Sujet : Analyse, Suites et séries de fonctions, Etude de fonction définie par la somme d'une série

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Etude de fonction définie par la somme d’une série a) Montrer que S est définie et continue sur I. b) Etudier la monotonie de S. c) CalculerExercice 1 [ 00898 ] [correction] S(x + 1)−S(x)Justifier l’existence de ++∞ d) Déterminer un équivalent de S(x) en−1 .X1 1 1 f(x) = + + e) Etablir x x +n x−n nXn=1 1 ∀n∈N,S(n) = kpour tout x∈R\Z. k=1 Montrer que f est 1-périodique et qu’on a f) En déduire un équivalent de S(x) en +∞. x x + 1 f +f = 2f(x) 2 2 Exercice 5 [ 00903 ] [correction] pour tout x∈R\Z. Pour x> 0, on pose +∞ nX (−1) S(x) =Exercice 2 [ 00900 ] [correction] n +x n=0 Soit +∞ 1 +?X a) Justifier que S est définie et de classeC surR .1 1 ψ(x) = − b) Préciser le sens de variation de S.n−x n +x n=2 c) Etablir Justifier et calculer Z ∀x> 0,S(x + 1) +S(x) = 1/x1 ψ(x) dx d) Donner un équivalent de S en 0. 0 e) un équivalent de S en +∞. Exercice 3 [ 00901 ] [correction] Pour x> 0, on pose Exercice 6 [ 03777 ] [correction]+∞X 1 Pour x> 0, on poseS(x) = 2 +∞ nn +n x X (−1)n=1 F (x) = +? n +xa) Montrer que S est bien définie surR . n=0 b) Montrer que S est continue. a) Montrer que F est bien définie. c) Etudier la monotonie de S. 1 ∞b) Montrer que F est de classeC , de classeC . d) Déterminer la limite en +∞ de S puis un équivalent de S en +∞. c) Simplifier e) un équivalent à S en 0.
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Etude de fonction définie par la somme

Exercice 1[ 00898 ][correction]
Justifier l’existence de
f(x) = 1x++X∞1x+1n+x1−n
n=

pour toutx∈RZ.
Montrer quefest 1-périodique et qu’on a
f2x+fx21+= 2f(x)

pour toutx∈RZ.

Exercice 2[ 00900 ][correction]
Soit
ψ1
(x) =n+X=∞2n1−x−n+x
Justifier et calculer
Z1

ψ(x) dx
0

d’une

Exercice 3[ 00901 ][correction]
Pourx >0, on pose
+∞1
S(x) =Xn+n2x
n=1
a) Montrer queSest bien définie surR+?.
b) Montrer queSest continue.
c) Etudier la monotonie deS.
d) Déterminer la limite en+∞deSpuis un équivalent deSen+∞.
e) Déterminer un équivalent àSen 0.

Exercice 4[ 00902 ][correction]
SurI= ]−1+∞[, on pose

+∞
S(x) =X1n−n1+x
n=1

Enoncés

série

a) Montrer queSest définie et continue surI.
b) Etudier la monotonie deS.
c) Calculer
S(x+ 1)−S(x)
d) Déterminer un équivalent deS(x)en−1+.
e) Etablir
n
∀n∈N S(n) =Xk1
k=1
f) En déduire un équivalent deS(x)en+∞.

Exercice 5[ 00903 ][correction]
Pourx >0, on pose
S+∞( 1)n
Xn−x
(x) =n=0+
a) Justifier queSest définie et de classeC1surR+?.
b) Préciser le sens de variation deS.
c) Etablir
∀x >0 S(x+ 1) +S(x) = 1x

d) Donner un équivalent deSen 0.
e) Donner un équivalent deSen+∞.

Exercice 6[ 03777 ][correction]
Pourx >0, on pose
+∞(−1)n
F(x) =Xn+x
n=0
a) Montrer queFest bien définie.
b) Montrer queFest de classeC1, de classeC∞.
c) Simplifier
F(x) +F(x+ 1)

d) Montrer que pourx >0

F(x) =Z01t1x+−1tdt

e) Donner un équivalent deFen 0 et en+∞.

