Sujet : Analyse, Suites et séries de fonctions, Etude de la convergence d'une suite de fonctions

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Etude de la convergence d’une suite de fonctions Exercice 6 [ 00873 ] [correction] On pose 2 −nx +f (x) =nx e avec x∈RnExercice 1 [ 00881 ] [correction] Soient α∈R et f : [0,1]→R définie par +n Etudier la convergence uniforme de (f ) surR puis sur [a,+∞[ avec a> 0.n α nf (x) =n x(1−x)n Exercice 7 [ 00874 ] [correction]a) Etudier la limite simple de la suite (f ).n On poseb) Pour quels α∈R, y a-t-il convergence uniforme? 1 f (x) = avec x∈Rn 2 n(1+x ) Exercice 2 [ 00869 ] [correction] Etudier la convergence uniforme de (f ) surR puis sur ]−∞,−a]∪[a,+∞[ avecn Soit f :R→R définie parn a> 0. p 2f (x) = x +1/nn 1 Exercice 8 [ 00875 ] [correction]Montrer que chaque f estC et que la suite (f ) converge uniformément surRn n 1 On posevers une fonction f qui n’est pas de classeC . 12f (x) =x sin pour x> 0 et f (0) = 0n n nx +Etudier la convergence uniforme de (f ) surR puis sur [−a,a] avec a> 0.Exercice 3 [ 00871 ] [correction] n On pose nu (x) =x lnx avec x∈ ]0,1] et u (0) = 0n n Exercice 9 [ 00890 ] [correction]Etudier la convergence uniforme de la suite de fonctions (u ) sur [0,1].
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Etude de la convergence d’une suite de

Exercice 1[ 00881 ][correction]
Soientα∈Retfn: [01]→Rdéfinie par

fn(x) =nαx(1−x)n

a) Etudier la limite simple de la suite(fn).
b) Pour quelsα∈R, y a-t-il convergence uniforme ?

Exercice 2[ 00869 ][correction]
Soitfn:R→Rdéfinie par
fn(x) =px2+ 1n

fonctions

Montrer que chaquefnestC1et que la suite(fn)converge uniformément surR
vers une fonctionfqui n’est pas de classeC1.

Exercice 3[ 00871 ][correction]
On pose
un(x) =xnlnxavecx∈]01]etun(0) = 0
Etudier la convergence uniforme de la suite de fonctions(un)sur[01].

Exercice 4[ 00872 ][correction]
Etudier la convergence uniforme defn: [0+∞[→Rdéfinie par

fn(x) =n(1x+xn)

Exercice 5[ 00870 ][correction]
On pose
un(x) = e−nxsin(nx)avecx∈R+
a) Etudier la convergence simple de la suite de fonctions(un)sur[0+∞[.
b) Etudier la convergence uniforme sur[a+∞[aveca >0.
c) Etudier la convergence uniforme sur[0+∞[.

Enoncés

Exercice 6[ 00873 ][correction]
On pose
fn(x) =nx2e−nxavecx∈R+
Etudier la convergence uniforme de(fn)surR+puis sur[a+∞[aveca >0.

Exercice 7[ 00874 ][correction]
On pose
fn(x=)(1+1x2)navecx∈R

Etudier la convergence uniforme de(fn)surRpuis sur]−∞−a]∪[a+∞[avec
a >0.

Exercice 8[ 00875 ][correction]
On pose
fn(x) =x2sinn1xpourx >0etfn(0) = 0
Etudier la convergence uniforme de(fn)surR+puis sur[−a a]aveca >0.

Exercice 9[ 00890 ][correction]
Soitfn:R+→Rdéfinie par
−n
fn(x) =1 +nx

a) Etudier la limite simple de(fn)et montrer que

∀x∈R+ fn(x)>limfn(x)

b) En partant de l’encadrement suivant valable pour toutt∈R+,

t−t226ln(1 +t)6t

justifier que la suite(fn)converge uniformément sur tout intervalle[0 a](avec
a >0).
c) Etablir qu’en fait, la suite de fonctions(fn)converge uniformément surR+.

1

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Exercice 10[ 00892 ][correction]
Soitfn: [01]→Rdéfinie par
fn(x) =n2x(1−nx)six∈[01n]etfn(x) = 0sinon

a) Etudier la limite simple de la suite(fn).
b) Calculer
Z10fn(t) dt
Y a-t-il convergence uniforme de la suite de fonction(fn)?
c) Etudier la convergence uniforme sur[a1]aveca >0.

