Sujet : Analyse, Suites et séries de fonctions, Intégration terme à terme d'une série de fonctions

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Intégration terme à terme d’une série de fonctions b) Calculer cette somme sachant +∞ 2X 1 πExercice 1 [ 00928 ] [correction] = 2n 6Montrer que n=1 Z +∞+∞ Xt 1 dt = t 2e − 1 n0 n=1 Exercice 6 [ 00932 ] [correction] Etablir Z +∞1 Xdx 1 =Exercice 2 [ 00929 ] [correction] x nx n0 n=1Etablir que Z +∞1 n−1Xlnt (−1) dt = 2 21 +t (2n + 1)0 Exercice 7 Mines-Ponts MP - CCP MP [ 00933 ] [correction]n=0 Etablir Z +∞1 n−1X (−1)xx dx = nExercice 3 CCP MP [ 03781 ] [correction] n0 n=1 Prouver l’égalité Z +∞1 2 nX(lnx) (−1) dx = 2 2 3 Exercice 8 [ 00934 ] [correction]1 +x (2n + 1)0 n=0 Etablir que pour p> 2, Z +∞1 p X(lnx) 1pdx = (−1) p!Exercice 4 [ 00930 ] [correction] p+11−x n0 n=1a) Etablir Z Z1 1arctant lnt dt =− dt 2t 1 +t0 0 Exercice 9 [ 00935 ] [correction] b) En déduire Déterminer la limite quand n→ +∞ de Z +∞1 nXarctant (−1) Z +∞ −x/ndt = 1 e 2t (2n + 1) dx0 n=0 2n 1 + cos x0 Cette valeur est appelée constante de Catalan, elle vaut approximativement 0, 916. Exercice 10 Centrale MP [ 00939 ] [correction] Soient α> 0, n∈N. On poseExercice 5 [ 00931 ] [correction] Za) Etablir π/2 Z Z1 1 α nu (α) = (sint) (cost) dtln(1 +t) lnt n dt =− dt 0 t 1 +t0 0 a) Nature de la série de terme général u (1).na) En déduire b) Plus généralement, nature de la série de terme général u (α).Z +∞ n1 n−1Xln(1 +t) (−1) ∞Pdt = c) Calculer u (α) pour α = 2, 3.
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Intégration terme à terme d’une série

Exercice 1[ 00928 ][correction]
Montrer que
Z+0∞ett−1dt=n=+X∞1n12

Exercice 2
Etablir que

[ 00929 ][correction]

Exercice 3CCP MP
Prouver l’égalité

Exercice 4
a) Etablir

Z011+nltt2dt=n=+X∞0(2(−n1)+n1−)12

[ 03781 ][correction]
Z1nl(+1xx)22dx= 2n+X=∞0(2(n−1+1)n)3
0

[ 00930 ][correction]

1
Z0arcttantdt=−Z10n+1ltt2dt

de

Enoncés

fonctions

b) En déduire
+∞−1)n
Z01arcttantdt=nX=0(2(n+ 1)2
Cette valeur est appelée constante de Catalan, elle vaut approximativement0916.

Exercice 5[ 00931 ][correction]
a) Etablir
lntdt
Z01ln(1t+t)dt=−Z011 +t
a) En déduire
Z1ln(1t+td)t=n+X=∞1(−1n)2n−1
0

b) Calculer cette somme sachant

+∞1π2
Xn2=6
n=1

Exercice 6[ 00932 ][correction]
Etablir
+∞1
Z10dn=1
xxx=Xnn

Exercice 7Mines-Ponts MP - CCP MP[ 00933 ][correction]
Etablir
+∞
dx=X
Z01xnx=1(−1n)nn−1

Exercice 8[ 00934 ][correction]
Etablir que pourp>2,
p+∞
Z101ln(−x)xdx= (−1)pp!n=X1np1+1

Exercice 9[ 00935 ][correction]
Déterminer la limite quandn→+∞de
−xn
n1Z0+∞c+1eos2xdx

Exercice 10Centrale MP[ 00939 ][correction]
Soientα >0,n∈N. On pose
π2
α)Z0
un (sin( =t)α(cost)ndt

a) Nature de la série de terme généralun(1).
b) Plus généralement, nature de la série de terme généralun(α).

