Sujet : Analyse, Suites et séries de fonctions, Application des suites de fonctions

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Application des suites de fonctions Exercice 1 [ 00893 ] [correction] On définit (u ) suite de fonctions de [0, 1] versR parn Z x 2u (x) = 1 et∀n∈N, u (x) = 1 + u (t−t ) dt0 n+1 n 0 a) Montrer que pour tout x∈ [0, 1], n+1x 06u (x)−u (x)6n+1 n (n + 1)! b) En déduire que pour n,p∈N, +∞X 1 ku −u k 6n+p n ∞ k!
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Application des suites de fonctions

Exercice 1[ 00893 ][correction]
On définit(un)suite de fonctions de[01]versRpar
u0(x) = 1et∀n∈N,un+1(x) = 1 +Z0xun(t−t2) dt

a) Montrer que pour toutx∈[01],

(x)6xn+1
06un+1(x)−un(n+ 1)!

b) En déduire que pourn p∈N,

+∞

kun+p−unk∞6Xk1!
k=n+1

Enoncés

c) Etablir que pour toutx∈[01], la suite numérique(un(x))est de Cauchy.
d) Etablir que la suite(un)converge uniformément vers une fonctionunon nulle
vérifiant
u(x) =u(x−x2)

Exercice 2X MP[ 02970 ][correction]
On noteEl’ensemble des fonctionsf: [01]→R+continues.
On pose
pf(t)
Φ(f)(x) =Z0xdt
pour toutef∈E.
On posef0= 1puisfn+1= Φ(fn)pour toutn∈N.
a) Etudier la suite(fn).
b) Soitf= lim(fn).
Trouvez une équation différentielle dontfest solution.
Y a-t-il unicité de la solution nulle en 0 ?

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) Par récurrence surn∈N.
Pourn= 0:u0(x) = 1etu1(x) = 1 +R0xdt= 1 +xdonc06u1(x)−u0(x) =x.
Supposons la propriété établie au rangn>0.
x
un+2(x)−un+1(x) =Zun+1(t−t2)−un(t−t2) dt
0

orun+1(t−t2)−un(t−t2)>0doncun+2(x)−un+1(x)>0et

puis

un+1(t−t2)−un(t−t2)6(t−t2)n+16(tn++11)!
(n+ 1)!n

n+2
un+2(x)−un+1(x)6(xn+ 2)!

Récurrence établie.
b) On akun+1−unk∞6(n!)1+1donc par l’inégalité triangulaire
1 +∞
∀p∈N,kun+p−unk∞6n+Xp−k!16Xk!1
k=n+1k=n+1

+∞
c) Ork=nPk!1n−→−+−−∞→0(reste de série convergente) donc
+1

+∞
∀ε >0∃N∈N∀n>NXk!16ε
k=n+1

puis
∀n>N∀p∈Nkun+p−unk∞6ε
Enfin|un+p(x)−un(x)|6kun+p−unk∞donc(un(x))est de Cauchy.
d) Pour toutx∈[01], la suite(un(x))converge car de Cauchy. Posonsu(x)la
limite deun(x).

∀ε >0∃N∈N∀n>N∀p∈N∀x∈[01]|un+p(x)−un(x)|6ε

A la limite quandp→+∞:

∀n>N∀x∈[01]|u(x)−un(x)|6ε

et donc
∀n>Nku−unk∞6ε
Ainsiun−C−U→u. Par convergence uniforme,uest continue et
∀x∈[01],Z0xun(t−t2) dtn−→−+−−∞→Z0xu(t−t2) dt

Par conséquent
∀x∈[01],u(x) = 1 +Z0xu(t−t2) dt
La fonction est donc une fonction non nulle (caru(0) = 1) et dérivable avec

u(x) =u(x−x2)

Exercice 2 :[énoncé]
a) On vérifie sans peine que la suite(fn)est bien définie.

Sif(x) =αxβalors

f1(x) =x,f2(x=)32x32,. . .

Φ(f)(x) =√αZxtβ2dt=β2√+α2xβ2+1
0

Ainsifn(x) =αnxβnavec
β
αn+1=β2n√+αn2etβn+1=2n+ 1

On a

et, pourn>1,

On a

Or2n>2n−1donne

n−1
βn2=2n−1→2
2√αn
αn+14=−2n1−1
αn+2−α2√αn+124√2αn1n−1
n+1=−
1
4−2n−

2 2
4−164−2n1−1
2n

2

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Corrections

donc
αn+2−αn+16242n11√αn+1− √αn


Puisqueα1=α0, on obtient alors par récurrence que la suite(αn)est
décroissante.
Etant aussi minorée par 0, elle converge et en passant la relation de récurrence à
la limite, on obtient
αn→14

On en déduit que la suite de fonctions(fn)converge simplement vers la fonction
f:x7→x22

De plus

Puisqueβn

fn(x)−f(x) =αnxβn−x2+αn−14x2
62, on a pour toutx∈[01]et en exploitanteu61 +u
06xβn−x2=x2e(βn−2) lnx−16(βn−2)x2lnx

Puisque la fonctionx7→xlnxest minorée par−1esur[01],

06xβn−x2= 2−βnx62−βn
e

et ainsi
|fn(x)−f(x)|=αn(2−βn) +αn−14
et ce majorant uniforme tend vers 0.
Il y a donc convergence uniforme de la suite de fonctions(fn)versf.
b) La relation
x
fn+1(x) =pZfn(t) dt
0
donne à la limite
Zx) dt
f(x) =pf(t
0
d’où l’on tirefdérivable etf0(x) =pf(x).
Pour l’équation différentielley0=√y, il n’y a pas unicité de la solution nulle en 0,
car outre la fonction nulle, la fonctiony:x7→(x2)2est justement solution.

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