Exercice 11[ 00891 ][correction]
Pourx∈[0 π2], on posefn(x) =nsinxcosnx.
a) Déterminer la limite simple de la suite de fonctions(fn).
b) Calculer
π2
In=Zfn(x)dx
0
La suite(fn) ?converge-t-elle uniformément
c) Justifier qu’il y a convergence uniforme sur tout segment inclus dans]0 π2].

Exercice 12Mines-Ponts MP[ 02830 ][correction]
On pose, pourx>0,
fp(x) = (1 +x1)1+1p
Etudier la convergence simple puis uniforme de la suite de fonctions(fp)p∈N?.

Exercice 13X MP[ 02972 ][correction]
Soit, pourn∈N,fnla fonction définie surR+par
fn(x) = (1−xn)nsix∈[0 n]etfn(x) = 0six > n
Etudier le mode de convergence de(fn).

Exercice 14[ 00876 ][correction]
On pose
fn(x1+)=2nn2xnx2pourx∈R
Sur quels intervalles y a-t-il convergence uniforme ?

Enoncés

Exercice 15[ 00877 ][correction]
On pose
fn(x) = 4n(x2n−x2n+1)pourx∈[01]
Sur quels intervalles y a-t-il convergence uniforme ?

Exercice 16[ 00883 ][correction]
Soitfn:R+→Rdéfinie par

fn(x) =x+ 1n

Montrer que(fn)converge uniformément mais pas(fn2).

Exercice 17[ 00887 ][correction]
Soitf:R→Rfonction deux fois dérivable de dérivée seconde bornée.une
Montrer que la suite des fonctions

gn:x7→n(f(x+ 1n)−f(x))

converge uniformément versf0.

2

Exercice 18Mines-Ponts MP[ 02831 ][correction]
Soitf: [01]→[01]donnée parf(x) = 2x(1−x). Etudier la convergence de(fn)
oùfnest l’itérénème def.

Exercice 19[ 02860 ][correction]
Soit(fn)la suite de fonction définie surR+par

f0(x) =xetfn+1(x) =xN
2 +fn(x)pourn∈

Etudier la convergence simple et uniforme de la suite(fn)n>0surR+.

Exercice 20CCP MP[ 02527 ][correction]
Etudier la convergence simple et uniforme de la suite de terme général
fn(x) = sinnxcosxpourx∈R.

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Enoncés

Exercice 21CCP MP[ 02532 ][correction]
a) Montrer que la suite de fonctionsfn(x) =x(1 +nαe−nx)définies surR+pour
α∈Retn∈N?converge simplement vers une fonctionfà déterminer.
b) Déterminer les valeurs deαpour lesquelles il y a convergence uniforme.
c) Calculer
1
nl→i+mZx(1 +√n−nx)dx
e
∞0

Exercice 22CCP MP[ 02518 ][correction]
Etudier la suite de fonctions(fn)définie par

fn(x)n1x−2ee−−xn2x
=

3

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) Six= 0alorsfn(x) = 0→0.
Six∈]01]alorsfn(x)→0par comparaison des suites de référence.
b)f0n(x) =nα(1−x)n−nα+1x(1−x)n−1=nα(1−x)n−1(1−(n+ 1)x).
Après étude des variations
kfnk∞=fnn1+1=nαn1+11−n1+1n

Orn11+∼1net
1−n1+1n=enln(1−n1+1)=e−1+o(1)→e−1

donckfnk∞nαe−1.

Il y a convergence uniforme si, et seulement si,α <1.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
Par opérations, les fonctionsfnsont de classeC1car√estC1surR+?.
La suite(fn)converge simplement versfavecf(x) =|x|qui n’est pas dérivable
en 0.
En multipliant par la quantité conjuguée :

fn(x)−f(x) =px21+1nn+√x2

Par suite|fn(x)−f(x)|6√11nn=√1npuiskfn−fk∞6√1n→0.
Ainsi la suite(fn)converge uniformément vers une fonctionfqui n’est pas de
classeC1
.

Exercice 3 :[énoncé]
Les fonctionsunsont continues sur[01]pourn>1et dérivables sur]01]avec
u0n(x) =xn−1(1 +nlnx)
Le tableau de variation deundonne
e
[s0u1p]|un|=−un(−1n) =n1e→0

La suite de fonctions converge donc uniformément sur[01]vers la fonction nulle.

