)nnαxp|x|dx+on51α2
x|dx−

Corrections

Par parité
un3=(−n13)nα22−5n52α2+on51α2
Par le critère spécial des séries alternées, la série de terme général(−1)nn3α2
converge et par équivalence de séries à termes de signe constant, la série de terme
général
2 2
−5α2+on51α2∼ −
5n5n5α2
converge si, et seulement si,5α2>1.
On en déduit que la série de terme généralunconverge si, et seulement si,
α >25.

Exercice 21 :[énoncé]
a) La suite est bien définie et à termes tous positifs. On en déduit

e−un1
06un+1=n+ 16n+ 1

et doncun→0.
b)vn=e−un−1→1.
c) Puisqueun∼1n, la sériePundiverge par équivalence de séries à termes
positifs.
On a aussi
1
un=e−unn−1= 1−un−1n+o(un−1) = 1n−n12+on2

donc
(−1)nun= (−n1)n+On12
donc la sérieP(−1)nunconverge car son terme général est la somme d’un terme
vérifiant le critère spécial et d’un terme sommable.

9

Exercice 22 :[énoncé]
a) Puisquefest de classeC2
f0(x) =f0(0) +Z0xf00(t) dt
Par intégrabilité def00, la fonctionf0admet une limite finie`quandx→+∞.
Si` >0alors pourxassez grandf0(x)>`2puisf(x)>`x2 +mce qui
empche la convergence deR+0∞f(t) dt. Si` <0on obtient aussi une absurdité. Il
reste donc`= 0.
Posons
x
F(x) =Z0(t) dt
f
Par l’égalité de Taylor avec reste intégrale :
F(x+ 1) =F(x) +f(x)21+f0(x) +Zxx+1(x+12−t)2f00(t) dt

Quandx→+∞,
Z+∞) dt
F(x) F(x+ 1)→f(t
0
Aussif0(x)→0et
Zxx+1(x+12−t)2f00(t) dt621Zxx+1|f00(t)|dt→0
doncf(x)→0.
b) On a
f(n+ 1) =f(n) +f0(n) +Znn+1((n+ 1)−t)f00(t) dt
donc
n+1
f0(n) =f(n+ 1)−f(n) +Z(n+ 1−t)f00(t) dt
n
La série de terme généralf(n+ 1)−f(n)est converge carfconverge en+∞.
La série de terme généralRnn+1(n+ 1−t)f00(t) dtest absolument convergente car
Znn+1(n+ 1−t)f00Znn+1|f00(t)|dt
(t) dt6
Par conséquentPf0(n)est convergente.
Aussi
F(n+ 1) =F(n) +f(n)+12f0(n) +Znn+1(n1+2−t)2f00(t) dt
permet de mener le mme raisonnement et conclure quePf(n)converge.

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