1

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Exercice 7[ 00904 ][correction]
Pourt >0, on pose
S(t) =+X∞(1−1)nnt
n=0+
a) Justifier queSest définie et continue sur]0+∞[.
b) Etudier la limite deSen+∞.
c) Etablir queSest de classeC1sur]0+∞[.

Exercice 8[ 00139 ][correction]
Pourt >0, on pose
S(t)+X∞(−1)n
=
n=0nt+ 1
Déterminer la limite deS(t)quandt→0+.

Exercice 9[ 00905 ][correction]
On fixeα >0et on pose


fn(x) =e−nαxetf(x) =Xfn(x)
n=0

a) Domaine de définition def?
b) Continuité def?
c) Etudierl→im+∞f(x).
x

Exercice 10[ 00906 ][correction]
Soit
+∞
f(x) =Xe−x√n
n=1
a) Quel est le domaine de définition def?
Etudier la continuité defsur celui-ci.
b) Montrer quefest strictement décroissante.
c) Etudier la limite defen+∞.
d) Déterminer un équivalent simple def(x)quandx→0+.

Enoncés

Exercice 11CCP MP[ 02558 ][correction]
Ensemble de définition et continuité de

+∞
f(x) =Xe−x√n
n=0

En trouver un équivalent en0+et la limite en+∞.

Exercice 12[ 00910 ][correction]
Pourn>1etx∈R, on pose
x2
un(x) = (−1)nln1 +n(1 +x2)
a) Etudier la convergence uniforme de la série de fonctionsPun.
b) Déterminer la limite de sa somme en+∞. On pourra exploiter la formule de
Stirling

Exercice 13[ 00911 ][correction]
On pose
un(x) = (−1)n+1x2n+2lnxpourx∈]01]etun(0) = 0

a) Calculer
+∞
Xun(x)
n=0
b) Montrer que la série desunconverge uniformément sur[01].
c) En déduire l’égalité
∞(−1)n+1
Z10+1lnxx2dx=n=X0(2n+ 1)2

Exercice 14[ 00912 ][correction]
On rappelle que
∀x∈R+∞xn
Xn! =ex
n=0
et on pose pourx >0,
S(x+∞(−1)n
) =nX=0n!(x+n)

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a) Justifier queSest définie et de classeC1surR+?.
b) Préciser le sens de variation deS.
c) Etablir que
xS(x)−S(x+ 1) = 1e
d) Donner un équivalent deSen+∞.
e) Donner un équivalent deSen 0.

Exercice 15[ 00913 ][correction]
Pourx >0, on pose
+∞n
S(x) =X Y1
n=0k=0(x+k)
a) Justifier queSest définie et continue sur]0+∞[.
b) Former une relation liantS(x)etS(x+ 1).
c) Déterminer un équivalent deS(x)en+∞et en 0.

Exercice 16[ 00914 ][correction]
Pour toutn∈Net toutx∈R+, on pose

fn(x) =th(x+n)−thn
a) Etablir la convergence de la série de fonctionsPfn.
+∞
b) Justifier que la fonction sommeS=Pfnest continue et strictement
n=0
+
croissante surR.
c) Montrer que∀x∈R+ S(x+ 1)−S(x) = 1−thx.
d) Etudier la convergence deSen+∞.

Exercice 17[ 00915 ][correction]
Pourx>0, on pose
xn
S(x) =n>X11 +x2n
a) Pour quelles valeurs dexdansR+,S(x) ?est définie
b) Former une relation entreS(x)etS(1x)pourx6= 0.
c) Etudier la continuité deSsur[01[puis sur]1+∞[.
d) Dresser le tableau de variation deS.

Enoncés

Exercice 18[ 00916 ][correction]
Pour toutx∈R {−1}etn∈N?on pose

un(x () =−1)n−1xn
n1 +xn

+∞
a) Justifier que la fonctionf:x7→Pun(x)est définie surR {−1}.
n=1
b) Etablir que pour toutx6= 0,f(x) +f(1x) =+P∞(−1n)n−1.
n=1
c) Etablir quefest continue sur]−11[puis quefest continue sur]−∞−1[et
]1+∞[.
d) Etablir la continuité defen 1.