Exercice 4 :[énoncé]
Pourx∈[0+∞[,fn(x)→0car|fn(x)|6nx.
On a
fn0(x)n(1 +xn)−n2xn1 + (1−n)xn
= =
n2(1 +xn)2n(1 +xn)2
Posonsxn=np1(n−1).

x0
fn(x) 0

xn+∞
%Mn&0

donc
kfnk∞Mn=fn(xn) =np1(n−)1)=e−1nnlnn2(n−1)→0
=
1
n(1 +n−1−1
Il y a donc convergence uniforme vers la fonction nulle.

4

Exercice 5 :[énoncé]
a) Soitx∈[0+∞[.
Six= 0alorsun(x) = 0→0.
Six >0alorsun(x)→0care−nx→0.
La suite de fonctions(un)donc simplement vers la fonction nulle surconverge R+.
b) On a
sup|un(x)|6e−na→0
[a+∞[

donc il y a convergence uniforme sur[a+∞[aveca >0.
c) Puisque
kunk∞>un(π2n) = e−π26 →0
il n’y a pas convergence uniforme surR+.

Exercice 6 :[énoncé]
fn0(x) =nx(2−nx)e−nx, le tableau de variation defndonne

sup|fn|=fn(2n 4) = e−2→0
R+n

donc il y a convergence uniforme surRet donc a fortiori sur[a+∞[.

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Corrections

Exercice 7 :[énoncé]
fn(0)→1etfn(x)→0pourx6= 0. La fonction limite n’étant pas continue, il n’y
a pas convergence uniforme surR. En revanche si|x|>|a|alors

|fn(x)|61(1+a2)→0
n

donc il y a convergence uniforme sur]−∞−a]∪[a+∞[aveca >0.

Exercice 8 :[énoncé]
fn(x)→0etfn(n) =n2sin(1n2)→1il n’y a donc pas convergence uniforme sur
R.
Sur[−a a],|fn(x)|6nx|2x|=|nx|6na→0via|sint|6|t|. Par suite il y a
convergence uniforme sur[−a a].

Exercice 9 :[énoncé]
a)fn(x) = exp(−nln(1 +xn)) = exp(−x+o(1))→e−x=f(x).
On saitln(1 +t)6tdonc par opérations :fn(x)>e−x
b) On sait
t2
t−26ln(1 +t)6t
donc
nx−2nx226ln(1 +xn)6xn
puis
2 2

x
e−x6fn(x)6e−x+x−x
2n=e e2n
2
Sur[0 a]on a e2nx6ea2n2→1.
Pourε >0, il existeN∈Ntel que pour toutn>N,ea22n−16ε.
On a alors pour toutx∈[0 a],

|fn(x)−f(x)|6e−xex22n−16ea22−16ε
n

Par suitefn[C−0U−a→]f.
c) Les fonctionsfnsont décroissantes donc

Soitε >0.

∀x>a fn(x)6fn(a)

Puisque e−a−−−−→0ea∈R+tel que∀x>a,
a→+∞, il exist

e−x6ε3

Puisquefn(a)→e−a, il existeN∈Ntel que
∀n>Nfn(a)−e−a6ε3

Mais alors∀x>a,
fn(x)−e−x6fn(x) +e−x6fn(a) +e−x6fn(a)−e−a+e−a+e−x6ε
De plus,fn[−C−aU]→fdonc il existeN0∈Ntel que
0

Finalement

Ainsifn−CR−+U→f.

∀n>N0∀x∈[0 a]fn(x)−e−x6ε

∀n>max(N N0)∀x∈R+fn(x)−e−x6ε

5

Exercice 10 :[énoncé]
a) Pourx= 0,fn(x) = 0et pourx >0, on a aussifn(x) = 0pournassez grand.
Par e−→0.
suitfn−CS
b)
Z10fn(t) =Z1nn2t(1−nt) dt=Z01u(1−u) du61=
dt
0
Il n’y a pas convergence uniforme de la suite(fn)puisque
Z10fn(t) dt6 →Z100 dt

c) Pournassez grand,sup|fn(x)|= 0donc(fn)converge uniformément vers 0 sur
[a1]
[0 a].

Exercice 11 :[énoncé]
a) Pourx= 0,fn(x) = 0→0. Pourx∈]0 π2],cosx∈[01[doncfn(x)→0.