c) CalculerPun(α)pourα= 23.
n=1

1

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Exercice 11
Etablir que

[ 00940 ][correction]

+∞
Z+∞setin−t1 dt=nX=1n21+1

0

Exercice 12[ 00941 ][correction]
Etablir que pour toutx >0

+∞
Z10tx−1e−tdt=X0n(!(−x+)1nn)
n=

Exercice 13[ 00943 ][correction]
Calculer, pourn∈Z,

In=Z2πeineθiθdθ
02 +

Exercice 14Centrale MP[ 02439 ][correction]
Soienta∈C,|a| 6= 1etn∈Z. Calculer
Z20πeieint−tadt

Exercice 15[ 02641 ][correction]
ndésigne un entier naturel non nul.
a) Justifier que l’intégrale
2
Z+0∞(nn2+−xx22)2dx

est définie.
b) Soita>0. Calculer

En déduire la valeur de


Z0ann22x22)d
( +x2x

Z+∞n2−x2
0(n2+x2)2dx

Enoncés

puis de

+X∞Z+∞(nn22+−xx22)2dx

n=1 0
c) Soita>0. Montrer que la série

+∞
X(nn22+−xx22)2
n=1

converge uniformément sur[0 a], puis que

+∞n2−x2 +∞
Z0anX=1(n2+x2)2dx=n=X1n2+aa2

d) En exploitant une comparaison série-intégrale, déterminer

e) En déduire que l’intégrale

+∞
al→+∞Xn2a+a2
im
n=1

∞2
Z0+∞n=+X1(nn22+−xx2)2dx

est convergente et donner sa valeur.
Comparer avec le résultat obtenu en b). Qu’en conclure ?

Exercice 16Centrale MP[ 02438 ][correction]
a) Démontrer la convergence de la série de terme général

b) Comparer

c) En déduire :

n!
=
annn

anetnZ+0∞tne−ntdt

+X∞an=Z+∞1−tet−et−t)2dt
n=1 0(

2

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Exercice 17Centrale MP[ 02445 ][correction]
On pose
11
In=Z+tndt
01
pour tout entiern >0.
a) Trouver la limite`de(In).
b) Donner un équivalent de(`−In).
c) Justifier
1ln(1 +y
Z0yd)y=k=+X∞0((k−)11+k)2
d) Donner un développement asymptotique à trois termes de(In).

Exercice 18[ 02612 ][correction]
a) Déterminer la limite`quandn→+∞de
In=Z101
dt
1 +tn

b) Donner un équivalent de

In−`

c) Justifier
Z10ln(1 +tn) dt=k+X=∞1k((−n1k)k+−11)
d) En déduire un équivalent de

Z1dt
ln(1 +tn)
0

et donner un développement asymptotique à trois termes deIn.

Exercice 19Centrale MP[ 02474 ][correction]
a) Montrer que pour toutn∈N?,
fn(t) =ten−+t1et−p=n0p!
Xtp!

est intégrable surR+?.

Enoncés

3

Soituncette intégrale.
b) A l’aide du logiciel de calcul fourni, calculerunpour16n610, puis effectuer
une conjecture sur l’expression deun.
c) Montrer que l’on peut écrireuncomme somme d’une série et utiliser ce résultat
pour démontrer la conjecture précédente.

Exercice 20Centrale MP[ 02479 ][correction]
Soit pourt∈R,
+∞1
f(t) =X=1t4+n4
n
a) Donner le domaine de définition def.
b) La fonctionfest-elle continue ? de classeC1?
c) Calculer, avec un logiciel de calcul formel
Z+∞dt
01 +t4

d) Donner un équivalent defen+∞.
e) Montrer
+X∞(4n−+1)n1 =Z10d1+tt4
n=0

Exercice 21Centrale MP[ 02485 ][correction]
Soit
+X∞(−)2(1nn+ 1)
S=n=0(3n+ 1)
a) Montrer qu’il existe(a b)∈Q2que l’on déterminera tel que
S=aZ011+dtt3+bπ

b) CalculerSà l’aide d’un logiciel de calcul formel.