Exercice 19[ 00917 ][correction]
Déterminer la limite de
nk
un=kX=0nn

Exercice 20[ 00918 ][correction]
Montrer que pour toutα >0,
k=nX 1−knnαeα
−−−−→
n→+∞eα−1
0

On pourra exploiter le théorème d’ interversion limite/somme infinie.

Exercice 21[ 00919 ][correction]
Par une interversion série-limite, montrer que pour toutz∈C
1 +zppp−→−−+−∞→exp(z)

Exercice 22
On donne

[ 00920 ][correction]

+∞
∀α∈[01]Xα2+2nα2=πshchααππ−1α
n=1

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(prolongée par continuité en 0).
En intégrant sur[01], en déduire la valeur de

n+Y=∞11 +n12

Exercice 23Centrale MP[ 02480 ][correction]
+∞
a) Déterminer le domaine de définition réel def:a7→Pe−a2n2.
n=0
b) Déterminerlimaf
a→0+(a)etal→i+m∞f(a).

Exercice 24Mines-Ponts MP[ 02835 ][correction]
Six >0etn∈N?, soit
fn(x) =nnxn!
Q(x+k)
k=0
a) Montrer l’existence deΓ(x) =nl→i+m∞fn(x).
b) Montrer
+∞
x
ln Γ(x) =−lnx−γx+X nx−ln1 +
n
n=1
c) Montrer queΓest une fonction de classeC1.

Exercice 25Mines-Ponts MP[ 02836 ][correction]
Soitαun réel. Pour tout entiern >0et tout réelx, on pose

un(x) =nnα2x+e−1nx

On noteIle domaine de définition de


S:x7→Xun(x)
n=0

a) DéterminerI.
b) Montrer queSest continue surR+?.
c) A-t-on convergence normale surR+?

Enoncés

d) On supposeα>2. Montrer que


Xuk(1n)
k=n+1

4

ne tend pas vers 0 quandntend vers+∞. La convergence est-elle uniforme surI?
e) Etudier la continuité deSsurI.

Exercice 26Mines-Ponts MP[ 02837 ][correction]
On pose
+∞xn
S(x) =n=X01 +xn
Etudier le domaine de définition, la continuité, la dérivabilité deS. Donner un
équation équivalent deSen 0 et en1−.

Exercice 27X MP[ 02971 ][correction]
Soit des suites réelles(an)et(xn)avecan>0pour toutn.
On suppose que la série de terme généralan(1 +|xn|)converge.
On pose

f:R→R,x7→Xan|x−xn|
n=0
Etudier la continuité et la dérivabilité def.

Exercice 28X MP[ 02973 ][correction]
Trouver les fonctionsf∈ C([01]R)telles que

∀x∈[01],f(x) =+X∞f2(xnn)
n=1

Exercice 29X MP[ 02974 ][correction]
+∞
a) Etudier la convergence de la série de fonctionsP(x−n)−2pourx∈RZ.
n=−∞
b) Soit un réelc >2. Soitfune fonction continue deRdansRtelle que, pour
toutxréel,
fx2+fx21+=cf(x)

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Montrer quef= 0.
c) Montrer que pour toutxréel non entier,

+∞(x)π2
X−n−2isn=2πx
n=−∞

Enoncés

Exercice 30Centrale MP[ 02112 ][correction]
On pose, pourx∈R+et pourn∈N?:
n
=Y
Pn(x)k=11++12k2xxk−1!
1.a) Démontrer que pour toutx∈R+, la suite(Pn(x))n∈N?est convergente, de
limite strictement positive. On noteP(x)cette limite.
1.b) Tracer sur[020], le graphe de quelques fonctionsPn.
2.a) Démontrer quePest une fonction de classeC1surR+.
2.b) Etudier le sens de variation dePsurR+ainsi que l’existence de limite deP
en+∞.
3.a) CalculerP(2j)pour tout entier naturelj. Confirmer le résultat avec le
logiciel de calcul formel (on rappelle que la fonctionΓest définie surR+?par
Γ(x) =R+0∞tx−1e−tdt)
3.b)Pest-elle intégrable surR+?
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 31Mines-Ponts MP[ 03203 ][correction]
Définition, continuité et dérivabilité de

+∞
S:x7→Xx
n=1n(1 +n2x2)

Exercice 32[ 03427 ][correction]
Pourn∈Netx∈R+, on pose
un(x) = arctan√n+x−arctan√n

a) Etudier l’existence et la continuité de la fonctionSdéfinie surR+par la
relation
+∞
S(x) =Xun(x)
n=0
b) Déterminer la limite deSen+∞.