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b) Directement
In=−n+n1 cosn+1π02=n
x
n+ 1
doncIn→16=R0π20dxet il n’y a pas convergence uniforme.
c) On a
x0xnπ2
fn0%fn(xn)&0
avecxn= arccosqnn+1→0et
fn(xn + 1 (1) =√n)n(n+1)2∼ren→+∞

Corrections

Soit[a b]⊂]0 π2]. On aa >0donc à partir d’un certain rangxn< aet alors
sup|fn|=fn(a)→0donc il y a convergence uniforme sur[0 a].
[ab]

Exercice 12 :[énoncé]
Quandp→+∞,
fp(x +) = (1x1)1+1p→+11=f(x)
x

On a
f(x)−fp(x (1 +) =x)1p−1
(1 +x)1+1p
Or, pourα∈]01], la fonctionx7→(1 +x)αest concave ce qui permet d’affirmer

pour toutx>0et donc

06(1 +x)α61 +αx

|f(x)−fp(x)|61p(1 +xx)1+1p6p+11xx61p

Puisquekf−fpk∞R+6p1, la convergence est uniforme surR+.

Exercice 13 :[énoncé]
Soitx∈R+. Pournassez grand

fn(x) = (1−xn)n= exp (nln(1−xn))n−→−+−−∞→e−x

La suite(fn)converge simplement versf:x7→e−xavecfn6f.
Etudionsδn=f−fn>0.
Pourx∈]n+∞[,δn(x) = e−x6e−n.
0
Pourx∈[0 n],δn(x) = e−x−(1−xn)netδn(x) =−e−x+ (1−xn)n−1.
Posons
ϕn(x) = (n−1) ln (1−xn) +x

6

On a
1 1x−1
ϕ0n(x) =nn−xn− 1 =1 +n
x−
est du signe de1−x.
Par étude des variations deϕn, on obtient l’existence dexn∈[0 n[tel que
ϕn(x)>0pourx6xnetϕn(x)60pourx>xn. On en déduit que pourx6xn,
δ0n(x)>0et pourx>xn,δ0n(x)60. Ainsi
kδnk∞;[0n]=δn(xn) =1−xnnn−1−1−nxnn=nxne−xn
Puisque la fonctionx7→xe−xest bornée par un certainMsurR+, on obtient

M

6
kδnk∞[0n]n
Finalement
kδnk∞[0+∞[6maxMne−n→0
On peut donc affirmer que la suite(fn)converge uniformément surR+versf.

Exercice 14 :[énoncé]
La suite(fn)converge simplement vers la fonction nulle et
xsu∈pR|fn(x)|=fn(±1√n2n)=2√√2nn→+∞

il n’y a donc pas convergence uniforme surR.
Or±1√n2n→0et donc d’après le tableau de variation defn, pour touta >0,
on a, pournassez grand,

sup|fn(x)|=fn(a)→0
x>a

Ainsi il y a convergence uniforme sur[a+∞[et de mme sur]−∞ a]. En
revanche il n’y aura pas convergence uniforme sur les intervalles non singuliers
contenant 0.

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Corrections

Exercice 15 :[énoncé]
On a
x∈s[u0p|fn(x)|=fn12n√2= 4n−1→+∞
1]
il n’y a donc pas convergence uniforme sur[01].
Or12n√2→1et donc d’après le tableau de variation defn, pour touta∈[01[,
on a, pournassez grand,

sup|fn(x)|=fn(a)→0
x∈[0a]

Ainsi il y a convergence uniforme sur[0 a]. En revanche il n’y aura pas
convergence uniforme sur les intervalles non singuliers contenant 1.

Exercice 16 :[énoncé]
fn(x)→xetkfn(x)−xk∞= 1n→0.
fn(x)2→x2etfn(n)2−n2= 2 + 1n2→2donc il n’y a pas convergence
uniforme.

Exercice 17 :[énoncé]
Par la formule de Taylor Lagrange :
f(x+ 1n)−f(x)−1n f0(x)6nM2
avecM= sup|f00|.
Par suite

et donc

|gn(x)−f0(x)|6Mn

kgn(x)−f0(x)k∞R→0

Exercice 18 :[énoncé]
On remarque def(1−x) =f(x). Pour étudier le comportement de
(fn(a)) = (fn(a)), on peut se limiter àa∈[012]. Etudier le comportement de
(fn(a))équivaut à étudier la suite récurrente définie paru0=aetun+1=f(un).
Une étude élémentaire permet d’affirmer qu’elle est croissante. Sia= 0, cette
suite est en fait constante, sia >0cette suite converge vers une limite qui ne peut
qu’tre12qu’il y a convergence simple de. On peut alors affirmer (fn)vers la
fonctionf:x7→12six∈]01[et 0 sinon. Par non continuité, il y a non
convergence uniforme sur[01]. En revanche la croissance defsur[012]permet
d’assurer que∀a∈]012],∀x∈[a12],fn(x)>fn(a)ce qui permet de justifier
la convergence uniforme de(fn)sur[a1−a]poura∈]012].