Exercice 22Centrale MP[ 02488 ][correction]
Soita∈Q∩]02[aveca6= 1
.
On pose
In(a) =Z01(1−x(n11(−−a)xx))nn+1dx

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a) Justifier l’existence deIn(a).
b) Calculer, avec Maple,In(a)poura∈ {15141312}et pour
n∈ {12    10}.
Etablir une conjecture.
c) Montrer que pour toutn∈N?on a

+∞
In(a) =Xαnp(1−a)p
p=0

où lesαnpsont à déterminer.
On pourra utiliser
Z1−x)mdx(=n+n!mm!)1!+
xn(1
0
d) On pose

(X+ 1)  (X+n)
=
Rn(X)(X+n+ 1)  (X+ 2n+ 1)

DécomposerRnen éléments simples.
En déduire que pour toutn∈N?, il existe des rationnelsrn(a)etqn(a)tels que

In(a) =rn(a) +qn(a) lna

[Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA]

Exercice 23Mines-Ponts MP[ 02807 ][correction]
a) Pour(m n)∈N2, calculer
Z10xn(1−x)mdx

Pourp∈Z, montrer l’existence de

+∞
Sp=nX=12nnpn!

b) CalculerS0etS−1.
c) Sip∈N, proposer une méthode de calcul deSp.

Enoncés

Exercice 24Mines-Ponts MP[ 02840 ][correction]
a) Si(s λ)∈R+?×C, quelle est la nature de la série de terme général

λn
s(s+ 1)  (s+n)

4

pourn>0? Aλfixé, on noteΔλl’ensemble dess >0tels que la série converge,
et on noteFλ(s)la somme de cette série.
b) CalculerlimΔλFλ(s).
s→sup
c) Donner un équivalent deFλ(s)quands→inf Δλ.
d) Sin>1, calculer :
Z01(1−y)s−1yndy
e) En déduire une expression intégrale deFλ(s).

Exercice 25Mines-Ponts MP[ 02864 ][correction]
Existence et calcul de
Z10ln1−tt2dt
Le résultat est à exprimer à l’aide deζ(2).

Exercice 26Mines-Ponts MP[ 02866 ][correction]
Soit(an)n>0une suite bornée. Calculer
nl→im+∞Z+0∞e−2tp+X=∞naptpp!!dt

Exercice 27[ 02615 ][correction]
Pourn m∈N, on pose

a) CalculerIn(n).
b) En déduire

In(m) =Z10xn(lnx)mdx

Z10x−xdx=n+X=∞1n−n

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Exercice 28Mines-Ponts MP[ 02869 ][correction]
Montrer

1
n+X∞1n−n=Zt−tdt
= 0

Exercice 29Mines-Ponts MP[ 02870 ][correction]
+∞
Six >1, on poseζ(x) =Pn1x. Montrer :
n=1
∞+∞
(ζ(x)−1) dx=X
Z2+n=2n2nl1n

Exercice 30Mines-Ponts PC[ 00118 ][correction]
Soit, pourn∈N,
un=Z0π2hcosπ2 sinxindx
a) Etudier la suite(un)n>0.
b) Quelle est la nature de la série de terme généralun?

Exercice 31[ 03214 ][correction]
Montrer que
−at+∞
∀a b >0Z0+∞1t−ee−btdt=X0(a+1bn)2
n=

Exercice 32[ 03268 ][correction]
Montrer

2π+∞
Z0e2 cosxdx=X(n2!π)2
n=0

Exercice 33Mines-Ponts MP[ 03287 ][correction]
Donner la nature de la série de terme général
unZ+−∞tcos2ntdt
= e
0

Enoncés

Exercice 34[ 03790 ][correction]
Pour toutn∈Net toutx∈R+, on pose
fn(x) =xn(1√−x)

a) Montrer que

+∞
X

n=1

b) En déduire la valeur de

Z1) dx=Z011 +x√x
fn(x
0

+∞
X1(n21+1)(n+ 3)
n=

Exercice 35CCP MP[ 02583 ][correction]
Soitn∈N?.
a) Ensemble de définition de
I+∞dt
n(x) =Z0(1 +tx)n
b) Montrer que six >1,PIn(x)diverge.
c) CalculerIn(2)pourn>1.