Exercice 33[ 03644 ][correction]
Pourx∈R, on pose
+∞
x
S(x) =n=X1(−1)n−1n+x2
a) Montrer que la fonctionSest bien définie et étudier sa parité.
b) Montrer que la fonctionSest continue.
c) Déterminer la limite deSen+∞.

Exercice 34[ 03797 ][correction]
On étudie
+∞
f(x) =Xn2+1x2
n=1
a) Montrer quefest définie et de classeC1surR.
b) Donner, à l’aide d’une comparaison intégrale, un équivalent defau voisinage
de+∞.
c) Donner un développement limité à l’ordre 2 defen 0. On donne

+∞1π2 +X∞n14=π940
Xn2=6et1
n=1n=

Exercice 35CCP MP[ 03194 ][correction]
Définition, continuité et classeC1de
x7→∞X(−1)nsinxn
n
n=1

Exercice 36CCP PSI[ 02597 ][correction]
7→P2 !)2
Montrer queg:t+∞(2−n()1nntnest de classeC∞surR.
n=0
En déduire queh:t7→g(t)e−test de classeC∞surR.
Montrer queR+0∞h(t) dtexiste et calculer son intégrale.

Exercice 37CCP MP[ 02529 ][correction]
Montrer que
+∞
f(x) =Xn12arctan(nx)
n=1
est continue surRet de classeC1surR?.

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
On a
x+1n+x−1n=On12
d’où l’existence de la somme.

N1
f(x) =Nl→im∞X
+k=−Nx+k

Or
N+11
NXx=1Xx+k
k=−N+ 1 +kk=−N+1
donc à la limite quandN→+∞, on obtientf(x+ 1) =f(x).

Xx1+N1
k=N−N2+kk=X−xN+211+k= 2k=2−N2X+N+11x+k

donne à la limite

f2x+fx+ 1= 2f(x)
2

Exercice 2 :[énoncé]
On peut écrire
+∞2x
ψ(x) =Xn2−x2
n=2

Corrections

Ainsi

Z10ψ(x) dx 2= ln

Exercice 3 :[énoncé]
Posons
1
=
fn(x)n+n2xavecx >0
a) Soitx∈]0+∞[. On afn(x)∼1n2xdoncPfn(x)converge absolument.
On en déduit que la sériePfnconverge simplement sur]0+∞[et donc la
+∞
fonctionS=Pfnest bien définie.
n=0
b) Lesfnsont continues surR+?.
Soita >0,
kfnk∞[a+∞[6n1+n2a=On12
La série de fonctionsPfnconverge normalement sur[a+∞[donc converge
uniformément sur tout segment de]0+∞[.
On peut donc conclure queSest continue.
c) Chaquefnest décroissante donc la fonctionSl’est aussi.
d) Par convergence normale sur[1+∞[,
+∞+∞
limXfn(x) =Xxl→i+m∞fn(x) = 0
x→+∞
n=1n=1

On remarque
xfn(x)−−−−→1
x→+∞n2
Posonsgn:x7→n(1x+nx). La fonctiongncroît de 0 à1n2surR+donc

avec convergence normale sur[01]donc
∞11−d1xkgnk∞[0+∞[=n12
Z10ψ(x) dx=n=+X2Z0n−x n+xLa série de fonctionsPgnconverge normalement surR+donc
Or+∞+∞+∞1π2
Z10n1−x−n1+xdx= lnnn1−lnn+ 1xl→i+m∞Xgn(x) =Xxl→i+m∞gn(x) =X1n26=
−nn=1n=1n=
et en transitant par les sommes partielles Par suitexS(x)x−→−−+−∞→π62puis
N N
nN=X2Z01n1−x−n+1xdxX=2lnnn−1−nX=2lnnn ln =+ 1N−ln(N→+∞S(x)x→∼+∞6π2x
=N+1)+ln 2−−−−−→ln 2
n