Exercice 19 :[énoncé]

7

Pourx>0, la suite numérique(fn(x))est une suite homographique.
L’équationr=2x+rpossède deux solutionsr1=√1 +x−1etr2=−√1 +x−1.
Posons
gn(x) =fnn((xx))−−rr1
f2
On a
x−xf(x)−r2 +r

=
gn+1(x) =2+fxn(x) 2+rx1fnn(x)r212 +r12=ρgn(x)
− −
2+fn(x) 2+r2

avec
2 +r2r1
ρ= =
2 +r1r2
Puisque|ρ|<1, la suite géométrique(gn(x))converge vers 0.
Or après résolution de l’équation

g(x) =fn(x)−r1
n
fn(x)−r2

on obtient
fn(x) =r11−−ggnn((xx))r2
et on en déduit que la suite numérique(fn(x))converge versr1=√1 +x−1.
Finalement, la suite de fonctions(fn)converge simplement vers la fonction
f∞:x7→√1 +x−1.
Puisque les fonctionsfnsont rationnelles de degrés alternativement 0 et 1, la
fonction|fn−f∞|ne peut-tre bornée surR+car de limite+∞en+∞; il n’y a
donc par convergence uniforme surR+.
En revanche, on peut montrer que la suite de fonctions(fn)converge
uniformément versf∞sur[0 a]pour touta>0.
En effet
fn(x)−f∞(x 1) =−gng(nx()x) 2√1 +x
D’une part, la fonctionx7→2√1 +xest bornée sur[0 a].
D’autre part,
gn(x) =√√1+1+xx−11+n0(x)
g
Sur[0 a], la fonction
√1 +x−1

x7→ √+x
 11 +

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Corrections

admet un maximum de valeur<1et puisque la fonction continueg0est bornée
sur[0 a]montrer que la suite de fonctions, on peut (gn)converge uniformément
vers la fonction nulle sur[0 a].
La relation
fn(x)−f∞(x) = 1−gng(nx()x) 2√1 +x
permet alors d’établir que la suite de fonctions(fn)converge uniformément vers
f∞sur[0 a].

Exercice 20 :[énoncé]
Pourx6=2π[π],|sinx|<1et doncfn(x)→0.
Pourx=π2[π],cosx= 0et doncfn(x) = 0. Ainsi(fn)converge simplement
vers la fonction nulle.
Par2πpériodicité et parité on ne poursuit l’étude qu’avecx∈[0 π]
f0n(x) = sinn−1(x)((n+ 1) cos2(x)−1)
On peut dresser le tableau de variation defnsur[0 π]et on obtient
kfnk∞=fnarccos√n11+=1−(n1+1)n2√n11+→0
Par suite(fn)converge uniformément vers la fonction nulle.

Les premières fonctions de la suite(fn)

8

Exercice 21 :[énoncé]
II) a) En distinguant le casx= 0du cas général, on obtient que la suite de
fonction(fn)converge simplement vers la fonctionfdonnée parf(x) =x.
b) Par étude des variations defn(x)−f(x), on obtient qu’il y a convergence
uniforme si, et seulement si,α <1.
c) Par un argument de convergence uniforme, on peut échanger limite et intégrale
lim 1 +√ne−nx
n→+∞Z01x( )dx=Z01xdx2=1

Exercice 22 :[énoncé]
fnest définie surR?et peut tre prolongée par continuité en 0 en posant sur
fn(0) =n.
Pourx60,fn(x)→+∞.
Pourx >0,fn(x)→0.
?
Ainsi(fn)converge simplement vers la fonction nulle surR+.
Il ne peut y avoir converge uniformément surR+?car alors par le théorème de la
double limite :
xli→m0+nl→im+∞fn(x) =nl→i+m∞xli→m0+fn(x)
donne0 = +∞.
Poura >0, sur[a+∞[,
−nx
|fn(x)|61nx−2ee−a2
et par étude fonctionnellenx2e−nx64e2(maximum enx= 2n) donc
n

4e2
kfnk∞[a+∞[6n(1−e−a2)→0

qui donne la converge uniformément sur[a+∞[.

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