Sujet : Analyse, Suites et séries de fonctions, Etude de fonction définie par la somme d'une série

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Etude de fonction définie par la somme d’une série a) Montrer que S est définie et continue sur I. b) Etudier la monotonie de S. c) CalculerExercice 1 [ 00898 ] [correction] S(x + 1)−S(x)Justifier l’existence de ++∞ d) Déterminer un équivalent de S(x) en−1 .X1 1 1 f(x) = + + e) Etablir x x +n x−n nXn=1 1 ∀n∈N,S(n) = kpour tout x∈R\Z. k=1 Montrer que f est 1-périodique et qu’on a f) En déduire un équivalent de S(x) en +∞. x x + 1 f +f = 2f(x) 2 2 Exercice 5 [ 00903 ] [correction] pour tout x∈R\Z. Pour x> 0, on pose +∞ nX (−1) S(x) =Exercice 2 [ 00900 ] [correction] n +x n=0 Soit +∞ 1 +?X a) Justifier que S est définie et de classeC surR .1 1 ψ(x) = − b) Préciser le sens de variation de S.n−x n +x n=2 c) Etablir Justifier et calculer Z ∀x> 0,S(x + 1) +S(x) = 1/x1 ψ(x) dx d) Donner un équivalent de S en 0. 0 e) un équivalent de S en +∞. Exercice 3 [ 00901 ] [correction] Pour x> 0, on pose Exercice 6 [ 03777 ] [correction]+∞X 1 Pour x> 0, on poseS(x) = 2 +∞ nn +n x X (−1)n=1 F (x) = +? n +xa) Montrer que S est bien définie surR . n=0 b) Montrer que S est continue. a) Montrer que F est bien définie. c) Etudier la monotonie de S. 1 ∞b) Montrer que F est de classeC , de classeC . d) Déterminer la limite en +∞ de S puis un équivalent de S en +∞. c) Simplifier e) un équivalent à S en 0.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

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• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Etude de fonction définie par la somme

Exercice 1[ 00898 ][correction]
Justifier l’existence de
f(x) = 1x++X∞1x+1n+x1−n
n=

pour toutx∈RZ.
Montrer quefest 1-périodique et qu’on a
f2x+fx21+= 2f(x)

pour toutx∈RZ.

Exercice 2[ 00900 ][correction]
Soit
ψ1
(x) =n+X=∞2n1−x−n+x
Justifier et calculer
Z1

ψ(x) dx
0

d’une

Exercice 3[ 00901 ][correction]
Pourx >0, on pose
+∞1
S(x) =Xn+n2x
n=1
a) Montrer queSest bien définie surR+?.
b) Montrer queSest continue.
c) Etudier la monotonie deS.
d) Déterminer la limite en+∞deSpuis un équivalent deSen+∞.
e) Déterminer un équivalent àSen 0.

Exercice 4[ 00902 ][correction]
SurI= ]−1+∞[, on pose

+∞
S(x) =X1n−n1+x
n=1

Enoncés

série

a) Montrer queSest définie et continue surI.
b) Etudier la monotonie deS.
c) Calculer
S(x+ 1)−S(x)
d) Déterminer un équivalent deS(x)en−1+.
e) Etablir
n
∀n∈N S(n) =Xk1
k=1
f) En déduire un équivalent deS(x)en+∞.

Exercice 5[ 00903 ][correction]
Pourx >0, on pose
S+∞( 1)n
Xn−x
(x) =n=0+
a) Justifier queSest définie et de classeC1surR+?.
b) Préciser le sens de variation deS.
c) Etablir
∀x >0 S(x+ 1) +S(x) = 1x

d) Donner un équivalent deSen 0.
e) Donner un équivalent deSen+∞.

Exercice 6[ 03777 ][correction]
Pourx >0, on pose
+∞(−1)n
F(x) =Xn+x
n=0
a) Montrer queFest bien définie.
b) Montrer queFest de classeC1, de classeC∞.
c) Simplifier
F(x) +F(x+ 1)

d) Montrer que pourx >0

F(x) =Z01t1x+−1tdt

e) Donner un équivalent deFen 0 et en+∞.

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Exercice 7[ 00904 ][correction]
Pourt >0, on pose
S(t) =+X∞(1−1)nnt
n=0+
a) Justifier queSest définie et continue sur]0+∞[.
b) Etudier la limite deSen+∞.
c) Etablir queSest de classeC1sur]0+∞[.

Exercice 8[ 00139 ][correction]
Pourt >0, on pose
S(t)+X∞(−1)n
=
n=0nt+ 1
Déterminer la limite deS(t)quandt→0+.

Exercice 9[ 00905 ][correction]
On fixeα >0et on pose

∞
fn(x) =e−nαxetf(x) =Xfn(x)
n=0

a) Domaine de définition def?
b) Continuité def?
c) Etudierl→im+∞f(x).
x

Exercice 10[ 00906 ][correction]
Soit
+∞
f(x) =Xe−x√n
n=1
a) Quel est le domaine de définition def?
Etudier la continuité defsur celui-ci.
b) Montrer quefest strictement décroissante.
c) Etudier la limite defen+∞.
d) Déterminer un équivalent simple def(x)quandx→0+.

Enoncés

Exercice 11CCP MP[ 02558 ][correction]
Ensemble de définition et continuité de

+∞
f(x) =Xe−x√n
n=0

En trouver un équivalent en0+et la limite en+∞.