dx

Exercice 36CCP MP[ 02570 ][correction]
Soientpetk2 entiers naturels, non nul. Soitfpk:x7→xp(lnx)k
.
a) Montrer quefpkest intégrable sur]01]. Soit
Kpk=Z10xp(lnx)kdx

b) ExprimerKpken fonction deKpk−1.
c) ExprimerJn=R10(xlnx)ndxen fonction den.
d) On poseI=R10xxdx. Montrer

=+X∞(−1)n
In=0(n+ 1)n+1

5

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Exercice 37CCP PSI[ 01102 ][correction]
a) Donner les limites éventuelles en+∞des suites de termes généraux
1dt
Un=Z0(1 +t3)netVn=Z+1∞d+1(tt3)n
b) Quelle est la nature des séries
XUnetXVn?
n>1n>1

Exercice 38CCP MP[ 02360 ][correction]
Pourn∈N?, soitfnl’application définie par
2s
fn(x) =αenhx(−x1)siisxx∈0]0=+∞[

a) Pour quelle valeurs deαla fonctionfn ?est-elle continue
Dans la suite, on prendra cette valeur deα.
b) Montrer quefnest bornée.
c) Montrer queR0+∞fn(x) dxexiste pourn>2.
d) ExprimerR+0∞fn(x) dxcomme la somme d’une série.

Exercice 39[ 02609 ][correction]
Pourn>1, on pose
InZ+∞dtt3)n
=
0(1 +
a) Déterminer la limite de la suite(In).
b) Etablir que pour tout entiern>1,

3n−
In+1= 1In
3n
c) Déterminerα∈Rtel qu’il y ait convergence de la suite de terme général

un= ln(nαIn)

d) En déduire la convergence de la série
X

1In
n
n>1

et exprimer sa somme à l’aide d’une intégrale.

Enoncés

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Pour toutt >0, on a

1−t+∞
X−nt
e
= =e
et−1 1−e−t
n=1

Corrections

donc
t+∞+∞
et−1 =Xte−nt=Xfn(t)
n=1n=1
Les fonctionsfnsont continues par morceaux sur]0+∞[et, en vertu de l’étude
qui précède, la sériePfnconverge simplement et sa somme est continue par
morceaux sur]0+∞[
Les fonctionsfnsont intégrables sur]0+∞[et
Z+0∞|fn(t)|dt=Z+∞te−ntdt=n12
0
qui est sommable. On en déduit que la fonctiont7→ett−1est intégrable sur
]0+∞[et
Z+∞ttdt=+X∞n12
0e−1n=1

Exercice 2 :[énoncé]
Sur]01[,
1l+ntt2=+X=∞0(−1)nt2n(lnt)
n
Posonsfn(t) = (−1)nt2nlnt.
Lesfn: ]01[→Rsont continues par morceaux et la série de fonctionsPfn
converge simplement versln1+tt2elle-mme continue par morceaux sur]01[.
11
Z0|fn(t)|dt(2n+ 1)2
=
et la sérieP(2n1)1+2converge donc on peut intégrer terme à terme la série de
fonctions et on obtient
Z01l1+ntt2dtn+X=∞0Z01(−1)nt2nlntdt=n+X∞(−1)n−1
=
2
=0(2n+ 1)

Exercice 3 :[énoncé]
Pourx∈[01[, on peut écrire

et pourx∈]01[, on a

1+∞
1x=X(−1)nx2n
+2n=0

(1ln+xx)22=+X∞(−1)nx2n(lnx)2
n=0

Considérons alors la série des fonctions

un(x) = (−1)nx2n(lnx)2

Par convergence des séries précédentes, la série des fonctionsunconverge
simplement vers la fonctionx7→(lnx)2(1 +x2). Les fonctionsunet la fonction
somme sont continues par morceaux.
Chaque fonctionunest intégrable et
1
Z|un(x)|dx=Z10x2n(lnx)2dx
0

Par intégration par parties, on montre
Z10x2n(lnx)2dx2(=n)1+23

On peut alors appliquer le théorème d’intégration terme à terme et affirmer
1)n
Z0+nl(1xx)22dx= 2n+=X∞0((2n−+1)13

Exercice 4 :[énoncé]
a) Par une intégration par parties
Zε1arcttantdt= [ln(t) arctan(t)]ε1−Zε1nl1+tt2dt
Sachantarctantt∼→0t, on obtient quandε→0
1
Z10arcttantdt=−Z01ln+tt2t
d