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Corrections

e) La fonctiont7→t1(1+tx)est décroissante donc par comparaison avec une
intégrale
+∞dt+∞
Z1t )(1 +6n=111+x+Z1+∞t(1+dttx)
txXun(x)6
Or
Z+1∞t+1d(xtt) =Z1+∞t1−1 +xtxdt=+1nlxtt1+∞= ln(1 +x)−ln(x)

donc

S(x)∼ −ln(x)
x→0

Exercice 4 :[énoncé]
1
→ −1
a)fn:x7n n+x=n(nx+x)est définie et continue sur]−1+∞[
Soient−1< a60616b.

b
kfnk∞[ab]6n(n+a)
La série de fonctionPfnconverge normalement sur[a b]et donc converge
uniformément sur tout segment inclus dans]−1+∞[.
b) Chaquefnest croissante donc par sommation de monotonie,Sest croissante.
c)
+∞
S(x+ 1)−S(x) =n=+X∞2n−11−n+1x−X1n−n+1x
n=1

donc
∞1 1
=
S(x+ 1)−S(x) =n+X=2n−1−1n−1 +x1+1x+ 1
d) Quandx→ −1,S(x+ 1)→S(0) = 0puis

S(x) =−x1++1S(x+ 1)∼ −x1+1
e)S(0) = 0etS(x+ 1)−S(x) =x11+donc pour toutn∈N,

n
S(n) =Xk1
k=1

n
f) On saitP1k∼lnnet on saitln(n+ 1)∼lnn.
k=1

PuisqueS(E(x))6S(x)6S(E(x) + 1)on obtient

S(x)∼lnE(x)∼lnx

Exercice 5 :[énoncé]
a) Les fonctionsfn:x7→(n−1)+xnsont de classeC1et
x)=((n−1)+nx+)21
f0n(
Par le critère spécial des séries alternées,Pfn(x)converge simplement sur
n>0
]0+∞[versS.
Soia >0. Sur[a+∞[,

kfn0k∞[a+∞[6(n1+a)2et+X∞1
n=0(n+a)2<+∞
doncPf0nconverge normalement sur[a+∞[puis converge uniformément sur
tout segment de[a+∞[.
Par théorème,Sest définie et de classeC1sur]0+∞[et

=+X∞(n−1)n+1
S0(x)n=0( +x)2

b) On peut appliquer le critère spécial des séries alternées à la série de somme
P(n+x)2. Celle-ci e
+∞(−1)n+1st donc du signe de son premier termex−21. AinsiS0(x)60
n=0
et la fonctionSest décroissante.
c)

+∞+∞(−1)n+∞
S(x+ 1) +S(x) =Xn x=−X
n=0n(+−x+)1n1 +nX=0+n=1(n−1+)xn+n+=X∞0(n−1)+xn=x1
d) Quandx→0,S(x) =x1−S(x+ 1)etS(x+ 1)→S(1)donc
S(x)∼1x

e) Quandx→+∞,

21(S(x) +S(x+ 1))6S(x)62(1S(x) +S(x−1))

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c1∼1donne
avex x−1

S(x)∼12x

Exercice 6 :[énoncé]
Posonsun: ]0+∞[→Rdonnée par

un(x () =n−1)+xn
a) Par le critère spécial,Pun(x)converge pour chaquex >0.
Il y a convergence simple de la série de fonctions définissantF.
b) Les fonctionsunsont de classeC1et pourn>1

n+1
0
un(x(=)(n−+)1x)2

Corrections

On a
ku0nk∞=n12
Il y a convergence normalePu0npourn>1.
Il y a donc convergence uniforme dePu0n(pourn>0) et l’on peut donc conclure
queFest de classeC1.
De la mme manière, on obtientFde classeC∞.
c) Par décalage d’indice

et donc

+∞(−1)n
F(x+ 1) =+X∞n(+−1)n=−Xn+x
n=11 +x
n=2

F(x) +F(x 1+ 1) =x

d) Posons
x−1
G(x) =Z011tdt
+t
L’intégrale est bien définie pourx >0et l’on remarque

G(x) +G(x+ 1) = 1x

PosonsH=F−G. La fonctionHest 1 périodique, montrons qu’elle tend vers 0
en+∞.