Exercice 12[ 00910 ][correction]
Pourn>1etx∈R, on pose
x2
un(x) = (−1)nln1 +n(1 +x2)
a) Etudier la convergence uniforme de la série de fonctionsPun.
b) Déterminer la limite de sa somme en+∞. On pourra exploiter la formule de
Stirling

Exercice 13[ 00911 ][correction]
On pose
un(x) = (−1)n+1x2n+2lnxpourx∈]01]etun(0) = 0

a) Calculer
+∞
Xun(x)
n=0
b) Montrer que la série desunconverge uniformément sur[01].
c) En déduire l’égalité
∞(−1)n+1
Z10+1lnxx2dx=n=X0(2n+ 1)2

Exercice 14[ 00912 ][correction]
On rappelle que
∀x∈R+∞xn
Xn! =ex
n=0
et on pose pourx >0,
S(x+∞(−1)n
) =nX=0n!(x+n)

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a) Justifier queSest définie et de classeC1surR+?.
b) Préciser le sens de variation deS.
c) Etablir que
xS(x)−S(x+ 1) = 1e
d) Donner un équivalent deSen+∞.
e) Donner un équivalent deSen 0.

Exercice 15[ 00913 ][correction]
Pourx >0, on pose
+∞n
S(x) =X Y1
n=0k=0(x+k)
a) Justifier queSest définie et continue sur]0+∞[.
b) Former une relation liantS(x)etS(x+ 1).
c) Déterminer un équivalent deS(x)en+∞et en 0.

Exercice 16[ 00914 ][correction]
Pour toutn∈Net toutx∈R+, on pose

fn(x) =th(x+n)−thn
a) Etablir la convergence de la série de fonctionsPfn.
+∞
b) Justifier que la fonction sommeS=Pfnest continue et strictement
n=0
+
croissante surR.
c) Montrer que∀x∈R+ S(x+ 1)−S(x) = 1−thx.
d) Etudier la convergence deSen+∞.

Exercice 17[ 00915 ][correction]
Pourx>0, on pose
xn
S(x) =n>X11 +x2n
a) Pour quelles valeurs dexdansR+,S(x) ?est définie
b) Former une relation entreS(x)etS(1x)pourx6= 0.
c) Etudier la continuité deSsur[01[puis sur]1+∞[.
d) Dresser le tableau de variation deS.

Enoncés

Exercice 18[ 00916 ][correction]
Pour toutx∈R {−1}etn∈N?on pose

un(x () =−1)n−1xn
n1 +xn

+∞
a) Justifier que la fonctionf:x7→Pun(x)est définie surR {−1}.
n=1
b) Etablir que pour toutx6= 0,f(x) +f(1x) =+P∞(−1n)n−1.
n=1
c) Etablir quefest continue sur]−11[puis quefest continue sur]−∞−1[et
]1+∞[.
d) Etablir la continuité defen 1.

Exercice 19[ 00917 ][correction]
Déterminer la limite de
nk
un=kX=0nn

Exercice 20[ 00918 ][correction]
Montrer que pour toutα >0,
k=nX 1−knnαeα
−−−−→
n→+∞eα−1
0

On pourra exploiter le théorème d’ interversion limite/somme infinie.

Exercice 21[ 00919 ][correction]
Par une interversion série-limite, montrer que pour toutz∈C
1 +zppp−→−−+−∞→exp(z)

Exercice 22
On donne

[ 00920 ][correction]

+∞
∀α∈[01]Xα2+2nα2=πshchααππ−1α
n=1

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(prolongée par continuité en 0).
En intégrant sur[01], en déduire la valeur de

n+Y=∞11 +n12

Exercice 23Centrale MP[ 02480 ][correction]
+∞
a) Déterminer le domaine de définition réel def:a7→Pe−a2n2.
n=0
b) Déterminerlimaf
a→0+(a)etal→i+m∞f(a).

Exercice 24Mines-Ponts MP[ 02835 ][correction]
Six >0etn∈N?, soit
fn(x) =nnxn!
Q(x+k)
k=0
a) Montrer l’existence deΓ(x) =nl→i+m∞fn(x).
b) Montrer
+∞
x
ln Γ(x) =−lnx−γx+X nx−ln1 +
n
n=1
c) Montrer queΓest une fonction de classeC1.

Exercice 25Mines-Ponts MP[ 02836 ][correction]
Soitαun réel. Pour tout entiern >0et tout réelx, on pose

un(x) =nnα2x+e−1nx

On noteIle domaine de définition de

∞
S:x7→Xun(x)
n=0

a) DéterminerI.
b) Montrer queSest continue surR+?.
c) A-t-on convergence normale surR+?

Enoncés

d) On supposeα>2. Montrer que

∞
Xuk(1n)
k=n+1

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ne tend pas vers 0 quandntend vers+∞. La convergence est-elle uniforme surI?
e) Etudier la continuité deSsurI.

Exercice 26Mines-Ponts MP[ 02837 ][correction]
On pose
+∞xn
S(x) =n=X01 +xn
Etudier le domaine de définition, la continuité, la dérivabilité deS. Donner un
équation équivalent deSen 0 et en1−.

Exercice 27X MP[ 02971 ][correction]
Soit des suites réelles(an)et(xn)avecan>0pour toutn.
On suppose que la série de terme généralan(1 +|xn|)converge.
On pose
&