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avec convergence des intégrales proposées
b) Pour touttélément de]01[,

−nl+1tt2=n+=X∞0(−1)n−1t2n(lnt)

Corrections

Posonsfn(t) = (−1)n−1t2nlnt.
Lesfn: ]01[→Rsont continues par morceaux et la série de fonctionsPfn
converge simplement vers−1ln+tt2elle-mme continue par morceaux sur]01[.
Z1|fn(t)|dt1
=
0(2n+ 1)2
et la sérieP(2n)1+12converge donc on peut intégrer terme à terme la série de
fonctions et donc
−Z10+1nltt2dt=n=+X∞0Z10(−1)n−1t2nlntdt=n+X=∞0(2(n−1)1+n)2

Rq : on aurait aussi pu exploiterarctant=+P∞(−21n+)n1−1t2n+1.
n=0

Exercice 5 :[énoncé]
a) Par intégration par parties,
Zε1ln(1t+t)dt= [ln(1 +t) ln(t)]ε1−Zε1+1nlttdt

et quandε→0, on obtient
Z01ln(1t+td)t=−Z1nl+ttdt
01

b) Sur]01[,

lt+∞
−nt=X(−1)n−1tn(lnt)
1 +n=0

Posonsfn(t) = (−1)n−1tnlnt.
Lesfn: ]01[→Rsont continues par morceaux et la série de fonctionsPfn
converge simplement vers−ln1+ttelle-mme continue par morceaux sur]01[.

On a
1
Z01|fn(t)|dt=(n+ 1)2
et la sérieP(n)1+12converge donc on peut intégrer terme à terme la série de
fonctions et donc
−Z10n1+lttdt=n=+X∞0Z01(−1)n−1tnlntdt=+X=∞0(n(−1+)1n)2=+X∞(−1n)2n−1
n n=1

c) En séparant les termes pairs et les termes impairs (ce qui se justifie en
transitant par les sommes partielles)

8

X
+∞(−1n)2n−1=+X∞0(2p11)+2−p+=X∞1(2p1)2=p=+X∞1n12−2p+X=∞11(2p)2=12+X∞n12=π122
n=1p=n=1

Exercice 6 :[énoncé]
On a

donc

+∞(−1)n(xlnx)n
x1x= e−xlnx=Xn!
n=0
Z01xdxx=Z]01]n+X=∞0fn

avec
f(x) = (−1)n(xlnx)n
nn!
Lesfnsont continues par morceaux,PfnCS vers une fonction continue par
morceaux sur]01].
Lesfnsont intégrables et
Z]01]|fn|=Z]01[(−1)nnxnln(!x)ndx

Or
Zε1xn(lnx)ndx=n1+1xn+1(lnx)n1ε−nn+ 1Zε1xn(lnx)n−1dx
donc quandε→0
Zxn(lnx)ndx=−nn+ 1Z]01]xn(lnx)n−1dx
]01]

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Ainsi
Z]0xn(lnx)ndx= (−1)nnn+ 1nn+−11∙ ∙ ∙n1+1Z10xndx=(n(−1)+1n)nn+!1
1]

Corrections

Par suite
Z10|fn|dx(=n1)1+n+1etX Z01|fn|converge
Par le théorème d’intégration terme à terme de Fubini, on obtient que l’intégrale
étudiée et définie et
Z1dx+X∞Z10f+∞1
0xx=n=0n(x) dx=nX=0(n+ 1)n+1

puis le résultat voulu.

Exercice 7 :[énoncé]
Pourx >0,

donc

+∞(xlnx)n
xx= exlnx=Xn!
n=0

Z01xxdx=Z]01]n+X=∞0fn

avec
(xlnx)n
fn(x) =n!
Les fonctionsfnsont continues par morceaux,Pfnconverge simplement vers une
fonction continue par morceaux sur]01].
Les fonctionsfnsont intégrables et
Z]01]|fn|=Z]01[(−1)nnxnnl!(x)ndx

Or
Zε1xn(lnx)ndx=n11+xn+1(lnx)n1ε−nn+ 1Zε1xn(lnx)n−1dx
donc quandε→0
Zxn(lnx)ndx=−n+n1Z]01]xn(lnx)n−1dx
]01]