Par application du critère spécial, on a

∀x >0 F(x)>0

donc
06F(x)6F(x) +F(x+ 1) =x1x−→−−+−∞→0
et par encadrementFtend vers 0 en+∞.
Le mme raisonnement se transpose àG.
On peut conclure queHtend vers 0 en+∞puis finalementHest nulle.
e) Quandx→0,F(x+ 1)→F(1)par continuité et donc

F(x) =x1−F(x+ 1)x∼→0x1

On vérifie aisément queFest décroissante et puisque

on obtient

1F(x) +F(x+ 1)62F(x)6F(x) +F(x−1) =x
=
x

F(x)∼1
x→+∞2x

1
−1

8

Exercice 7 :[énoncé]
a) Posonsfn(t) =(1−1+n)ntpourt >0.
Par application du critère spécial des séries alternées,Pfnconverge simplement
sur]0+∞[et
kRnk∞[1
→0
a+∞[61 +na
pour touta >0.
Par converge uniformément sur tout segment d’une série de fonctions continue,S
est définie et continue sur]0+∞[.
b) Par converge uniformément sur[a+∞[,

+∞(−1)n= 1
l+i∞mS(t) =Xtl→i+m∞nt
n=01 +

Par application du critère spécial des séries alternées

1−11+t6S(t)61

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c) Les fonctionsfnsont de classeC1et la série de fonctionsPfnconverge
simplement.
(−1)n+1n
f0n(t) = + (1nt)2
La sériePf0n(t)est alternée avec|fn0(t)|=(1+ntn)2.
Puisque
|f0n(t)| −f0n+1(t)= (1 +nn(t)n2)(1+1+t(2n−+1)1t)2
la suite(|fn0(t)|)décroît vers 0 à partir d’un certain rang.
Soita >0.
A partir d’un certain rangn0,

n(n+ 1)a2−1>0

Corrections

et alors pour toutt>aappliquer le critère spécial des séries alternées à, on peut
partir du rangn0.
On a alors
|Rn(t)|6(1 +nnt)26(1 +ann)2

donc
kRnk∞[a+∞[6(1 +ann)2→0
Ainsi la série de fonctionsPf0nconverge uniformément sur[a+∞[.
Par théorème, on peut alors conclure queSest de classeC1.

Exercice 8 :[énoncé]
Par le critère spécial des séries alternées, il est immédiate de justifier queS(t)est
définie pour toutt >0.
On peut réorganiser l’expression deS(t)de la façon suivante :

S(t) =p=+X∞0(2p−t+1)2p1(+2(p−1)1+2p+1=p+=X∞0(2pt+ 1) [(2pt+ 1)t+ 1]
)t+ 1

La fonctionft:x7→(2xt+1)((t2x+1)t+1)est décroissante.
Par comparaison avec une intégrale, on obtient l’encadrement
+∞
Z1dx6S(t)6Z0+∞ft(x) dx
ft(x)

Puisque par les calculs précédents

t1 1
=−
(2xt+ 1) ((2x+ 1)t 2+ 1)xt+ 1 (2x+ 1)t+ 1

On obtient
Z0+∞(2xt+ 1)((2tx+ dx=12tln (2xt+ 1) )+0∞ln=(12t+t)
1)t ((2+ 1)x+ 1)t+ 1

9

et
Z+1∞(2xt+ 1)((2tx+ 1)t+ 1) dx=21tl((2n(x+2xt1)+t1))1+1+∞ + 3= ln(1t)2−tln(1 + 2t)

Quandt→0+, on obtient par encadrementS(t)→12.