Ainsi
Z]01]xn(lnx)ndx= (−1)nnn+ 1nn−11+∙ ∙ ∙n1+1Z10xndx(=n(−)11+n)nn!+1

9

Par suite
Z10|fn|dx(=n)11+n+1
et il y a convergence de la sérieP R01|fn|
Par le théorème d’intégration terme à terme, on obtient que l’intégraleR]01]xxdx
est définie et
1
Z0xxdx=n=+X∞0Z10fn(x) dx=n+X=∞0(n(+−)1)1nn+1

puis le résultat voulu.

Exercice 8 :[énoncé]
Pourx∈]01[, on a

(l1n−x)xp=+X∞xn(lnx)p=+X∞fn(x)
n=0n=0

avecfn(x) =xn(lnx)psur]01[.
+∞
Les fonctionsfnsont continues par morceaux et la sommePfnl’est aussi.
n=0
Les fonctionsfnsont intégrables sur]01[et par intégration par parties,
Z01|fn|= (−1)pZ1xn(lnx)pdp!
0x(=n+ 1)p+1
Puisque la sérieP R|fn|converge, le théorème d’intégration terme à terme de
Fubini donne
+
Z101(ln−x)xpdx=n=+X∞0Z0fn(x) dx=n=1
1(−1)pp!X∞np1+1

avec en substance existence de l’intégrale et de la série intoduite.

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Exercice 9 :[énoncé]
La convergence de l’intégrale proposée est facile.
En découpant l’intégrale :

Corrections

Pourα >1. La série desun(α)est une série à termes positifs et
Xuk(α
k=n0) =Z0π2(sint)α1−1(−cosocts)nt+1dt

Z+∞e−xndx=+X∞Z(k+1)πe−xndx=+X∞e−kπnZπe−xndx

10

01 + cos2xk=0kπ1 + cos2xk=0 01 + cos2xdonc
α
k=0Z02(si
Dans la somme proposée, le terme intégrale ne dépend de l’indice sommation doncnXuk(α)6π1−cntso)tdt
ZQ0u+a∞nd1n+e−→cxo+sn2∞x,dx=k+X=∞0e−kπn!Z0πe1+−cxosn2xdx1=−1e−πnZ0π+1e−cxosn2xdxavec l’intégrale majora1n(st−inqcut)oisαetst∼c2ottnα2ver=get2n2t−eαdquepuisanqut→0+
1−1e−πn∼nπuiPiràeetmrqseualésfsteees.pnotsgieteirPun(α)a ses sommes partielles majorées, elle
s conv
et
e
Z0π1 +−cxosn2xdx→Z0πdco1+xs2xni)oFubimedeàterreemoitnrgtaniéterircétuepnudhtoéèremedocvneetl’applicationrapuhtelèroé’demgeeredncinom(oéeqecraP)cdècérpiu
par application du théorème de convergence dominée.
Par le changement de variablet= tanxinspiré des règles de Bioche,
ππ
Z0o+c1dxs2x= 2Z0π2oc+1dxs2x= 2Z0+∞d+2tt2√2
=Pourα= 2

Au final

Exercice 10 :[énoncé]
a) On a

1∞n
nZ0++1e−cxos2xdxn−→−+−−∞→ √12

un(1) =Z0π2sint(cost)ndt=−ns1+oc1n+1tπ02=n+11

La série de terme généralun(1)est divergente.
b) Pourα61,
∀t∈]0 π2](sint)α>sint

et doncun(α)>un(1).
On en déduit que la série de terme généralun(α)est alors divergente.

Pourα= 3

n=+X∞0Z0π2sinαtcosntdt=Z0π2sinαtdt
1−cost

Z0π2s1−cni2otstdt=Z0π21 + costdt2=π+ 1
Z0π21s−cin3otstdt=Z0π2sint(1 + cost) dt2=3

Exercice 11 :[énoncé]
Pourt >0, on peut écrire

+∞
etsin−t1 =Xsinte−nt
n=1

La fonctiont7→sinte−ntest intégrable sur]0+∞[et
Z+0∞|sint|−ntdt6Z+0∞te−ntdt=n12
e

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