Exercice 9 :[énoncé]
a) Six60, la série numériquePfn(x)diverge grossièrement.
Six >0alorsn2fn(x) = e2 lnn−xnα→0doncPfn(x)est absolument
convergente.
AinsiPfnconverge simplement sur]0+∞[.fest définie sur]0+∞[.
b) Les fonctionsfnsont continues.
Poura >0,kfnk∞[a+∞[=fn(a)etPfn(a)converge doncPfnconverge
normalement sur[a+∞[. Par convergence uniforme sur tout segment, on peut
affirmer quefest continue.
c) Par convergence uniforme sur[a+∞[, on peut intervertir limite en+∞et
+∞
somme infinie. Ainsixl→im+∞f(x) =n=Pxl→im+∞fn(x) = 1.
0

Exercice 10 :[énoncé]
a) Posonsfn(x) = e−x√n
Pourx60, la sériePe−x√ndiverge grossièrement.
Pourx >0,n2fn(x)→0doncPe−x√nconverge absolument.
La fonctionfest donc définie sur]0+∞[.
Poura >0,kfnk∞[a+∞[=fn(a)etPfn(a)converge doncPfnconverge
normalement sur[a+∞[. Comme somme de série de fonctions continues
convergeant uniformément sur tout segment, on peut affirmer quefest continue
sur]0+∞[.
b)fest somme de fonction strictement décroissante, elle donc elle-mme
strictement décroissante.

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

c) Par convergence uniforme sur[a+∞[, on peut intervertir limite en+∞et
+∞
somme infinie. Ainsixl→im+∞f(x) =n=P1xl→i+m∞f(x) =
n0.
d) Par monotonie det7→e−x√t,Rnn+1e−x√tdt6e−x√n6Rnn−1e−x√tdt
En somm tR+∞−x√tdt6f(x)6R0+∞e−x√tdt.
an1e
OrR+0∞e−x√tdt=x22etR+1∞e−x√tdt∼22doncf(x)∼x22.
x

Corrections

Exercice 11 :[énoncé]
Pourx60, il y a divergence grossière.
Pourx >0,n2e−x√n= e−x√n+2 lnn→0doncPe−x√nest absolument
convergente. Ainsifest définie sur]0+∞[.
Poura >0, sur[a+∞[,e−x√n6e−a√n. Cela permet d’établir la convergence
normale de la série de fonctions sur[a+∞[. Par convergence uniforme sur tout
segment d’une série de fonctions continues, on peut affirmer quefest continue
sur]0+∞[.
Par convergence uniforme sur[1+∞[, on peut appliquer le théorème de la double
limite et affirmer
+∞
limf=Xlim e−x√n= 1
+∞x→+∞
n=0
Pourx >0fixé, la fonctiont7→e−x√test décroissante donc
e−x√tdt6e−x−√x√tdt
Zn+1n6Znn−1e
n

En sommant (avecn= 0part pour la majoration) on obtientà
+∞
Z0+∞e−x√tdt6f(x)61 +Ze−x√tdt
0
avec
Z+√2

On en déduit

quandx→0+.

e−x tdt=2
0x

f(x)∼x22

Exercice 12 :[énoncé]
a) Pour toutx∈R, la série numériquePun(x)satisfait le critère spécial des
séries alternées donc la série de fonctionsPunconverge simplement surR.
De plus
+∞
Xun6ln1 + (N+ 1x)(21 +x2)6ln1 +N11+→0
n=N+1∞
donc la série de fonctionsPunconverge uniformément surR.
b)un(x)x−→−−+−∞→ln(1 + 1n). Par converge uniformément

+∞+∞
Xun(x)x−→−−+−∞→`=X(−1)nln(1 + 1n)
n=1n=1

Pour calculer cette somme, manipulons les sommes partielles

2N
n=1(−1)nln1 +nXN=1ln(2n+ 1)−ln(2n) +NnX=−10ln(2n+ 1)−ln(2n)
Xn1=

donc

Or

donc

On en déduit

2
n=2XN1(−1)nln1 +n1= ln(2(N2NN!)!)2(2N+ 1)

N!√∼2πN NNe−N

2N
X(−1)nln(1 + 1n)∼ln (2π)
n=1

` (2= lnπ)

Exercice 13 :[énoncé]
a) Pourx∈]01[, on obtient par sommation géométrique

nx
+X∞un(x) =x2l

n01 +x2
=

Cette relation vaut aussi pourx= 0oux= 1.

!

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